Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI.

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1 Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani

2 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione potenza con esponente n N Si definisce funzione potenza con esponente n N la funzione: f(x) = x n = x x x x n volte Caso n pari: D = R; f(d) = [0,+ [; f é pari; f é strettamente decrescente in ],0] e strettamente crescente in [0, + [; f é strettamente convessa. Appunti Mat. per l Econ. L-Z - Villani Giovanni 1

3 Osservazione 1 Tale funzione non é biunivoca, ma ristretta a [0, + [ é strettamente crescente ed é invertibile. La sua inversa si definisce radice n-esima. Caso n dispari: D = R; f(d) = R; f é dispari; f é strettamente crescente (quindi invertibile); f é strettamente concava in ],0] e strettamente convessa in [0, + [. Osservazione 2 Tale funzione é strettamente crescente e la sua inversa si definisce radice n-esima.

4 Funzione potenza con esponente n Si consideri la funzione f(x) = x n = 1 x n. Caso n pari: D = R {0}; f(d) =]0,+ [; f é pari; f é strettamente crescente in ],0[ e strettamente decrescente in ]0, + [; f é strettamente convessa in ],0[ e in ]0,+ [.

5 Caso n dispari: D = R {0}; f(d) = R {0}; f é dispari; f é strettamente decrescente in ],0[ e in ]0,+ [; f é strettamente concava in ],0[ e strettamente convessa in ]0, + [.

6 Funzione Valore Assoluto Definiamo la funzione f(x) = x dove: x = { x se x 0 x se x < 0 D = R; f(d) = [0,+ [; f é pari; f é strettamente decrescente in ],0[ e strettamete crescente in ]0, + [; f é convessa. Siano x,y,z R: x 0 e x = 0 x = 0;

7 x = x ; a 0 : x a a x a; a 0 : x a x a x a; x+y x + y ; x y = x y ; Se y 0 : x y = x y.

8 Funzione potenza con esponente 1 n Caso n pari Se n é pari, la funzione potenza x n non é invertibile, ma ristretta a [0, + [ é invertibile. Si definisce radice n-esima l inversa della funzione potenza (vedi Osservazione 1). Poniamo con f(x) = x 1 n = n x. D = [0,+ [; f(d) = [0,+ [; f é strettamente crescente; f é strettamente concava

9 Caso n dispari D = R; f(d) = R; f é dispari; f é strettamente crescente; f é strettamente convessa in ],0] e strettamente concava in [0, + [ Osservazione 3 Si osservi che: n x n = x se n é pari; n x n = x se n é dispari;

10 Funzione esponenziale Sia a > 0 e a 1. Definiamo come la funzione esponenziale di base a: h(x) : x R a x ]0,+ [con x R Caso con a > 1: D = R; f(d) =]0,+ [; f é strettamente crescente; f é strettamente convessa;

11 Caso con 0 < a < 1: D = R; f(d) =]0,+ [; f é strettamente decrescente; f é strettamente convessa;

12 Funzione logaritmo di base a La funzione esponenziale risulta essere bigettiva e quindi invertibile. L inversa della funzione esponenziale di base a si definisce funzione logaritmo di base a e di indica con f(x) = log a x. log a (x) : x ]0,+ [ log a (x) R Quindi risulta che a > 0 e a 1: log a y = x a x = y Quindi si ottiene che: log a a x = x; a log ax = x

13 Caso a > 1: D =]0,+ [; f(d) = R; f é strettamente crescente; f é strettamente concava. Caso 0 < a < 1 D =]0,+ [; f(d) = R; f é strettamente decrescente;

14 f é strettamente convessa. Proprietá della funzione logaritmo: 1. log a (x y) = log a x+log a y; 2. log a x α = αlog a x; 3. log a ( xy ) = loga x logy; 4. log b x = log ax log a b ; 5. log a 1 = 0; 6. log a a = 1.

15 Equazione di una retta Fissati nel piano due punti distrinti P 1 = (x 1,y 1 ) e P 2 = (x 2,y 2 ), consideriamo la retta r passante per i P 1 e P 2. La distanza tra i punti P 1 e P 2 é: d(p 1,P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 Il coefficiente angolare della retta r é: m = y 2 y 1 x 2 x 1 Se x 1 x 2 e y 1 y 2, l equazione della retta passante per P 1 e P 2 é: Quindi y y 1 x x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 y = m(x x 1 )+y 1 y = mx+q dove q é l ordinata all origine (o intercetta) della retta r.

16 Se x 1 = x 2, l equazione della retta r sará x = x 1 ; tale retta é parallela all asse y. Se y 1 = y 2, l equazione della retta r sará y = y 1 ; tale retta é parallela all asse x. Due rette r e r sono parallele se m r = m r Due rette r e r sono perpendicolari se m r = 1 m r

17 FUNZIONI PERIODICHE Sia f : X R, ω ]0,+ [ e x X : x+kω X, k Z. Definizione 1 Si dice che f é ω-periodica (o periodica di periodo ω) se: f(x+kω) = f(x), x X, k Z. Funzioni trigonometriche. Denotiamo con Γ la circonferenza di centro (0,0) e di raggio 1 nel piano R 2. Si definisce coseno di x, e si denota con cosx, l ascissa del punto P su Γ. Si definisce seno di x, e si denota con sinx, l ordinata del punto P su Γ.

18 Possiamo riportare in una tabella i valori che il seno e il coseno assumono in alcuni punti: 0 π 2 π sin cos Funzione Seno e Coseno 3 2 π π π π La funzione f(x) = sinx e la funzione f(x) = cosx sono periodiche di periodo 2π: sin(x) = sin(x+2kπ); x R; k Z cos(x) = cos(x+2kπ); x R; k Z Inoltre sia f(x) = sinx. Risulta: D = R; f(d) = [ 1,+1];

19 f é periodica di periodo 2π; f é dispari. Sia f(x) = cosx. Risulta: D = R; f(d) = [ 1,+1]; f é periodica di periodo 2π; f é pari. Osservazione 4 sin 2 x+cos 2 x = 1

20 Funzione Tangente e Cotangente Definizione 2 Si definisce funzione Tangente e si denote con il simbolo tan la funzione: tan : x R { } π 2 +kπ tanx = sinx cosx R k Z Definizione 3 Si definisce funzione Cotangente e si denote con il simbolo cotg la funzione: cotg : x R k Z {kπ} cotgx = cosx sinx R Quindi, considerando i valori che il seno e coseno possono assumere nei diversi punti, si ottiene: 0 π π π π tan cotan

21 Proprietá delle funzioni tangente e cotangente Il codominio delle funzioni tangente e cotangente é R. Le funzioni tangente e cotangente sono funzioni dispari. Le funzioni tangente e cotangente sono periodiche di periodo π. Infatti k Z : tan(x) = tan(x+kπ); cotg(x) = cotg(x+kπ); La funzione tangente ristretta all intervallo ] π 2, π 2 [ è strettamente crescente; La funzione cotangente ristretta all intervallo ]0, π[ è strettamente decrescente;

22 La funzione tangente volge la concavità verso l alto nell intervallo [0, π 2 [ e volge la concavità verso il basso nell intervallo ] π 2,0] La funzione cotangente volge la concavità verso l alto nell intervallo ]0, π 2 [ e volge la concavità verso il basso nell intervallo [ π 2,π[

23 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE Osservazione 5 La funzione f(x) = sin x ristretta all intervallo [ π 2, π 2] è una funzione bigettiva e quindi invertibile: [ sin /[ π 2, π 2 ] : x π ] 2,π sinx [ 1,1] 2 Definizione 4 La funzione inversa della funzione seno ristretta all intervallo [ π 2, π 2] si chiama funzione arcoseno e si denota con arcsinx: [ arcsin : x [ 1,1] arcsinx π ] 2,π 2 Proprietà della funzione arcoseno Il dominio della funzione arcoseno è : [ 1,1], mentre il codominio è: [ π 2, π ] 2

24 La funzione arcoseno è una funzione strettamente crescente in [ 1, 1] poichè è l inversa di una funzione strettamente crescente. La funzione arcsinx ha la concavità verso l alto in [0,1] e la concavità verso il basso in [ 1,0]. Osservazione 6 La funzione f(x) = cos x ristretta all intervallo [0, π] è una funzione bigettiva e quindi invertibile: cos /[0,π] : x [0,π] cosx [ 1,1] Definizione 5 La funzione inversa della funzione coseno ristretta all intervallo [0, π] si chiama funzione arcocoseno e si denota con arccosx: arccos : x [ 1,1] arccosx [0,π]

25 Proprietà della funzione arcocoseno Il dominio della funzione arcocoseno è: [ 1, 1], mentre il codominio è: [0,π]. La funzione arcocoseno è una funzione strettamente decrescente in [ 1, 1], poichè è l inversa di una funzione strettamente decrescente. La funzione arccos x ha la concavità verso l alto in [ 1,0] e la concavità verso il basso in [0,1].

26 Funzione Arcotangente Osservazione 7 La funzione tangente, ristretta all intervallo ] π 2, π 2[ è una funzione bigettiva, quindi invertibile: tan /] π 2, π 2 [ : x ] π 2,π 2 [ R Definizione 6 La funzione inversa della funzione tangente si chiama funzione arcotangente e si donota con il simbolo arctanx: ] arctan : x R arctanx π [ 2,π 2 Proprietà della funzione arcotangente La funzione arcotangente è una funzione strettamente crescente in R, poichè è l inversa di una funzione strettamente crescente.

27 La funzione arctan x ha la concavità verso il basso in [0,+ [ e la concavità verso l alto in ],0]. Funzione arcocotangente Osservazione 8 La funzione cotangente f(x) = cotgx ristretta all intervallo ]0, π[ è una funzione bigettiva e quindi invertibile: cotg /]0,π[ : x ]0,π[ R Definizione 7 La funzione inversa della restrizione della funzione cotangente si chiama funzione arcocotangente e si donota con arccotgx: arccotg : x R arccotgx ]0,π[

28 Proprietà della funzione arcocotangente La funzione arcocotangente è una funzione strettamente decrescente poichè è l inversa di una funzione strettamente decrescente. La funzione arccotg x ha la concavità verso l alto in [0,+ ] e la concavità verso il basso in ],0].