CAPACITÀ, CONDENSATORI, ENERGIA

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1 Fisica generale II, a.a. 3/4 CAPACITÀ, CONDENSATORI, ENERGIA B.. Se un protone (carica e) ha raggio r =.( 5 ) m, la sua energia elettrostatica è pari a circa ( MeV=.6( 3 )J). (A).6 MeV (B).6 MeV (C). MeV (D).34 MeV (E) 3. MeV SOLUZIONE. Considerando l elettrone come una sfera conduttrice carica di capacità C = 4 r, l energia elettrostatica è data da e C 9 e.6 e 4 r e.599 MV.6 MeV Se invece consideriamo l elettrone come una sfera uniformemente carica (vedi esercizio B.), l energia elettrostatica vale 9 3e 3.6 e r e.79 MV.7 MeV B.. Un condensatore è formato da due piastre piane di area S =. m distanti d = cm. Lo spazio tra le armature è pieno per 3/4 di olio ( r = 5, d =.75 cm) e per il restante /4 d aria (, d r =.5 cm). La capacità del condensatore è pari a circa (A).47 nf (B) 34 pf (C) pf (D) 5.3 nf (E). pf r = r =5 d =.5 cm d =.75 cm SOLUZIONE. Il condensatore è formato da due condensatori in serie con capacità C e C : o rs o rs C, C d d La capacità C del condensatore complessivo è C serie ( C C ) d d S r r os r r d d r r.5 pf B.3. Il piatto metallico A di sinistra è isolato e ha una densità superficiale di carica A = 5 nc/m ; il piatto metallico C di destra, parallelo ad A, è isolato e porta una densità superficiale di carica C = nc/m. Tra i due piatti è inserita una lastra metallica B spessa 3 cm collegata a terra. La distanza tra le superfici affacciate di A e B è d = 4 cm mentre tra B e C la distanza è d = 7 cm. La differenza di potenziale V AB vale (in volt) A B C (A) (B).6 (C) 56.5 (D) 79. (E).7 d d SOLUZIONE. Se i piatti metallici A e C fossero completamente isolati, lontani da qualsiasi conduttore, si comporterebbero come lastre conduttrici cariche che genererebbero un campo

2 Fisica generale II, a.a. 3/4 La presenza della lastra metallica B provoca la polarizzazione delle cariche elettriche di A e C solo sulle superfici dei piatti affacciate a B; sulle superfici di B si crea, per induzione elettrica, una densità di carica uguale in modulo e di segno opposto a quella presente su A e su C; la somma algebrica delle cariche indotte non è nulla ed è compensata da una carica uguale e contraria che va a terra. I tre piatti costituiscono quindi due condensatori tra loro idnipendenti: il campo elettrico nelle regioni fra le lastre è uniforme e di intensità E / d A C A B VAB d e EBC VBC / La differenza di potenziale V AB vale quindi V AB Ad 9 5 C/m m.6 C /Nm V A B C d d B.4. Un grande condensatore a facce piane e parallele porta una carica Q = 9.6 nc. Sapendo che la superficie delle armature del condensatore è S = 6 cm e che il condensatore si trova in aria, calcolare la densità di energia del campo elettrico all interno del condensatore. (NB: la costante dielettrica dell aria è circa uguale alla costante dielettrica del vuoto) (A)5 nw/m (B).3 mj/m 3 (C).3 ev/m 3 (D).5 J/m 3 (E)58 nj/m 3 SOLUZIONE. Il campo elettrico all interno del condensatore è E = / = Q/ S e la densità di energia vale B.5. Una sfera conduttrice di raggio r = 5 cm è circondata da un guscio metallico concentrico di diametro interno r = 3 cm e diametro esterno r 3 = 33 cm e ha l intercapedine tra sfera e guscio ripiena di materiale isolante con costante dielettrica r = 4. La capacità di tale condensatore vale circa (A).9 nf (B).8 nf (C).7 nf (D) 4.3 nf (E) 4.53 nf r r 3 r SOLUZIONE. La sfera conduttrice interna produce, tra le armature del condensatore (r < r < r ) un campo elettrico radiale di modulo Il guscio conduttore esterno non dà contributo al campo elettrico al suo interno. La differenza di potenziale tra le armature è quindi [ ] ( ) e la capacità del condensatore vale ( ) ( )

3 Fisica generale II, a.a. 3/4 B.6. Due condensatori uguali con capacità C = F sono collegati come in figura a un generatore di tensione continua con V = 5 V. Dopo la chiusura dell interruttore S, l energia elettrostatica immagazzinata, rispetto all energia iniziale V C (A) diventa /4 (B) si dimezza (C) resta uguale (D) quadruplica (E) raddoppia SOLUZIONE. Quando l interruttore è aperto, i due condensatori sono collegati in serie; la capacità iniziale del circuito è quindi C S e la corrispondente energia elettrostatica inziale è pari a Quando l interruttore è chiuso, il condensatore più lontano dal generatore di tensione si scarica. L altro condensatore immagazzina una quantità di energia elettrostatica E C pari a B.7. Un condensatore carico e isolato formato da due armature metalliche affacciate in aria distanti d = 4 mm e di area S = 5 cm ha inizialmente una differenza di potenziale V = 5 V. Tra le armature viene inserita una lamina conduttrice di spessore s = mm. La differenza di potenziale V tra le armature dopo l inserimento della lamina vale circa (A) (B) 75 V (C) V (D) 5 V (E) V SOLUZIONE. Per induzione elettrostatica, la lamina conduttrice inserita nel condensatore si polarizza come rappresentato in figura. Il sistema è ora costituito da due condensatori in serie di capacità La capacità totale vale ( ) ( ) ( ) Poiché s = d/, l inserimento della lastra porta a un raddoppio della capacità C del condensatore vuoto. Poiché la carica Q sulle armature del condensatore resta invariata, la differenza di potenziale V vale d A, C A s d s d d B, C B B.8. Con riferimento al problema precedente, il rapporto tra energia elettrostatica iniziale E del condensatore e l energia elettrostatica E dopo l inserimento della lamina (E /E ) vale (A).375 (B).6 (C).5 (D). (E) SOLUZIONE. Le energie elettrostatiche iniziale e finale valgono 3

4 Fisica generale II, a.a. 3/4 Pertanto il rapporto E /E vale esattamente. B.9. Una sfera conduttrice di raggio R =.5 m, è caricata con una carica complessiva Q = mc ed è posta nel vuoto. Calcolare l energia potenziale immagazzinata nel campo elettrico generato dalla sfera carica in tutto lo spazio vuoto circostante e dimostrare che è uguale al lavoro fatto per caricare la sfera. (A) 4.5 kj (B) 9 kj (C).5 kj (D) 5.4 kj (E) SOLUZIONE. La densità di energia del campo elettrico nel vuoto vale dove E, il campo elettrico prodotto dalla sfera carica, nello spazio esterno alla sfera a distanza r dal centro della stessa è dato da L energia immagazzinata nel campo elettrico generato dalla sfera si trova integrando la densità di energia su tutta la regione di spazio da R a ; poichè l elemento infinitesimo di volume è un guscio sferico di volume dv = 4r dr si ha ( ) [ ] Per calcolare il lavoro L fatto per caricare la sfera, consideriamo che il dl infinitesimo per aumentarne la carica di una quantità infinitesima dq vale dl = V(q)dq dove V(q) è il potenziale elettrico della sfera con carica q e il lavoro compiuto per caricare valgono [ ] che coincide con l espressione dell energia potenziale elettrica immagazzinata dal campo. Si ha B.. La carica di un condensatore di capacità C =. F passa da Q = C a Q =.5 C. L energia del condensatore diminuisce di (A) 8.75 J (B) 37.5 J (C) 75 J (D) 5 J (E) 3 J SOLUZIONE. L energia iniziale e quella finale sono L energia del condensatore dominuisce di 37.5 J B.. Quando una carica complessiva Q = mc è portata dall infinito su una sfera isolante di raggio R = m, l energia potenziale acquistata dal sistema costituito dalla sfera e dall intero spazio vuoto circostante è di circa (A) 4.5 kj (B) 9 kj (C).5 kj (D) 5.4 kj (E) 4

5 Fisica generale II, a.a. 3/4 SOLUZIONE. L energia potenziale acquistata dal sistema sferaspazio è uguale all energia elettrostatica della sfera isolante, cioè al lavoro compiuto per portare una carica complessiva Q sulla sfera da distanza infinita. Supponendo che la carica si distribuisca nella sfera con densità di volume costante pari a supponiamo di assemblare la sfera per gusci successivi. Quando la sfera costruita ha raggio r, per ogni aggiunta di una carica infinitesima dq che distribuiamo su un guscio sferico di volume infinitesimo dv = 4r dr compiamo lavoro contro il campo creato dalla carica q(r) già presente sulla sfera. Il potenziale della sfera di raggio r e carica q(r) e il il lavoro infinitesimo di carica sono Possiamo esprimere dq in funzione di e r come e inserendo questa espressione nella precedente e poi integrando si ottiene [ ] Infine, sostituendo l espressione di otteniamo ( ) B.. Un condensatore con C = F è inizialmente isolato e fra le sue armature vi è una differenza di potenziale V = V. Il condensatore carico viene poi collegato in parallelo a un condensatore uguale e scarico. La differenza fra l energia elettrostatica iniziale del condensatore e l energia elettrostatica finale complessiva dei due condensatori è pari a (A).5 J (B).5 J (C). J (D). J (E) J SOLUZIONE. La situazione è schematizzata in figura. Dopo il collegamento tra i due condensatori, la carica Q inizialmente accumulata sulle armature del primo condensatore si ripartisce tra i due condensatori identici. Ogni Q Q/ Q/ armatura porta perciò una carica pari a Q = Q/ e tra le armature dei condensatori V V/ dopo il collegamento vi è una differenza di potenziale pari a Q Q/ Q/ L energia elettrostatica del condensatore iniziale è pari a mentre i due condensatori, dopo il collegamento, immagazzinano un energia elettrostatica pari a 5

6 Fisica generale II, a.a. 3/4 La differenza fra l energia elettrostatica iniziale del condensatore e l energia elettrostatica finale complessiva dei due condensatori è quindi pari a B.3. Dati i quattro condensatori del disegno con C = F, C = F, C 3 = 3F, C 4 = 5F, il rapporto Q /Q tra le cariche su C e su C vale (A) /5 (B) / (C) /6 C C C 3 C 4 V (D) 5/ (E) 5/3 SOLUZIONE. Indipendentemente dal resto del circuito, la carica Q sul condensatore C si ripartisce tra le armature di C e C 3 in modo proporzionale alle capacità dei due condensatori: B.4. Con riferimento al problema precedente, se V = V, l energia elettrostatica del condensatore C vale (A) 7.8 mj (B) 4.7 mj (C) 347. mj (D).5 J (E).9 J SOLUZIONE. C e C 3 sono collegati in parallelo: il circuito equivalente è rappresentato in figura. Deve essere: V C C C C 4 3 V V -3 Dalle precedenti relazioni si ricava e per, l energia elettrostatica del condensatore C si ha ( ) B.5. L energia complessiva immagazzinata in C e C è pari a.8 J e quella in C 3 e C 4 è di.4 J; il voltaggio V vale 3V; l energia in C è tre volte quella in C e l energia di C 4 è tre volte quella di C 3. Il valore di C è di (A) mf (B) mf (C) 3 mf (D) 5 mf (E) 6 mf V C C C 3 C 4 6

7 Fisica generale II, a.a. 3/4 SOLUZIONE. In figura è rappresentato un circuito equivalente a quello del testo. Tra le armature dei condensatori C e C c è la stessa differenza di potenziale V -. Dunque il rapporto tra le energie dei due condensatori è uguale al rapporto tra le loro capacità: Analogamente, poiché anche tra le armature dei condensatori C 3 e C 4 c è la stessa differenza di potenziale V 3-4, deve essere V V - Dette Q, Q, Q 3 e Q 4 le cariche sulle corrispondenti armature dei condensatori deve inoltre essere Utilizzando i dati sull energia dei due gruppi di condensatori possiamo scrivere C C C 3 C 4 V 3-4 e dividendo membro a membro le precedenti relazioni si ricava I due gruppi di condensatori sono collegati in serie e la loro capacità equivalente vale ( ) ( ) ( ) ( ) L energia totale immagazzinata dal circuito vale.8.4 =. J; pertanto B.6. Un condensatore a facce piane e parallele di area S = m poste nel vuoto a distanza d = mm viene caricato con una carica q =.6 C e quindi staccato dal generatore. Se tra le due armature del condensatore carico viene inserito un dielettrico con r =, la differenza tra energia potenziale finale e iniziale del condensatore (A) è nulla (B) è negativa e pari in modulo all energia iniziale (C) è positiva e pari all'energia iniziale (D) è negativa e pari in modulo all energia finale (E) è positiva e pari all energia finale SOLUZIONE. La capacità finale C f del condensatore con il dielettrico inserito è dove C i è la capacità iniziale. Poiché il condensatore viene staccato dal generatore, la carica accumulata sulle sue armature resta costante e la differenza tra energia potenziale finale e iniziale del condensatore vale ( ) ( ) L energia finale è pari alla metà dell energia iniziale: a carica costante, il condensatore è più stabile con un dielettrico completamente inserito tra le armature. B.7. Un condensatore a facce piane e parallele di area S = m poste nel vuoto a distanza d = mm viene caricato con una carica q =.6 C. Se, mantenendolo collegato al generatore, tra le due 7

8 Fisica generale II, a.a. 3/4 armature del condensatore carico viene inserito un dielettrico con r =, la differenza tra energia potenziale finale e iniziale del condensatore (A) è nulla (B) è negativa e pari in modulo all energia iniziale (C) è positiva e pari all'energia iniziale (D) è negativa e pari in modulo all energia finale (E) è positiva e pari all energia finale SOLUZIONE. La capacità finale C f del condensatore con il dielettrico inserito è dove C i è la capacità iniziale. Poiché il condensatore resta collegato al generatore, la differenza di potenziale tra le sue armature resta costante e la differenza tra energia potenziale finale e iniziale del condensatore vale L energia finale è pari al doppio di quella iniziale: a potenziale costante, il condensatore è più stabile senza alcun dielettrico inserito tra le armature. B.8. Un grande condensatore a facce piane e parallele porta una carica Q = 9.6 nc. Sapendo che la superficie delle armature del condensatore è S = 6 cm e che il condensatore si trova in aria, calcolare la densità di energia del campo elettrico all interno del condensatore. (NB: la costante dielettrica dell aria è circa uguale alla costante dielettrica del vuoto) (A)5 nw/m (B).3 mj/m 3 (C).3 ev/m 3 (D).5 J/m 3 (E)58 nj/m 3 SOLUZIONE. Il campo elettrico all interno del condensatore è E = / = Q/ S e la densità di energia vale U E E Q S Q S J m mj m 8