Trasformazioni geometriche

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1 Trasformazioni geometriche Generalità sulle trasformazioni geometriche Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca, quindi una funzione, che associa a un punto P del piano in un punto P. Indicando con t una generica trasformazione, con le notazioni utilizzate nelle funzioni, avremo: Essendo t una trasformazione biunivoca esiste anche la trasformazione inversa che trasforma P in P t P (x ; y ) P(x ; y) t 1 Spesso le coordinate di P sono esprimibili mediante funzioni matematiche di x e di y, dette equazioni di trasformazione: Si chiama trasformazione identica o identità la trasformazione che ad ogni punto del piano fa corrispondere il punto stesso. In una trasformazione t non identica, chiameremo punto unito un punto che è trasformato in se stesso e figura unita una figura che è trasformata in se stessa. Se tutti i punti di una figura sono punti uniti anche la figura è unita; non sempre è vero il viceversa: i punti di una figura unita, rispetto ad una trasformazione t, possono non essere punti uniti. Ad esempio la trasformazione che associa ad un punto P di una Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 1

2 circonferenza il punto P tale che PP sia diametro trasforma la circonferenza in se stessa anche se i punti non sono uniti. Poiché le trasformazioni sono funzioni si possono fare composizioni di trasformazioni come in figura t 1 P (x ; y ) P(x ; y) t P (x ; y ) t t t 1 Quindi Esempio Si considerino le trasformazioni: 1 Si determini l immagine di P(1, -3) nelle trasformazioni 1 1. Si scrivano quindi le espressioni analitiche di tali trasformazioni composte. Quindi Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 2

3 Considerando un generico punto P(x; y) determiniamo le espressioni analitiche delle trasformazioni composte Quindi Osservazione 1 1 Dall esempio si evince che la composizione delle trasformazioni non è commutativa ossia in generale 1 1 Trasformazione involutoria Una trasformazione si dice involutoria se, componendola con se stessa, ossia applicandola due volte, si ottiene lo stesso punto di partenza, cioè tale composizione è una identità. Pertanto una trasformazione involutoria coincide con la sua inversa. La trasformazione che associa ad un punto P di una circonferenza il punto P tale che PP sia diametro è involutoria; infatti applicandola due volte si ottiene lo stesso punto di partenza. P(x; y) P (x ; y ) Proprietà invarianti rispetto ad una trasformazione Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 3

4 Si dice che una certa proprietà geometrica è invariante rispetto ad una trasformazione t se, comunque si scelga una figura geometrica F che gode di tale proprietà, anche la figura F = F(t), trasformata di F, gode di tale proprietà. Affinità Si dice affinità una trasformazione biunivoca che muta rette in rette; conserva l allineamento (per questo vengono anche dette trasformazioni lineari) e il parallelismo. Non conserva le distanze né gli angoli, cioè non conserva la forma delle figure. Le trasformazioni delle affinità sono date dalle seguenti equazioni lineari: Fissata, viceversa, una coppia di valori (x ; y ), è possibile ricavare (x ; y), cioè la trasformazione inversa risolvendo il sistema: la cui soluzione è garantita dalla condizione. Se una figura ha area S e la sua trasformata nell affinità ha area S, allora risulta: Il numero è detto rapporto di affinità o costante di affinità. Proprietà invarianti delle affinità 1. L allineamento: le immagini di tre punti allineati sono allineati 2. L appartenenza ad segmento: se C appartiene ad un segmento AB anche C immagine di C appartiene al segmento A B immagine di AB 3. Il parallelismo: le immagini di due rette parallele sono ancora parallele Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 4

5 4. L incidenza: le immagini di due rette incidenti sono ancora incidenti e il loro punto di intersezione è l immagine del punto d intersezione delle rette date 5. Il rapporto tra aree: se α e β sono le aree di due figure e α e β sono le aree delle loro rispettive trasformate si ha che: α : β = α : β Esempio 1 Dato il triangolo ABC di vertici A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1), determinare i vertici del suo trasformato A B C nell affinità di equazioni: Determinare poi gli eventuali punti uniti nella trasformazione assegnata. Sostituendo nelle equazioni della trasformazione le coordinate dei punti si ottengono le coordinate dei punti trasformati: Per determinare gli eventuali punti uniti dell affinità basta porre nelle equazioni della trasformazione: x = x e y = y: Esempio 2 Verificare che, nell affinità di equazioni: l asse x è una retta unita e che il punto P(1; 0) è unito. Sapendo poi che il trasformato C di un cerchio C ha l area che misura 24π, si chiede di determinare la misura del raggio di C. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 5

6 Un qualunque punto dell asse delle x ha coordinate nell equazioni si ottiene: (x; 0). Sostituendo tali coordinate Un punto di coordinate (2x 1; 0) appartiene ancora all asse delle x. L asse delle x è, quindi, una retta unita, anche se non è fatta di punti uniti. Il punto (1; 0) è unito. Infatti sostituendolo nell equazioni si ottiene lo stesso punto L area di C =24π; ; ; ; ;. Esempio 3 Una retta ha equazione y = 3x + 1. Scrivere l equazione della retta trasformata nell affinità: Ci ricaviamo x e y dalle due equazioni e le sostituiamo nella retta. Sostituendo nella retta la soluzione del sistema si ottiene la retta x + 2y 4 = 0. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 6

7 Grafici trasformati Consideriamo una funzione y = f(x) e sia ϒ il suo grafico. Una trasformazione t applicata a tutti i punti del grafico trasforma ϒ in ϒ di equazione y = g(x) diversa da y = f(x) t y = g(x) y = f(x) Esempio Data la trasformazione si determini l equazione trasformata della circonferenza di equazione. Dove indica la trasformazione e indicano le sostituzioni da effettuare nell equazione per ottenere l equazione trasformata. Isometrie Tra le affinità ci sono le trasformazioni isometriche o isometrie, cioè trasformazioni che conservano le distanze e gli angoli. Tra le isometrie considereremo la traslazione e le simmetrie rispetto al centro e ad una retta Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 7

8 Traslazione Si definisce traslazione τ di vettore la trasformazione che al punto P(x; y) fa corrispondere il punto P (x ; y ) tale che PP =. Il vettore può essere un qualsiasi vettore equipollente a per cui possiamo supporre che abbia il primo estremo di coordinate (0, 0), cioè nell origine O del sistema di riferimento, e secondo estremo di coordinate (a; b). L espressione analitica di τ è: P (x ; y ) b v b a P(x; y) a Per a = 0 e b = 0 si ha la trasformazione identica Se a 0 e b = 0 si ha una traslazione orizzontale di vettore (verso destra se a > 0 e verso sinistra se a < 0) a > 0 P(x; y) a P (x ; y ) v a a < 0 P (x ; y ) a P(x; y) v a Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 8

9 Se a = 0 e b 0 si ha una traslazione verticale di vettore (verso l alto se b > 0 e verso il basso se b < 0) P (x ; y ) b > 0 b v b P(x; y) P(x; y) b < 0 b P (x ; y ) b v La traslazione è una corrispondenza biunivoca e quindi esiste la traslazione inversa di equazioni: 1 Grafici traslati Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una traslazione τ di vettore ( nel grafico ϒ e anche la sua equazione subisce una trasformazione: ) lo trasforma y = f(x-a) + b v ϒ y = f(x) ϒ Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 9

10 Esempio 1 Dimostrare che una generica traslazione non ha punti uniti. Per determinare i punti uniti bisogna sostituire x a x e y a y nell equazioni che sono impossibili e per cui non esistono punti uniti. Esempio 2 Data la curva di equazione scrivere l equazione di quella traslata secondo il vettore e si disegnino i rispettivi grafici. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 10

11 Esempio 3 Una traslazione τ trasforma il grafico della funzione 1 in quello della funzione. Individuare la traslazione. Applicando il principio d identità dei polinomi abbiamo: La traslazione cercata è: Esercizi proposti 1. Dopo aver tracciato il grafico della funzione dedurre i grafici delle seguenti funzioni: 2. Dopo aver tracciato il grafico della funzione dedurre i grafici delle seguenti funzioni: 3. Tracciare il grafico della funzione operando sul grafico della parabola Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 11

12 Simmetrie Definizioni fondamentali Si definisce simmetria rispetto ad una retta generica r (simmetria assiale di asse r), e la si indica con σ r, la corrispondenza biunivoca che ad ogni punto del piano P(x; y) fa corrispondere il punto P (x ; y ) in modo tale che la retta r sia perpendicolare al segmento PP e passi per il suo punto medio in modo che r sia l asse del segmento PP. P(x; y) σ r P P P (x ; y ) asse Nella simmetria assiale tutti i punti dell asse r sono uniti; r è, quindi, una retta unita; inoltre tutte le rette perpendicolari ad r sono rette unite ma non luogo di punti uniti; inoltre la simmetria rispetto ad una retta è involutoria e perciò coincide con la sua inversa. P(x; y) P (x ; y ) Retta unita ma non formata da punti uniti asse Particolarmente importanti sono le simmetrie rispetto agli assi cartesiani, rispetto alle rette parallele a uno di essi e rispetto alle bisettrici del 1-3 quadrante e del 2-4 quadrante. Le loro equazioni e le relative sostituzioni associate, si possono ottenere in base a considerazioni geometriche di carattere elementare. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 12

13 Simmetria rispetto ad una retta parallela all asse delle x Y P(x; y) Y 0 Y P (x ; y ) X La simmetria rispetto ad una retta parallela all asse delle x è la trasformazione del piano, indicata con e che associa al punto P(x; y) il punto P (x ; y ) simmetrico di P rispetto alla retta y = y 0. I punti P e P hanno la stessa ascissa; mentre y 0 è l ordinata del punto medio del segmento PP. Pertanto le equazioni della trasformazione sono: Nel caso in cui y 0 = 0 l asse di simmetria coincide con l asse delle x. Y P(x; y) 0 x -Y P (x; -y) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 13

14 In questo caso, le equazioni della trasformazione sono: Esempio Si consideri la circonferenza ϒ di centro C(-1; 2) e raggio. Determinare l equazione di ϒ simmetrica di ϒ rispetto alla retta passante per A(0; 2) e parallela all asse y. Equazione della circonferenza: Equazione della retta passante per A e parallela all asse y: y = 2 Equazioni della simmetria: Facendo tali sostituzioni nell equazione della circonferenza determiniamo ϒ Avendo trovato la stessa equazione significa che la circonferenza è simmetrica rispetto a tale retta. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 14

15 Simmetria rispetto ad una retta parallela all asse delle y P(x; y) P (x ; y ) y=2 X X 0 X La simmetria rispetto ad una retta parallela all asse delle y è la trasformazione del piano, indicata con e che associa al punto P(x; y) il punto P (x ; y ) simmetrico di P rispetto alla retta x = x 0. I punti P e P hanno la stessa ordinata; mentre x 0 è l ascissa del punto medio del segmento PP. Pertanto le equazioni della trasformazione sono: Nel caso in cui x 0 = 0 l asse di simmetria coincide con l asse delle y e quindi la simmetria è rispetto a questo asse. P(-x; y) P (x ; y ) -X 0 X Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 15

16 Le equazioni della trasformazione sono: Esempio La retta r ha equazione x + y - 2 = 0 determinare la retta s simmetrica di r rispetto alla retta di equazione x = 4. Equazioni della simmetria: Facendo tali sostituiamo nell equazione della retta otteniamo la retta s simmetrica di r Simmetria rispetto alla bisettrice del 1-3 quadrante La simmetria rispetto alla bisettrice del 1-3 quadrante è la trasformazione del piano, indicata con σ y=x e che associa al punto P(x; y) il punto P (x ; y ) simmetrico di P rispetto alla retta y = x. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 16

17 H(0, y) y= x P (x ; y ) O K(x, 0) I triangoli OPH e OP K sono congruenti avendo l ipotenusa e un angolo acuto congruenti. Pertanto si ha: L espressione analitica della simmetria rispetto alla bisettrice del 1-3 quadrante è: Esempio Determinare l equazione della curva simmetrica rispetto alla bisettrice del 1-3 quadrante della curva di equazione. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 17

18 Simmetria rispetto alla bisettrice del 2-4 quadrante La simmetria rispetto alla bisettrice del 2-4 quadrante è la trasformazione del piano, indicata con σ y=-x e che associa al punto P(x; y) il punto P (x ; y ) simmetrico di P rispetto alla retta y = - x. y= -x H(0; y) P (x ; y ) K(x ; 0) O I triangoli OPH e OP K sono congruenti avendo l ipotenusa e un angolo acuto congruenti. Pertanto si ha: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 18

19 L espressione analitica della simmetria rispetto alla bisettrice del 2-4 quadrante è: Esempio 1 Una curva ϒ ha equazione. Determinare l equazione della curva ϒ simmetrica di ϒ rispetto alla bisettrice del 2-4 quadrante. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 19

20 Simmetria rispetto ad una retta non parallela agli assi A causa della loro complessità non formuleremo le equazioni di una generica simmetria assiale ma illustreremo, con un esempio, un metodo che consenta, data l equazione di una retta r, di determinare le equazioni della simmetria rispetto a essa. Esempio Determinare le equazioni della simmetria rispetto alla retta r di equazione: 2x y -2 = 0 P(x; y) M P (x; y) r:asse Il punto medio M di PP ha coordinate: Il coefficiente angolare di PP è: Il punto M appartiene alla retta r e quindi le sue coordinate devono soddisfare l equazione della retta r: Inoltre dev essere ; questo vuol dire che: Ponendo a sistema le due equazioni trovate e risolvendolo rispetto alle incognite x e y, si ottengono le equazioni della simmetria assiale σ r Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 20

21 Grafico simmetrico rispetto all asse x di un grafico dato Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto all asse della x lo trasforma nel grafico ϒ x e la sua equazione subisce la seguente trasformazione: Per determinare il grafico simmetrico rispetto all asse delle x è sufficiente cambiare di segno la funzione. ϒ y = f(x) 0 ϒ x y=- f(x) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 21

22 Esempio Determinare il grafico simmetrico rispetto all asse delle x della parabola di equazione La parabola simmetrica rispetto all asse delle x ha equazione Grafico simmetrico rispetto ad una parallela all asse x di un grafico dato Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto ad una retta di equazione y = y 0 lo trasforma nel grafico e la sua equazione subisce la seguente trasformazione: y = f(x) ϒ y 0 γ y y y=2y 0 - f(x) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico 0 E. Medi - Galatone Pag. 22

23 Esempio Determinare l equazione del grafico simmetrico rispetto alla retta di equazione y = 4 della parabola di equazione La parabola simmetrica rispetto alla retta di equazione y = 4 ha equazione Grafico simmetrico rispetto all asse y di un grafico dato Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto all asse della y lo trasforma nel grafico ϒ y e la sua equazione subisce la seguente trasformazione: y= f(-x) y = f(x) ϒ y ϒ Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 23 0

24 Per determinare il grafico simmetrico rispetto all asse delle x è sufficiente cambiare di segno la variabile x. Esempio Determinare l equazione del grafico simmetrico rispetto all asse delle y della parabola di equazione. Per determinare l equazione richiesta è sufficiente cambiare di segno la variabile x Grafico simmetrico rispetto ad una parallela all asse y di un grafico dato Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto ad una retta di equazione x = x 0 lo trasforma nel grafico e la sua equazione subisce la seguente trasformazione: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 24

25 y= f(x) y = f(2x 0 -x) ϒ γ x x x 0 Esempio Determinare l equazione del grafico simmetrico rispetto alla retta di equazione x = 2 parabola di equazione della La parabola simmetrica rispetto alla retta di equazione x = 2 ha equazione Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 25

26 Grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante di un grafico dato Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante lo trasforma nel grafico ϒ y=x e la sua equazione subisce la seguente trasformazione: ϒ y= x y= f(x) x = f(y) γ y x Esempio Determinare l equazione del grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del 1-3 quadrante della curva di equazione 1 1 La curva simmetrica richiesta ha equazione: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 26

27 Grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del 2 e 4 quadrante di un grafico dato Il grafico ϒ di una funzione y = f(x) sottoposto ad una simmetria rispetto alla bisettrice del 2 e 4 quadrante lo trasforma nel grafico ϒ y=-x e la sua equazione subisce la seguente trasformazione: y= -x y= f(x) ϒ -x = f(-y) γ y x Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 27

28 Esempio Determinare l equazione del grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del 2-4 quadrante della curva di equazione 1 1 La curva simmetrica richiesta ha equazione: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 28

29 Tabella riassuntiva simmetrie Simmetria Asse Equazione asse Equazioni simmetria Sostituzione associata Curva simmetrica di F(x; y) = 0 σ x Asse x y = 0 F(x; -y) = 0 σ y Asse y x = 0 F(-x; y) = 0 Parallela asse x F(x; 2y 0 -y) = 0 Parallela asse y F(2x 0 -x; y) = 0 Bisettrice 1-3 quadr. Bisettrice 2-4 quadr. y = x F(y; x) = 0 y = -x F(-y; -x) = 0 Osservazione Sia F(x; y) = 0 una curva. Se: In F(x; y) compaiono solo potenze pari di x allora la curva è simmetrica rispetto all asse y In F(x; y) compaiono solo potenze pari di y allora la curva è simmetrica rispetto all asse x In F(x; y) compaiono potenze pari sia di x che di y allora la curva è simmetrica rispetto a entrambi gli assi e anche rispetto all origine Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 29

30 Simmetria rispetto a un punto o simmetria centrale Si definisce simmetria rispetto ad un punto generico C (simmetria centrale, di centro C), e la si indica con σ c, la corrispondenza biunivoca che ad ogni punto del piano P(x; y) fa corrispondere il punto P (x ; y ) in modo tale che il punto C sia il punto medio del segmento PP. P(x; y) C(x c ; y c ) σ r P P P (x; y) Nella simmetria centrale di centro C il centro è l unico punto unito e sono unite tutte le rette passanti per il centro anche se non sono luoghi di punti uniti. Per determinare le equazioni della simmetria σ c basta tenere presente che C è punto medio del segmento PP. Ricordando che le coordinate del punto medio di un segmento sono le medie aritmetiche delle coordinate omonime degli estremi si ha: Quando il centro di simmetria coincide con l origine O(0; 0) del sistema di riferimento le equazioni della simmetria σ o rispetto all origine sono: Anche la simmetria centrale è una trasformazione involutoria e quindi coincide con la sua inversa. Esempio Determinare le coordinate del punto P simmetrico del punto P(-3; 3) rispetto al punto C(2; -1). Le coordinate di P sono date dalle seguenti formule: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 30

31 Grafico simmetrico rispetto ad un punto di un grafico dato Data una curva ϒ di equazione F(x; y) = 0 e un punto C(x c ; y c ) il grafico sottoposto ad una simmetria rispetto al punto C lo trasforma nel grafico ϒ c e la sua equazione subisce la seguente trasformazione: F(x;y) = 0 C(x c ; y c ) F(2x c -x; 2y c -y) = 0 Esempio Verificare che la curva di equazione punto C(-1; 2). è simmetrica rispetto al Una curva è simmetrica rispetto ad un punto C(x c ; y c ) se Sostituiamo, quindi, le equazioni della simmetria centrale nell equazione data e dovremmo ottenere la stessa equazione Sviluppando l ultima equazione si ottiene l equazione di partenza. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 31

32 Esempio Determinare il valore del parametro k per il quale la curva di equazione simmetrica rispetto all origine degli assi. è La curva è simmetrica rispetto all origine degli assi se sostituendo equazione si ottiene la stessa Affinché le due equazioni risultino uguali k = -k e questo succede se k = 0. Grafico simmetrico rispetto all origine di un grafico dato Data una curva ϒ di equazione F(x; y) = 0 il grafico sottoposto ad una simmetria rispetto all origine del sistema di riferimento lo trasforma nel grafico ϒ o e la sua equazione subisce la seguente trasformazione: F(x;y) = 0 F(-x; -y) = 0 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 32

33 Esempio Determinare l equazione del grafico simmetrico rispetto all origine del sistema di riferimento della curva di equazione La curva simmetrica richiesta ha equazione: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 33

34 Rotazioni Dato un punto C e un angolo α, si definisce rotazione di centro C e angolo α la trasformazione che associa, a un generico punto P del piano, il punto P tale che e. P P α C Osservazione Se la rotazione si riduce all identità Se si ottiene la simmetria centrale rispetto al punto C (una simmetria centrale può essere considerata una rotazione di un angolo piatto attorno al centro di simmetria) L unico punto unito è il centro e non vi sono rette unite Rotazione rispetto all origine Nel caso in cui il centro della rotazione coincide con l origine degli assi, si parla di rotazione rispetto all origine le cui equazioni si possono ottenere nel seguente modo K(0; y ) P (x ; y ) ρ ρ P(x; y) O α θ Q(x ; 0) H(x; 0) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 34

35 Nei triangoli rettangoli OPH e OP K si ha che: cos Applicando alle (2) le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto delle (1), si ottiene: Le equazioni della rotazione sono quindi: Equazioni della rotazione rispetto a un centro C(xc; yc) Per determinare tali equazioni si considera, per prima, il sistema di riferimento XCY rispetto al quale il centro di rotazione è l origine. Successivamente tali equazioni si riferiscono al sistema di riferimento xoy y K(0; y ) Y P (x ; y ) ρ ρ P(x; y) y c C α θ X Prof. G. Frassanito Liceo scientifico O E. Medi x c - Q(x ; Galatone 0) H(x; 0) x Pag. 35

36 Rispetto al sistema di riferimento XCY la rotazione è rispetto all origine, quindi si ha: Riferendo le precedenti equazioni rispetto al sistema di riferimento xoy e tenendo presenti le equazioni della traslazione degli assi cartesiani si otterranno le equazioni della rotazione rispetto a C Eseguendo le moltiplicazioni e ponendo avremo: Trasformazione inversa La trasformazione inversa di una rotazione di un angolo α è sempre una rotazione di un angolo α e la si ottiene sostituendo nelle equazioni (3) al posto di α α: 1 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 36

37 Poiché la rotazione non è una trasformazione involutoria, le sostituzioni da fare nell equazione F(x; y) = 0 di una curva ϒ, per ottenere l equazione della curva ϒ, immagine di ϒ nella rotazione di un angolo α rispetto all origine è: Esempio 1 Dato il grafico dell ellisse ϒ di equazione, determinare l equazione dell ellisse che si ottiene ruotando ϒ di 45 rispetto all origine e le coordinate e le coordinate dei vertici, estremi dell asse maggiore. Applicando la (3) e la (6) abbiamo le equazioni della rotazione e la sostituzione associata: ( ) ( ) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 37

38 I vertici, estremi dell asse maggiore hanno coordinate (-3; 0) e (3; 0). Applicando le equazioni della rotazione si ha: ( ) Esempio 2 ( ) Identificare centro e angolo della rotazione di equazioni: Metodo 1 Le equazioni sono nella forma (4), con α=60, a=2, b=0 cos cos Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 38

39 Metodo 2 Il centro della rotazione è l unico punto unito della trasformazione e le sue coordinate non mutano. Ponendo nelle equazione del testo x al posto di x e y al posto di y si ottiene un sistema che fornisce le coordinate del centro Esempio 3 Data la retta r di equazione, scrivere l equazione della retta r che si ottiene sottoponendo r a una rotazione di 240 rispetto al punto (0; 3). La retta data ha una inclinazione di 60 rispetto all asse delle x; sottoponendola ad una rotazione di 240 alla fine la retta forma un angolo di 300 rispetto all asse della x. Il suo coefficiente angolare è Sapendo che la retta passa per il punto (0; 3) si ha: Esempio 4 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 39

40 Determinare l equazione della curva che si ottiene sottoponendo l iperbole di equazione a una rotazione di 45 rispetto all origine. Applicando la (3) e la (6) abbiamo le equazioni della rotazione e la sostituzione associata: ( ) ( ) Proprietà invarianti delle isometrie Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 40

41 4. Le lunghezze: se A B è l immagine del segmento AB in una isometria, allora, cioè i due segmenti hanno la stessa lunghezza. 5. L estensione delle superfici: se α è l immagine di una superficie αin un isometria, allora, cioè α e α hanno la stessa superficie. Similitudini Sia t una trasformazione e siano A e B le immagini in t rispettivamente di due punti qualunque A e B del piano; se: Il numero reale r è detto rapporto di similitudine La figura geometrica ϒ ottenuta applicando una similitudine ad una figura ϒ è simile alla figura data. Se il rapporto di similitudine è 1, la similitudine è una isometria (le isometrie sono delle particolari similitudini) Omotetia con centro nell origine Si definisce omotetia con centro nell origine di rapporto k, numero reale diverso da zero, e si indica con, la trasformazione che associa ad un punto P(x; y) il punto P (x ; y ) tale che: k>0 P(kx; ky) P(kx; ky) K<0 H Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone H Pag. 41 P(x; y)

42 Equazioni della trasformazione inversa dell omotetia Dalle (1) si ricavano facilmente le equazioni della trasformazione inversa dell omotetia La trasformazione inversa dell omotetia di rapporto omotetia di rapporto 1 e centro nell origine con centro nell origine è ancora una 1 1 La sostituzione associata all omotetia di rapporto k con centro nell origine è Omotetia con centro in un punto C Per ottenere le equazioni dell omotetia con centro in un generico punto C e rapporto k, che si indica con, è sufficiente considerare il sistema di riferimento XCY, traslato rispetto a xoy, con l origine nel punto C. Rispetto a tale sistema di riferimento l omotetia ha equazioni: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 42

43 y Y P (x ; y ) P(x; y) y c C X O x c x Essendo (equazioni della traslazione del sistema di riferimento), nel sistema di riferimento xoy le equazioni dell omotetia diventano: Posto Se le equazioni dell omotetia sono date nella forma (4) dalle (3) è possibile ricavare il centro dell omotetia: Osservazione Se k = 1 l omotetia è una identità Se k = -1 l omotetia è una simmetria rispetto all origine Se l unico punto unito è il suo centro e sono unite (ma non formate da punti uniti) tutte le rette passanti per il centro dell omotetia. Il rapporto tra l immagine A B di un qualsiasi segmento AB e il segmento AB stesso è sempre uguale (l omotetia è una similitudine). Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 43

44 In un omotetia con centro nell origine, l origine O, il punto P e la sua immagine P sono allineati. Infatti le rette OP e OP passano per l origine e hanno lo stesso coefficiente angolare Esempio 1 Si consideri la trasformazione di equazioni Verificare che è un omotetia, determinandone l centro. Le equazioni sono date nella forma E sono quindi le equazioni di una omotetia di rapporto k = 3. Determiniamo le coordinate del centro Metodo 1 Applichiamo le formule Metodo 2 Poiché il centro è l unico punto unito è sufficiente sostituire nelle equazioni dell omotetia Esempio 2 Determinare l equazione della curva che si ottiene sottoponendo la parabola di equazione a un omotetia di rapporto -1/2 e centro nell origine. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 44

45 1 Composizione di similitudini Diamo il seguente teorema senza dimostrazione Teorema Componendo due similitudini di rapporto, rispettivamente, r 1 e r 2 si ottiene una similitudine di rapporto r 1 r 2. Osservazione Essendo le isometrie particolari similitudini, dal teorema precedente segue che componendo una isometria e una similitudine si ottiene una similitudine. Esempio Si potrebbe dimostrare che ogni similitudine si può ottenere componendo un opportuna isometria con un omotetia Verificare che una generica parabola di equazione equazione è simile alla parabola di Sottoponiamo la parabola di equazione prima a un omotetia di rapporto 1/a e successivamente ad una traslazione che porti l origine nel vertice della parabola 1 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 45

46 Qualunque parabola può essere trasformata mediante un opportuna rotazione in una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle y e poiché queste sono tutte simili possiamo affermare che tutte le parabole sono simili tra di loro. Proprietà invarianti delle similitudini 1. I rapporti tra lunghezze: se A B e C D sono le immagini di AB e CD in una similitudine, si ha che. 2. Le ampiezze degli angoli: se è l immagine di un angolo, allora i due angoli sono congruenti. 3. La perpendicolarità: le immagini di due rette perpendicolari in una similitudine, per la precedente proprietà, sono anch esse perpendicolari. Dilatazioni con centro nell origine Assegnati due numeri reali h e k entrambi non nulli, si dice dilatazione con centro nell origine e si indica con quella trasformazione che associa a un generico punto P(x; y) il punto P (x ; y ) tale che Osservazione Se h = k la dilatazione è un omotetia Se h = k = 1, la dilatazione si riduce all identità Se h = k = -1, la dilatazione coincide con la simmetria rispetto all origine Se h = -1 e k = 1 la dilatazione è una simmetria rispetto all asse y Se h = 1 e k =- 1 la dilatazione è una simmetria rispetto all asse x Se h 1 e k =1 la dilatazione è detta orizzontale Se h = 1 e k 1 la dilatazione è detta verticale Se una dilatazione non è l identità l unico punto unito è l origine e le uniche rette unite sono gli assi cartesiani Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 46

47 Contrazione orizzontale Esempio Determinare e rappresentare graficamente il trasformato del segmento di estremi A(1; 1) e B(2; 2) nelle seguenti dilatazioni: 1 Notiamo che 1 e sono dilatazioni orizzontali e e sono dilatazioni verticali. Inoltre 1 e sono vere e proprie dilatazioni mentre e sono delle contrazioni. 1 2 B B δ 1 x y x y 1 A A Dilatazione orizzontale 2 B B δ x x y y 1 A A Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag

48 4 B δ x x y y 2 A B 1 A 1 2 x δ y x y 2 Dilatazione verticale B 1 A B 1/2 A 1 2 contrazione verticale Equazioni della trasformazione inversa della dilatazione Dalle (1) si ricavano facilmente le equazioni della trasformazione inversa della dilatazione Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 48

49 La trasformazione inversa della dilatazione di rapporti ancora una omotetia di rapporto 1 1 e centro nell origine con centro nell origine è La sostituzione associata alla dilatazione di rapporti h e k con centro nell origine è Dilatazione di Grafici Se si applica una dilatazione la cui equazione è a una curva ϒ di equazione y = f(x), si ottiene la curva ϒ d dilatata Esempio 1 Determinare equazione e grafico ϒ della parabola di grafico ϒ e di equazione alla dilatazione orizzontale di equazioni:, sottoposta 1 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 49

50 1 Esempio 2 Dal grafico ϒ della funzione di equazione dedurre quello ϒ d di. L equazione si può scrivere come che si ottiene da mediante la sostituzione Che è la sostituzione associata alla dilatazione 1 y x Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag ϒ

51 Il grafico ϒ d si otterrà da ϒ facendo corrispondere ad ogni punto P di ϒ un punto P che ha ascissa un terzo di quella di P e ordinata doppia. Esempio 3 Dal grafico della funzione di equazione dedurre quello di applicando opportune trasformazioni. Per ottenere il grafico richiesto occorre effettuare sul grafico prima una traslazione di una unità verso sinistra; poi, sul grafico trasformato una dilatazione orizzontale di rapporto ½; infine sul grafico così ottenuto una simmetria rispetto all asse delle y. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 51

52 2 y x y x ,5 1 2 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 52

53 y x y x 2 1-0,5 0,5 1 2 Esempio 4 Dal punto P( ) condurre le tangenti all ellisse di equazione Applichiamo all ellisse la dilatazione 1 1 Che trasformerà l ellisse in una circonferenza Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 53

54 Il trasformato del punto P( ) è P Determiniamo le tangenti alla circonferenza condotte dal punto P. Scriviamo l equazione del fascio di rette passante per P ( ) Imponiamo che la distanza di tale retta dal centro della circonferenza C(0; 0) sia uguale al raggio r = 1 Le rette tangenti cercate hanno equazioni: 1 Applicando a r 1 e r 2 la dilatazione inversa otterremo le equazioni delle tangenti all ellisse 1 ( ) 1 ( ) Dilatazioni con centro diverso dall origine Le equazioni delle dilatazioni con centro diverso dall origine, ricavate con considerazioni analoghe a quelle svolte per le omotetie sono Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 54

55 Posto Le coordinate del centro sono date dalle seguenti formule Bibliografia N. Dodero P. Baroncini R. Manfredi: Elementi di matematica vol. 3 e Nuovi elementi di matematica vol A - Ghisetti e Corvi Editori Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 55