Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)= e x /x +1 2) f(x)= logx/x 3) f(x)= e x /x 4) f(x)= e x /(x-2)

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1 Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)= e x /x +1 2) f(x)= logx/x 3) f(x)= e x /x 4) f(x)= e x /(x-2)

2 SOLUZIONE: Si esclude la 4) perché non è definita per x=2 e la 2) perché definita solo per x>0. Si esclude la 1) perché il suo limite per x - è 1. La funzione 3) ha tutte le proprietà evidenziate dal grafico compreso il limite per x - uguale a 0.

3 Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)= logx/x 2) f(x)= 2log(x-1)/(x+1) 3) f(x)= 5log(x+1)/(x-1) 4) f(x)= logx 2 /(x+1) + 1

4 SOLUZIONE: si esclude la funzione 1) perché definita per x>0; si esclude la funzione 2) perché definita per x>1; si esclude la 4) perché è definita nel punto x=1 al contrario di quanto appare nel grafico; La funzione 3) va bene perché soddisfa a tutte le proprietà evidenziate dal grafico (insieme di def dato da x>-1 con x 1, ecc )

5 1- Scrivi l espressione analitica di una funzione f(x) continua, definita e crescente su tutto R, che abbia limite per x + uguale a 3 e sia f(0)= -2. SOLUZIONE: Tra le tante funzioni possibili, una volta disegnato un grafico compatibile con le richieste, si può pensare, ad esempio ad una funzione del tipo f(x)=aexp(-x) +B, dove A e B sono opportune costanti che si determinano in base alla condizione di limite B=3 (infatti exp(-x) tende a 0 per x che tende a + ) e alla condizione f(0)=-2 che ci da A+ B=-2, vale a dire A+3=-2, da cui A=-5, quindi abbiamo ottenuto la funzione f(x)=-5exp(-x)+3; Altro esempio Ragionando in modo analogo si potrebbe cercare una funzione f(x)=aarctanx+b, imponendo le condizioni assegnate si otterrebbe A(π/ 2) +B=3, B=-2, da cui f(x)=(10/π)arctanx-2

6 2- Scrivi l espressione analitica di una funzione f(x) continua, definita e decrescente su tutto R, che sia limitata tra i valori -2 e 1. SOLUZIONE: Ci sono molte funnzioni che soddisfano alla richiesta, ad esempio una funzione limitata del tipo f(x)= A+ Barctanx, dove A e B sono opportune costanti da determinare in base alle richieste dell esercizio, in particolare ricordando che la funzione arctanx tende a π/2 per x +, mentre tende a -π/2 per x -, si pone A (π/2)b = 1 A+(π/2)B = -2 da cui otteniamo A= -1/2, B= -3/π e quindi f(x)= -1/2 3/π arctanx

7 3- Scrivi l espressione analitica di una funzione f(x) continua, definita per x>1, tale che f(x)<0 per 2<x<3; inoltre si abbia lim x 1+ f(x) = +, lim x + f(x)= + SOLUZIONE: Il fatto che la funzione debba essere definita per x>1, può far pensare a ln(x-1), ma bisogna sistemare il segno, in quanto ln(x-1)>0 per x>2, possiamo quindi pensare di moltiplicare ln(x-1) per una funzione che sia positiva per x>3 e negativa per x<3, dunque ad esempio f(x)=(x-3)ln(x-1) soddisfa ai requisiti richiesti. Altro esempio: Per essere definita per x>1 possiamo anche pensare a 1/ (x-1), per aggiustare il segno e i limiti possiamo mettere al numeratore un polinomio che sia negativo per 2<x<3 e positivo all esterno, quindi ad esempio f(x)=(x-2)(x-3) / (x-1) soddisfa ai requisiti richiesti.

8 1- A partire dalla conoscenza della funzione lnx e del suo grafico, disegna il grafico della funzione f(x)= 2 - lnx/x. Determina per f(x): 1) Dominio 2) Eventuali intersezioni con gli assi coordinati 3) per quali x si ha, eventualmente, f(x) 0 4) limiti ai bordi del dominio 5) Insieme immagine SOLUZIONE:Al punto 1) si risponde facilmente: dominio x>0; Per il resto conviene fare riferimento al grafico di lnx/x, si osserva che lnx/x è positiva per x>1, ha un punto di max relativo per x=e dove vale 1/e, tende a - per x che tende a 0+, e tende a 0 per x che tende a + ; la funzione opposta -lnx/x, avrà quindi valore minimo in x=e e varrà -1/e, sarà positiva per 0<x<1, tenderà a 0 per x che tende a +, e a + per x che tende a 0+;

9 Se sommiamo per 2, la funzione f(x)=2-lnx/x avrà limite + per x che tende a 0+, limite 2 per x che tende a +, e punto di minimo per x=e, in cui vale 2-1/e, dunque f(x) risulta sempre positiva e non ci sono intersezioni con l asse delle ascisse (con quello delle ordinate non ci possono essere in quanto il dominio è dato da x>0); infine l insieme immagine è la semiretta [2-1/e, + ); Vedi slide successivo per il grafico

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11 2- A partire dalla conoscenza della funzione arctanx e del suo grafico, disegna il grafico della funzione f(x)= 1/(arctanx + π/4), e determina per f(x): 1) Dominio 2) Eventuali intersezioni con gli assi coordinati 3) per quali x si ha, eventualmente, f(x) 0 4) limiti ai bordi del dominio 5) insieme immagine SOLUZIONE: 1) Dominio R/{-1}; 2) f(0)= 4/π, mentre non ci sono intersezioni con l asse delle ascisse (f(x) 0 per ogni x ); 3) si ha f(x)>0 per x>-1; 4) limite per x - uguale a 4/π, limite per x + uguale a 4/(3π), limite sinistro per x che tende a 1 uguale a -, limite destro uguale a + ; l insieme immagine è dato dall unione delle seguenti semirette (-, 4/π) (4/(3π), + )

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13 3- A partire dalla conoscenza della funzione e x e del suo grafico, disegna il grafico della funzione f(x)= 1/(e x - 2), e determina per f(x): 1) Dominio 2) Eventuali intersezioni con gli assi coordinati 3) per quali x si ha, eventualmente, f(x) 0 4) limiti ai bordi del dominio 5) insieme immagine SOLUZIONE: Dominio: R/{ ln2}, dovendo essere e x - 2 0; Disegnando il grafico di e x - 2 (ottenuto da quello di e x abbassando di 2 unità parallelamente all asse delle ordinate), si costruisce facilmente il grafico della funzione reciproco, infatti anch essa sarà positiva per x>ln2 e negativa per x<ln2; si avrà una intersezione con l asse delle ordinate nel punto (0,-1), infatti per x=0 dove f(0)= -1, non ci sono intersezioni con l asse delle ascisse, infatti f(x) non assume mai valore 0, vale a dire f(x) 0

14 SOLUZIONE (continua ): il limite destro per x che tende a ln2 è +, il limite sinistro è -, il limite di f(x) per x che tende a + è 0, il limite di f(x) per x che tende a - è -1/2; l insieme immagine è dato dall unione delle semirette (-,-1/2) (0, + )

15 1- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimo relativi o assoluti, concavità, convessità ed eventuali punti di flesso della funzione f(x)= (3+2xlnx)/2x SOLUZIONE: La funzione è definita solo per x>0; si ha f (x)=[(2lnx+2)2x-(3+2xlnx)2]/4x 2 = (4x-6)/4x 2 Dunque f (x)=0 per x=3/2, poiché f (x)>0 per x>3/2 e quindi f(x) è crescente per x>3/2, mentre f (x)<0 per x<3/2 e quindi f(x) è decrescente per x<3/2, il punto singolare x=3/2 è un punto di minimo relativo per la funzione, che risulta anche essere di minimo assoluto, essendo i limiti sia per x che tende a 0 da destra che per x che tende a + uguali a + 2- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimo relativi o assoluti, concavità, convesità ed eventuali punti di flesso della funzione f(x)= 2sinx -x 3- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimo

16 1- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimo relativi o assoluti, concavità, convessità ed eventuali punti di flesso della funzione f(x)= (3+2xlnx)/2x SOLUZIONE: La funzione è definita solo per x>0; si ha f (x)=[(2lnx+2)2x-(3+2xlnx)2]/4x 2 = (4x-6)/4x 2 Dunque f (x)=0 per x=3/2, poiché f (x)>0 per x>3/2 e quindi f(x) è crescente per x>3/2, mentre f (x)<0 per x<3/2 e quindi f(x) è decrescente per x<3/2, il punto singolare x=3/2 è un punto di minimo relativo per la funzione, che risulta anche essere di minimo assoluto, essendo i limiti sia per x che tende a 0 da destra che per x che tende a + uguali a + ; calcoliamo f (x)= (3-x)/x da cui si ottiene f (x)=0 per x=3, f (x)>0 per x<3 e quindi f(x) convessa per x<3, mentre f (x)<0 per x>3, dunque f(x) concava per x>3, x=3 è quindi un punto di flesso.

17 2- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimo relativi o assoluti, concavità, convesità ed eventuali punti di flesso della funzione f(x)= 2sinx -x SOLUZIONE: La funzione è definita su tutti i numeri reali, f (x)= 2cosx -1, f (x)=0 per x=π/6 +2kπ oppure per x=-π/6 +2kπ per ogni k Z e si ha per tutti i punti singolari x=π/6 +2kπ f (x)<0, e quindi f(x) decrescente, in un opportuno intorno sinistro della singolarità, mentre f (x)>0, e quindi f(x) crescente, in un opportuno intorno destro, quindi i punti sono punti di minimo relativo (non ci sono minimi assoluti poiché la funzione tende a - per x che tende a + ); mentre per i punti x= - π/6 +2kπ si ha f (x)>0 in un opportuno intorno sinistro e f (x)<0 in un opportuno intorno destro quindi tali punti sono di massimo relativo (non ci sono massimi assoluti poiché la funzione tende a + per x che tende a - ); calcoliamo f (x)= -2sinx

18 SOLUZIONE (continua ): poiché f (x)= -2sinx, avremo f (x)=0 per x=2kπ oppure per x=(2k+1) π che sono punti di flesso in quanto in un intorno opportuno di ciascuno di questi punti f (x) cambia segno, in particolare per x=2kπ si ha che f (x)>0 in un opportuno intorno sinistro e quindi f(x) è convessa, e a destra f (x)<0 e quindi f(x) diventa concava, viceversa per i punti x=(2k+1) π si ha f(x) concava in un opportuno intorno sinistro e convessa nell intorno destro.

19 3- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimo relativi o assoluti, concavità, convessità ed eventuali punti di flesso della funzione f(x)= e -x (3x-1) SOLUZIONE: la funzione è definita per ogni x reale; calcoliamo f (x)= (4-3x)/e x quindi f (x)=0 per x=4/3, inoltre f (x)>0, e quindi f(x) crescente, per x<4/3 e f (x)<0, e quindi f(x) decrescente, per x>4/3, quindi x=4/3 è un punto di massimo relativo, calcolando il limite di f(x) per x che tende a - si ha -, mentre f(x) tende a 0 per x che tende a +, dunque il punto x=4/3 è di massimo assoluto; calcoliamo f (x) = (3x-7)/e dunque f (x)=0 per x=7/3, inoltre f (x)>0 per x>7/3, f (x)<0 per x<7/3, x=7/3 è perciò un punto di flesso e f(x) è concava per x<7/3 e convessa per x>7/3