CIRCUITI IN ALTERNATA

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1 CIRCUITI IN ALTERNATA I primi impianti di illuminazione pubblica sorti fra fine 700 e inizio 800 erano in corrente continua. La limitazione principale dell uso di questi impianti era la breve distanza fra centrale di produzione e utenza. Con la successiva invenzione del trasformatore (nel 1840 ad opera di Masson e Brequet e migliorata ad opera di Galuard e Gibbs nel 1883) si poterono coprire distanze notevoli separando il luogo di produzione dell energia elettrica da quello dell utenza. Nel 1885 Galileo Ferraris scoprì il campo magnetico rotante che sta alla base del funzionamento dei motori elettrici asincroni. Queste invenzioni condizionarono la scelta per passare alla trasmissione dell energia in corrente alternata. Modello di motore elettrico di Galileo Ferraris con tre correnti sfasate tra loro di 120 (1893). Galileo Ferraris Grandezza periodica

2 Grandezza variabile nel tempo (le indichiamo con lettere minuscole) Grandezza impulsiva: è caratterizzata da un tempo di salita fino ad un massimo seguito da un decadimento fino all esaurimento del fenomeno. ESEMPI: fenomeni impulsivi sono la FULMINAZIONE ATMOSFERICA, con tempi complessivi dell ordine delle centinaia di s e intensità che vanno da a A oppure le SCARICHE ELETTROSTATICHE (ESD) che hanno tempi dell ordine di centinaia di ns e intensità di alcuni A.

3 Grandezza periodica: g(t) è definita periodica di periodo T se esiste un intervallo di tempo T verifichi l uguaglianza g(tt)= g(t) qualunque sia l istante t considerato. Gm T Si definisce VALOR MEDIO :

4 Grandezza alternativa: Gm = 0 Si definisce il VALOR EFFICACE: Geff Grandezza alternativa sinusoidale ampiezza pulsazione = 2 f = 2 /T f = frequenza [Hz] Nel caso delle sinusoidi: Geff = GM/ 2 Geff g(t) GM Il valor efficace è importante sia per la misura strumentale delle grandezze sinusoidali che per la valutazione delle potenze elettriche negli impianti elettrici. t fase iniziale

5 I NUOVI COMPONENTI DA INSERIRE NEI CIRCUITI IN ALTERNATA I circuiti studiati in corrente continua prevedono la presenza di soli bipoli di tipo resistivo, che portano in conto i fenomeni dissipativi espressi dalla legge di Joule. In regime alternativo sinusoidale intervengono fenomeni di accumulo energetico nel campo elettrico e magnetico interessanti il mezzo circostante il circuito: si tratta di fenomeni energetici di tipo conservativo che impegnano una parte dell energia generata negli accoppiamenti capacitivi (polarizzazione dielettrica) e induttivi (flussi concatenati). Tale forma di energia viene immagazzinata durante la fase transitoria di accensione del circuito e mantenuta fino allo spegnimento, fase durante la quale tale energia viene restituita al generatore. condensatore induttore In regime variabile: q(t) = C v(t) Legge di Faraday: e = - d /dt = - L di/dt

6 REGIME ALTERNATIVO SINUSOIDALE: CONDENSATORE vc(t) ic(t) C Se la tensione applicata è vc(t), possiamo ricavare la corrente ic(t) mediante operazione di derivata della q(t) = C vc(t) dove l ampiezza della corrente ICM = C VCM e la sinusoide della corrente anticipa quella della tensione vc(t) di /2 (quadratura in anticipo); vc(t) ic(t) t

7 INDUTTORE vl(t) il(t) Legge di Faraday: e = - d /dt = - L di/dt Tale legge è espressa mediante la convenzione del generatore; per invertire la convenzione e considerare il componente induttivo come passivo basta applicare una vl(t) che faccia passare la stessa corrente generata dalla e(t) : dal confronto delle figure riportate sotto si evince che basta porre vl(t) = - e(t) = L di/dt vl(t) il(t) il(t) e(t)

8 REGIME ALTERNATIVO SINUSOIDALE: INDUTTORE vl(t) il(t) Se la corrente circolante è il(t), possiamo ricavare la tensione vl(t) mediante operazione di derivata vl(t) = L di/dt dove l ampiezza della tensione è VLM = L ILM e la sinusoide della tensione anticipa quella della corrente di /2 (quadratura in anticipo); il(t) vl(t) t

9 RESISTENZA vr(t) ir_(t) Vale la legge di Ohm: facendo circolare la corrente R la tensione varrà: vr(t) ir(t) t Tensione e corrente sono perfettamente in fase.

10 METODO SIMBOLICO E FASORI Le grandezze sinusoidali espresse nel dominio del tempo per rappresentare le tensioni e le correnti in regime alternativo sinusoidale non saranno trattate come tali nella risoluzione dei circuiti elettrici in alternata. Utilizzeremo il metodo simbolico che fa ricorso ai numeri complessi e riporta le equazioni rappresentative del comportamento dei circuiti da essere di tipo trigonometrico a equazioni a coefficienti costanti ma complessi. Ricordiamo che un numero complesso è formato da due parti: una reale ed una immaginaria z = x j y in cui z = numero complesso; x = parte reale; y = coefficiente della parte immaginaria; j = unità immaginaria = -1. Im Questo tipo di rappresentazione è detta cartesiana. Un altra rappresentazione è quella polare : z = z cos j z sin y= z sin j z In base alla identità di Eulero: per cui : j 1 x= z cos Re

11 Nota la forma cartesiana si può ricavare quella polare con le formula di conversione: (modulo) (argomento o angolo o fase) Viceversa, nota la forma polare si ricava quella cartesiana da: x = z cos y = z sin La forma polare viene rappresentata in maniera sintetica indicando solo modulo e fase In definitiva, un numero complesso ha: una rappresentazione cartesiana una rappresentazione polare una rappresentazione grafica (segmento orientato uscente dall origine del riferimento e indicante nel piano complesso il punto di coordinate x, y)

12 Casi particolari: Moltiplicare l unità reale per j implica una rotazione di /2 in anticipo senza modifica del modulo. Così moltiplicare j per j implica un altra rotazione di /2 in anticipo, e così via. Questo vale in generale quando si moltiplica per j un numero complesso qualsiasi: il segmento orientato subisce una rotazione in anticipo in quadratura rispetto alla direzione iniziale. Im J z j z j 1 Re

13 FASORI Le grandezze sinusoidali tempo dipendenti che interessano i circuiti in alternata saranno rappresentate tramite numeri complessi detti FASORI, mediante l identità di Eulero. La tensione o la corrente elettrica rappresentate in termini di funzione seno corrispondono alla parte immaginaria del numero complesso: Il termine : é un termine tempo dipendente indicativo della rotazione del segmento orientato nel piano complesso, mentre il termine indica la posizione iniziale di partenza. Durante la rotazione in senso antiorario intorno all origine a velocità angolare costante, la proiezione sull asse immaginario del segmento orientato riproduce la sinusoide tempo dipendente della grandezza reale v(t) o i(t).

14 Per semplicità di scrittura, trascureremo il termine tempo dipendente e quindi il fasore rappresentativo della sinusoide sarà: Ciò è giustificato dal fatto che le grandezze in gioco sono isofrequenziali e quindi la posizione relativa dei fasori non cambia da quella iniziale negli istanti successivi, per cui le operazioni condotte all istante iniziale daranno istante per istante sempre lo stesso risultato. Il fasore viene indicato con una lettera maiuscola sormontata da un trattino. Si fa riferimento al valor efficace delle grandezze (tensione o corrente). OPERAZIONI FRA FASORI: possono essere condotte per via algebrica mediante l uso dei numeri complessi o per via grafica mediante le regole della composizione vettoriale (i fasori sono dotati come i vettori di un punto di applicazione, di direzione, intensità e verso)

15 RESISTENZA R V = I I due fasori sono in fase CONDENSATORE C /2 V Il fasore associato a questa sinusoide è: da cui: XC = 1/( C) = reattanza capacitiva [ ]

16 INDUTTORE /2 I Il fasore associato a questa sinusoide è: XL = L = reattanza induttiva [ ] NOTA: dal confronto fra l espressione nel dominio del tempo e quella nel dominio della frequenza si osserva che moltiplicare un fasore F per j corrisponde alla derivata temporale di f(t). Se invece si divide un fasore F per j ciò corrisponde nel dominio del tempo ad un operazione di integrale della grandezza f(t).

17 R L C A B Circuito RLC serie Consideriamo la disposizione in serie dei componenti R, L e C. Sono attraversati dalla stessa corrente, ma la tensione si ripartisce in base alle leggi già viste. La tensione VAB sarà pari alla somma dei fasori corrispondenti. dove = impedenza del circuito [ ] VAB VR VL VC I La somma dei fasori ha carattere vettoriale

18 In generale l espressione dell impedenza è: parte reale = resistenza Porta in conto i fenomeni dissipativi che avvengono nei conduttori del circuito al passaggio della corrente (effetto Joule) parte immaginaria = reattanza Tiene conto dei fenomeni conservativi che avvengono nel mezzo circostante il circuito per l applicazione della tensione (effetti capacitivi) e per il passaggio della corrente (effetti magnetici). R sarà sempre positiva; X sarà positiva o negativa a seconda che prevalgano gli effetti induttivi su quelli capacitivi o viceversa. Per esempio nel circuito RLC serie visto in precedenza: X = L 1/ C ; quindi: se L > 1/ C risulterà X >0 e si dirà che nel circuito prevalgono gli effetti induttivi su quelli capacitivi ; se L <1/ C risulterà X <0 e si dirà che nel circuito prevalgono gli effetti capacitivi su quelli induttivi. Nel primo caso si dirà che Z è un carico ohmico-induttivo, nel secondo che Z è un carico ohmico capacitivo.

19 Im Triangolo dell impedenza R = Z cos X = Z sin Re non è un fasore (cioè non genera nessuna sinusoide con le sue proiezioni sugli assi del sistema di coordinate perché non ruota intorno alla sua origine) ma è un operatore complesso dato dal rapporto tra il fasore della tensione applicata ai suoi morsetti e quello della corrente che l attraversa. In forma polare è espressa da: dove: è l argomento di A - B Classificheremo i carichi in base alla impedenza: è lo sfasamento del fasore della tensione rispetto a quello della corrente Carico puramente ohmico Carico puramente induttivo Carico puramente capacitivo Carico ohmico-induttivo Carico ohmico-capacitivo

20 ESEMPIO 1: dato un generatore di f.e.m. sinusoidale e(t) = EM sin(314 t 10 ) [con EM = 150 V] che alimenta un carico ohmico induttivo Z= 4 j 3 tramite due conduttori di rame di lunghezza l =100 m, sezione S = 4 mmq, si calcoli la corrente assorbita dal carico, tenendo in conto un autoinduttanza del circuito pari a L = 0.8 mh. Per risolvere il circuito dobbiamo passare dal dominio del tempo a quello della frequenza. Il generatore e(t) lavora alla frequenza f = /2 = 314/2 = 50 Hz; Il valore efficace della sinusoide generata è E = EM/1.414 = V; La resistenza di ciascun conduttore Rc = l/s = ; La reattanza del circuito Xc = L = 314 * = L impedenza del circuito di alimentazione Zc = 2 Rc j Xc = j = = / A N La corrente generata è: B M

21 La f.e.m. si ripartisce fra Zc e Z per cui la tensione applicata al carico è: Invece la caduta di tensione sui conduttori di alimentazione: Im Lo sfasamento tra f.e.m. e corrente ai morsetti del generatore è pari a: VMN E Questo sfasamento deve coincidere con l argomento della impedenza equivalente vista dai morsetti del generatore (serie fra ZC e Z) VAN Re I

22 Si definisce AMMETTENZA l inverso dell impedenza: Si misura in [S] (siemens) AMMETTENZA CONDUTTANZA SUSCETTANZA NOTA: se Z rappresenta un carico ohmico- induttivo (parte immaginaria positiva), la sua ammettenza presenta la parte immaginaria (suscettanza) negativa; viceversa per il carico ohmico-capacitivo. ESEMPIO 2: valutare la corrente generata e la sua ripartizione nel circuito di figura 1. A Fig. 1 DATI: B

23 Risoluzione: è un carico ohmico-induttivo; è un carico ohmico-capacitivo; Primo metodo: possiamo calcolare il parallelo tra le impedenze per ottenere l impedenza equivalente vista dal generatore. Il generatore vede un carico ohmico-capacitivo. Secondo metodo: possiamo calcolare prima le ammettenze Y1 e Y2 e poi il parallelo sarà dato dalla somma delle ammettenze; l impedenza equivalente vista dal generatore sarà il suo inverso. ZP risulta prevalentemente di natura ohmico-capacitiva

24 La corrente generata vale: ripartita fra: Im I2 Lo sfasamento fra la f.e.m. e la corrente generata vale: e corrisponde all argomento di ZP I E Re I1

25 POTENZA NEI CIRCUITI A.C. Sia dato un bipolo sottoposto a v(t) e attraversato da i(t): i(t) v(t) v(t) i(t) t La potenza istantanea che interesserà il bipolo è calcolabile nel dominio del tempo mediante il prodotto: Ricordando le identità trigonometriche: (1) e sottraendo membro a membro: Identificando con ( V) e con ( I), l equazione (1) può essere riscritta come segue:

26 Applicando le stesse identità trigonometriche precedenti, si ottiene: P è il valor medio di questa sinusoide dove: P = VIcos e Q = VI sin cos fattore di potenza Q è il valor massimo di questa sinusoide P è detta potenza ATTIVA e rappresenta il valor medio della sinusoide. È costante nel tempo e corrisponde alla potenza trasmessa dal generatore all utilizzatore. Essa sarà trasformata dall utilizzatore in altre forme di potenza (e nel tempo in energia). Si misura in [W]. Q è detta potenza REATTIVA e rappresenta il valor massimo della seconda sinusoide dell equazione precedente. Il valor medio di questa sinusoide è nullo: questa quota di potenza non è trasmessa ma viene impegnata nello spazio circostante il circuito dai campi elettrico e magnetico per sopperire ai fenomeni di polarizzazione dielettrica e di induzione magnetica. Questa forma di potenza è di tipo conservativo. Non viene utilizzata, né dissipata, né trasformata in altra forma; essa viene scambiata a frequenza doppia di quella di esercizio del generatore fra i campi elettrico e magnetico; essa resta imprigionata fra i due campi durante il transitorio di accensione del circuito e poi restituita durante quello di spegnimento. Si misura in VAR (Volt Ampère Reattivi).

27 Moltiplicando e dividendo per I le espressioni: P = VIcos e Q = VI sin e ricordando il triangolo dell impedenza: R = Zcos e X = Zsin si ottengono: Im X = Z sin R = Z cos Re Legge di Joule Im Analoga alla legge di Joule Q = VI sin P = VI cos Re POTENZA COMPLESSA : moltiplicando il fasore della tensione per il coniugato del fasore della corrente si ottiene: Il suo modulo: è detto POTENZA APPARENTE. L unità di misura è il [VA] (volt-ampère)

28 RESISTENZA R V = I CONDENSATORE C /2 v INDUTTORE /2 I