Induttanza. L induttore è un elemento circuitale che immagazzina energia nel campo magnetico generato dalle spire percorse da corrente.

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1 Induttanza L induttore è un elemento circuitale che immagazzina energia nel campo magnetico generato dalle spire percorse da corrente. Un induttore è caratterizzato da una induttanza che dipende dalle sue caratteristiche geometriche. L induttanza è definita come la costante di proporzionalità tra la f.e.m. indotta e la derivata temporale della corrente quindi data da: unità di misura henry (H): 1 henry=1 volt sec/ampere

2 Calcolo dell induttanza Dalla legge di Faraday applicata al caso di N spire concatenate con il flusso di un campo magnetico B: E E Eguagliando in valore assoluto con la definizione di L e integrando rispetto al tempo Poichè F B è proporzionale alla corrente, in realtà L dipende unicamente dalla geometria del sistema.

3 Induttanza di un solenoide Solenoide lungo : l N avvolgimenti totali, raggio r, lunghezza l il campo magnetico vale r N avvolg. per una singola spira, Il flusso totale attraverso il solenoide è dato da: L induttanza del solenoide è quindi data da: dipende solo da fattori geometrici!

4 Auto-Induttanza Consideriamo la spira a destra, R spira =0. (Assumendo una batteria ideale con resistenza interna R = 0) interr. chiuso la corrente fluisce nella spira. inizialmente di/dt 0, quindi I(t=0) e/r=imax L induttanza del circuito limita di/dt, cioè la crescita della corrente perchè? Quando la corrente fluisce, si produce un campo magnetico nell area racchiusa dalla spira. Il flusso attraverso la spira cresce al crescere della corrente Viene indotta nella spira una f.e.m. che si oppone alla variazione di flusso di corrente poichè si oppone ad un incremento di flusso: legge di Faraday Auto-Induzione: variazione di corrente in una spira che induce una tensione opposta nella medesima spira.

5 Auto-Induttanza Il campo magnetico prodotto dalla corrente nella spira mostrata è proporzionale alla corrente. I Il flusso, quindi, è anche proporzionale alla corrente. Definiamo questa costante di proporzionalità tra flusso e corrente come induttanza, L. Unità di misura Henry, 1H=1V s/a Si può anche definire l induttanza, L, usando la legge di Faraday, in termini della f.e.m. indotta da una corrente variabile.

6 Auto-Induttanza L induttanza di un induttore (un insieme di spire... p.es. un solenoide), può essere calcolata solo dalla sua geometria, se il dispositivo è fatto solamente da conduttori avvolti in aria. Analogamente al caso di un condensatore. Se si aggiunge altro materiale (p.es. nucleo di ferro), bisogna aggiungere una qualche proprietà specifica del materiale, come già fatto per condensatori (dielettrici) e resistori (resistività). Un prototipo di induttore è un lungo solenoide, proprio come una coppia di piatti paralleli sono il prototipo di un condensatore. l r N avvolgimenti r << l d A

7 Circuiti RL serie Un circuito che contiene una bobina, tipo un solenoide, ha una autoinduttanza che impedisce alla corrente di aumentare e diminuire istantaneamente. Chiudendo l interruttore a t=0 la corrente aumenta e la f.e.m. dell induttore (DV ab < 0) sarà:

8 Circuiti RL serie L andamento temporale della corrente è La caduta di tensione sull induttore sarà

9 Circuiti RL Analogamente ai circuiti RC esiste una costante di tempo che caratterizza il comportamento temporale del circuito Perchè RL cresce per L più grandi? L si oppone a variazioni di corrente, e quindi rallenta il tasso di variazione. Perchè RL diminuisce per R più grandi? Grandi R riducono la corrente finale. Grandi R dissipano l energia velocemente, velocizzano la scarica dell induttore (cioè velocizzano la perdita di corrente).

10 Circuiti RL Dopo che l interruttore è stato in posizione a per un tempo lungo, a t=0, viene portato in posizione b. a I b R I legge della maglia: L l appropriata condizione iniziale è: La soluzione deve avere la forma:

11 e on e off e/r L/R 2L/R e/r L/R 2L/R I I 0 e t 0 0 t V L V L 0 t -e t

12 Energia di un induttore Quanta energia (U) è immagazzinata in un induttore quandi una corrente fluisce attraverso esso? a b I R I legge della maglia: moltiplichiamo per I : e L potenza erogata batteria potenza dissipata resistenza rapidità immagazzinamento energia (potenza) nell induttanza In questa equazione della conservazione dell energia (per unità di tempo), identifichiamo P L, il tasso con cui l energia è immagazzinata nell induttore: Integriamo l equazione per trovare una espressione per U L, l energia immagazzinata nell induttore quando la corrente = I :

13 Dove è immagazzinata l energia? Come nel caso del condensatore (energia immagazzinata nel campo elettrico) per l induttore l energia è immagazzinata nel campo magnetico stesso. Per calcolare questa densità di energia, consideriamo il campo uniforme generato da un lungo solenoide: l l induttanza L vale: r N avvolg. l energia U: La densità di energia si ottiene dividendo per il volume in cui è contenuto il campo: Questa relazione, pur essendo stata ricaata nel caso del solenoide, è valida in ogni regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico!

14 Applicazione mutua induzione: caricabatteria wireless per spazzolino elettrico

15 L induttanza nei circuiti: Induttori in parallelo Consideriamo due induttori in parallelo i i 2 i 1 L 1 L 2 Usando la legge di Kirchhoff ai nodi, si ha: L induttanza equivalente si trova imponendo che tutti i 3 induttori siano alla stessa differenza di potenziale (in parallelo)

16 Induttori in parallelo Quindi quindi gli induttori in parallelo si combinano come le resistenze:

17 Induttori in serie Consideriamo due induttori in serie. Entrambi gli induttori saranno attraversati dalla stessa corrente i. i i L 1 Poichè la corrente è la stessa allora di/dt è la stessa e la caduta di tensione sulla coppia vale: L 2 Quindi gli induttori in serie si combinano come resistenze in serie:

18 x z y

19 Corrente di spostamento Applichiamo il teorema di Ampere nel caso di un condensatore, considerando le sup. S 1 ed S 2 : L integrale di linea è esteso a qualsiasi percorso chiuso concatenato con la corrente di conduzione. Le due superfici S 1 e S 2 sono delimitate dallo stesso percorso P. Non essendo presente una corrente di conduzione tra le due armature, si hanno due risultati diversi (m 0 I e 0)!!! Il teorema di Ampere in questa forma è valido solo se la corrente di conduzione è continua nello spazio. Per risolvere l incongruenza Maxwell introdusse la Corrente di spostamento flusso campo elettrico

20 Teorema di Ampere generalizzato Teorema di Ampere-Maxwell I campi magnetici sono generati sia dalle correnti di conduzione sia dai campi elettrici variabili!

21 Le equazioni di Maxwell Teorema di Gauss (flusso elettrico totale attraverso superficie chiusa = carica netta) Flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa è nullo (teorema Gauss per il magnetismo) Legge di Faraday dell induzione Teorema di Ampere generalizzato Noti i campi elettrico e magnetico, in un punto, la forza agente su una carica elettrica è data da Questa relazione insieme alle 4 equazioni di Maxwell, fornisce una descrizione completa di tutte le interazioni elettromagnetiche classiche.

22 Eq. fondamentali dell elettromagnetismo

23 Onde Elettromagnetiche Maxwell dimostrò che i campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo soddisfano una equazione d onda. La più importante conseguenza di questa teoria è la previsione dell esistenza delle onde elettromagnetiche (campi elettrici e magnetici oscillanti). La variazione dei campi crea reciprocamente il mantenimento della propagazione dell onda: un campo elettrico variabile induce un campo magnetico e viceversa. I vettori E e B sono tra di loro e alla direzione di propagazione.

24 Calcolo equazione d onda

25 Calcolo equazione d onda

26 Calcolo equazione d onda La luce è un onda elettromagnetica!!!

27 Calcolo equazione d onda In ogni istante, in un onda elettromagnetica, il rapporto tra il modulo del campo elettrico ed il modulo del campo magnetico è uguale alla velocità della luce!!!

28 V C U E 0 C L V L 0 Circuiti LC U B t t t

29 Onde Hertziane Si può mettere in evidenza l esistenza delle onde elettromagnetiche previste dalla teoria di Maxwell? Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema per la generazione e rivelazione delle onde elettromagnetiche (onde radio).

30 Oscillazioni Elettromagnetiche Analogia con la meccanica: Rammentiamo l oscillatore meccanico massa-molla k = costante elastica -A +A A = ampiezza delle oscillazioni

31 Oscillazioni di Energia T = periodo di oscillazione Consideriamo un circuito LC: C carico, al tempo t=0 si chiude S. Il condensatore si scarica, la corrente aumenta, l energia si trasferisce dal campo elettrico a quello magnetico. Poi il ciclo si inverte e proseguirebbe all infinito in assenza di meccanismi dissipativi.

32 Circuito LC Consideriamo un semplice circuito LC. Il condensatore ha una carica iniziale Q max e l interruttore viene chiuso al tempo t=0. C L I(t) I(t) la caduta di tensione è determinata dall integrale della corrente sulla capacità la caduta di tensione è determinata dalla derivata della corrente per l induttanza

33 Circuito LC Applichiamo la regola delle maglie al circuito LC. Soluzione: La carica nel circuito oscillerà in modo analogo alla massa con la molla: Energia immagazzinata

34 Generazione di onde elettromagnetiche Quale configurazione di cariche e correnti elettriche produce un onda elettromagnetica? Carica in moto a velocità costante: campo elettrico + campo magnetico stazionari, nello spazio esiste una densità di energia, costante nel tempo, associata ai suddetti campi. In questo caso non vi è trasporto di energia né di quantità di moto e non sussiste radiazione elettromagnetica. Per produrre un onda elettromagnetica è necessario accelerare la carica. Il moto accelerato della carica corrisponde a una corrente che varia nel tempo: la radiazione è prodotta da correnti che variano nel tempo. Le onde elettromagnetiche trasportano energia e quantità di moto nello spazio attraverso i loro campi elettrici e magnetici oscillanti. Cariche a riposo e cariche in moto a velocità costante non irraggiano, mentre le cariche accelerate irraggiano.

35 Esperimento di Hertz trasferimento di energia elettromagnetica Dispositivo di Hertz per generare e rivelare onde elettromagnetiche: due elettrodi sferici connessi ad una bobina d induzione che fornisce brevi impulsi di tensione alle due sfere e innesca una scarica oscillante. Il ricevitore è un circuito vicino contenente un secondo spinterometro. Hertz trovò che l energia viene spedita dal trasmettitore al ricevitore quando la frequenza di risonanza del ricevitore veniva accordata con quella del trasmettitore. L energia è trasportata da onde elettromagnetiche. Es.: radio FM, TV, telefonia radiomobile

36 Generazione di onde elettromagnetiche Un circuito oscillante RLC, con un generatore esterno che rifornisce l'energia dissipata nel circuito o portata via dalla radiazione. La corrente nel circuito varia sinusoidalmente con la pulsazione risonante w. Il circuito oscillante è accoppiato attraverso un trasformatore a una linea di trasmissione, che serve a portare la corrente a una antenna. (I cavi coassiali, che portano i segnali TV in molte case, sono esempi comuni di linee di trasmissione.) L'antenna è un dipolo elettrico oscillante: sui due rami si trovano cariche istantanee opposte che variano sinusoidalmente nel tempo. Le cariche sono inevitabilmente accelerate muovendosi avanti e indietro nell'antenna, e come risultato l'antenna è una sorgente di radiazione di dipolo elettrico.

37 Energia trasportata dalle onde e.m Flusso di energia in un onda elettromagnetica = vettore di Poynting S Il modulo di S è legato alla rapidità con cui l energia è trasportata dall onda attraverso un area unitaria, nell unità di tempo: La direzione del vettore di Poynting S coincide in ogni punto con la direzione di propagazione dell onda e con la direzione in cui è trasportata l energia.

38 Energia trasportata dalle onde e.m Dalle soluzioni ricavate dalle eq. di Maxwell per i campi elettrico e magnetico di un onda elettromagnetica : L intensità di un onda elettromagnetica è uguale al prodotto della densità di energia media per la velocità della luce.

39 Pressione di radiazione Il campo elettrico di un'onda elettromagnetica incidente su una superficie esercita una forza sugli elettroni imprimendo loro una accelerazione. Negli urti con gli atomi del corpo, essi possono trasferire l'energia di cui sono dotati e quindi incrementarne la temperatura. Di fatto l'onda esercita una forza netta sul corpo investito nella stessa direzione del suo moto. Si tratta normalmente di una forza piccolissima, (5*10-6 Nm -2 per luce solare diretta) che tuttavia risulta misurabile in laboratorio con metodi accurati. Un'onda piana luminosa incidente, agisce su un elettrone in un sottile foglio resistivo. Sono indicati i valori istantanei di E, B, della velocità di deriva dell'elettrone v d e della forza di radiazione F B. Dispositivo di Nichols e Hull per misurare la pressione di radiazione. La pressione della radiazione che incide sullo specchio M provoca una torsione della fibra di un angolo piccolissimo.

40 Spettro delle onde elettromagnetiche Le onde elettromagnetiche viaggiano nel vuoto con velocità c, frequenza f e lunghezza d onda l. I vari tipi di onde elettromagnetiche, prodotte tutte da cariche accelerate, sono mostrate in figura. Es.: onda radio di frequenza f=94.7mhz l = c/f = 3.17 m

41 Applicazione: forno a microonde In un tipico forno a microonde le onde elettromagnetiche stazionarie hanno lunghezza d onda l=12.2 cm (f=2.5 GHz), fortemente assorbita dalle molecole d acqua contenute nei cibi. Poiché i nodi dell onda (campo elettrico nullo) sono separati da l/2=6.1 cm, le pietanze devono essere ruotate per garantire un riscaldamento uniforme.