Soluzioni Cat. Sup-B (Alunni biennio Superiori)

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1 Settima Edizione Giochi di Achille e la tartaruga 15-DIC Chieti Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) agostino_zappacosta@libero.it Soluzioni Cat. Sup-B (Alunni biennio Superiori) Quesito Risposta esatta C D A C E E A B E D Vale punti Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 (vale 4 punti) [Ma dov è la verità?] Qual è l affermazione falsa? A) la somma di trenta numeri dispari non è un numero dispari; B) la somma di trenta numeri pari non è un numero dispari; C) la somma di trenta numeri dispari non è un numero pari; D) la somma di trenta numeri pari è un numero pari; E) la somma di venticinque numeri dispari è un numero dispari. Soluzione Quesito 1: C) A) è vera: la somma di trenta numeri dispari dà sempre un numero pari (che non è dispari). B) è vera: la somma di trenta numeri pari dà sempre un numero pari (che non è dispari). C) è falsa: la somma di trenta numeri dispari dà sempre un numero pari. D) è vera: la somma di trenta numeri pari dà sempre un numero pari. E) è vera la somma di venticinque numeri dispari dà sempre un numero dispari. Quesito 2 (vale 4 punti) [Figure con bastoncini] Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Per costruire la prima figura abbiamo adoperato 5 bastoncini. Per la seconda figura abbiamo adoperato qualche bastoncino in più. Per la terza figura, ancora altri bastoncini. Continuando a costruire figure nello stesso modo, quanti bastoncini saranno necessari per la cinquecentesima figura? A) 2502; B) 2500; C) 2501; D) 2001; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 2: D) 2001 bastoncini. Passando dalla figura 1 alla 2 si devono aggiungere 4 bastoncini Per passare dalla figura 2 alla 3 se ne devono aggiungere altri 4. Per passare dalla figura 3 alla 4 se ne devono aggiungere altri 4. Soluzioni_Sup-B_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA] Pag. 1

2 E così via. Quindi per passare dalla figura 1 alla figura 500, devo aggiungere per 499 volte 4 bastoncini = 499x4 = 1996 bastoncini da aggiungere ai 5 iniziali. Quindi = Quesito 3 (vale 4 punti) [Chi è meno giovane?] Dei miei cinque compagni ho le seguenti informazioni: 1) Mario è nato undici mesi dopo di Luciana e un anno e tre mesi dopo di Diego. 2) Luciana è nata sei mesi prima di Gianna ma quattro mesi dopo di Diego; 3) Gianna è nata due mesi dopo di Anacleto; 4) Anacleto è nato otto mesi dopo di Diego e solo quattro mesi dopo di Luciana. Sapendo che Luciana è nata nel mese di marzo 1996, chi (dei cinque) è meno giovane? A) Diego; B) Luciana; C) Gianna; D) Anacleto; E) Mario. Soluzione Quesito 3: A) Diego. Per semplicità con una M indichiamo un mese. Così la seguente scrittura: Luciana M M M M M M Gianna sta a significare che Gianna è nata 6 mesi dopo la nascita di Luciana oppure (è la stessa cosa) che Luciana è nata sei mesi prima della nascita di Gianna. Adesso bisogna ricostruire tutte le informazioni: 1) Diego M M M M Luciana M M M M M M M M M M M Mario; 2) Diego M M M M Luciana M M M M M M Gianna 3) Anacleto M M Gianna; 4) Diego M M M M Luciana M M M M Anacleto. Riepilogando abbiamo: Diego M M M M Luciana M M M M AnacletoM M Gianna M M M M M Mario; Da questo schema temporale notiamo che Diego è quello che è nato prima (quindi è il meno giovane). Quesito 4 (vale 4 punti) [Dadi magici] Quanto vale il prodotto delle tre somme dei numeri nascosti (che non si vedono), in questi tre dadi? Nota: qualsiasi dado di forma cubica presenta sulle sue sei facce i numeri da 1 a 6. A) 210; B) 452; C) 2520; D) 252; E) 180. Soluzione Quesito 4: C) La somma dei sei numeri presenti su ciascun dado è sempre uguale a: = 21. La somma dei numeri nascosti del primo dado (quello posto in alto) è = 14. La somma dei numeri nascosti del secondo dado (quello posto in mezzo) è = 15. La somma dei numeri nascosti del terzo dado (quello posto in basso) è = 12. Il prodotto di queste tre somme sarà quindi: 14x15x12 = 2520 Quesito 5 (vale 5 punti) [Mattoni su 4 dita] Questo atleta, oltre a sollevare il suo corpo, è capace di sollevare anche 5 mattoni. Si sa che un quarto di mattone più una mattonella pesano come mezzo mattone. Una mattonella pesa 850 grammi. Sapendo che il peso dell atleta corrisponde al peso di 22 mattoni, qual è il peso (in kg) che l atleta riesce a sollevare stando in equilibrio su quattro dita? A) 76.4; B) 86.4; C) 85; D) 87; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 5: E) Soluzioni_Sup-B_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA] Pag. 2

3 Se un quarto di mattone equivale ad una mattonella, il peso di un mattone equivale al peso di quattro mattonelle. Un mattone, perciò pesa 4x850 = 3400 g = 3.4 Kg. Il peso dell atleta + 5 mattoni corrisponde al peso di 27 mattoni (22+5). Perciò l atleta riesce a sollevare kg= = kg (27x3.4). Quesito 6 (vale 5 punti) [Una sveglia. Che dorme!!!???] Una sveglia ha le lancette ferme. Quante volte nel corso del primo semestre dell anno 2011 ha segnato l ora esatta? A) Sei volte; B) 181 volte; C) 180 volte; D) Mai; E) Nessuna delle precedenti. Soluzione Quesito 6: E) 362 volte. Nel corso di un giorno (formato da 24 ore), l orologio dà due volte l ora esatta. Il primo semestre dell anno 2011 è formato da 181 giorni (31 giorni di gennaio, 28 giorni di febbraio, 31 giorni di marzo, 30 giorni di aprile, 31 giorni di maggio e 30 giorni di giugno: ( = 181). Quella sveglia perciò, nel corso del primo semestre, ha segnato per 362 volte (181x2) l ora esatta. Quesito 7 (vale 5 punti) [Quante disposizioni diverse?] Nella griglia formata da 24 caselle bisogna mettere questi quattro simboli:,,,, in modo che: 1) non ci sia più di un simbolo nella stessa colonna; 2) ci sia almeno un simbolo per ogni riga; 3) siano presenti tutti e solo i quattro simboli. In quanti modi diversi posso disporre i quattro simboli? A) 8640; B) 96; C) 120; D) 24; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 7: A) 8640 combinazioni diverse. Inserendo il simbolo, in una delle sei caselle della prima riga; il secondo simbolo ; si può inserire in ciascuna delle cinque caselle restanti della seconda riga; il terzo simbolo in una delle quattro caselle della terza riga e, infine, il quarto simbolo in una delle tre caselle del quarto rigo. In tutto 6x5x4x3 = 360 combinazioni. Tenendo conto che i quattro simboli possono presentare un ordine diverso in 24 modi diversi:,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, ;,,. avremo in tutto 360x24 = 8640 combinazioni diverse. Quesito 8 (vale 5 punti) [Attenzione. alla media aritrmetica!!!] Giuseppe, nel corso dell anno scorso, dopo sei compiti di matematica, aveva raggiunto una media aritmetica di 5.5 (cinque e mezzo). Negli ultimi due compiti i voti sono stati rispettivamente di 7.5 e 7.5 (sette e mezzo). Che media aritmetica ha riportato a fine anno? A) 7; B) 6; C) 7.5; D) 6.5; E) nessuna delle precedenti. Soluzioni_Sup-B_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA] Pag. 3

4 Soluzione Quesito 8: B) 6. Come si sa, la media aritmetica dei voti si trova eseguendo la divisione tra la somma dei voti e il numero dei voti. Nell effettuare la media precedente (pari a 6.5) questo risultato è venuto fuori dopo aver diviso la somma dei sei voti per 6. La somma dei sei voti era quindi 33 (5.5x6). A questo totale debbo aggiungere i due voti (7.5; 7.5) che insieme danno un totale di 15 (7.5x2). Il totale degli otto voti è diventato così 48 (33+15). La nuova media sarà quindi sei: 48:8 = 6. Quesito 9 (vale 6 punti) [Orologio col freno accelerato e l acceleratore ritardato!!!] Beniamino Milleidee è un matematico veramente strano. Tra tutte le cose stravaganti che ha ideato e costruito, c è l orologio digitale A-R che vuol dire accelera-ritarda. Per un ora accelera e per un ora ritarda di tanti secondi pari al numero indicato nel display delle ore. Se questo indica un ora pari (00; 02;..; 22) accelera; mentre, se l ora indicata è dispari (01; 03;.; 23) ritarda. Qual è la situazione dopo un anno (2011)? A) l orologio accelera di 4380 ore; B) l orologio ritarda di 4380 minuti; C) l orologio ritarda di 3650 secondi; D) l orologio accelera di 4380 secondi; E) nessuna delle precedenti. Soluzione Quesito 9: E) ritarda di 4380 secondi. Si tratta di eseguire due somme: quella dei numeri pari fino a 22 (perché 24 è indicato con 00) e quella dei numeri dispari fino a 23. ( ) = (0+22)+(2+20)+(4+18)+(6+16)+8+14)+10+12)= 6 volte 22 = 6x22 = 132 (secondi accumulati di vantaggio). ( ) = (1+23)+(3+21)+(5+19)+(7+17)+(9+15)+(11+13)= 6 volte 24 = 6x24 = 144 (secondi accumulati di ritardo). Alla fine delle 24 ore (un giorno) l orologio ha accumunato un ritardo di 12 secondi ( ). Nell anno 2011 (formato da 365 giorni) il ritardo accumulato sarà di (12x365) = 4380 secondi.. Quesito 10 (vale 6 punti) Patrizia si sta godendo le vacanze al mare lungo la costa abruzzese, nei pressi di San Vito Chietino. Il 19 luglio, una sua amica la invita al suo compleanno a Guardiagrele, loro città di residenza. Siccome è appassionata di ciclismo decide di tornare in bicicletta al suo paese. Senonché, dopo aver percorso un quinto di strada, si accorge di aver dimenticato la chiave della casa di Guardiagrele. Allora torna indietro per riprendere la chiave lasciata nella casa al mare. Ripresa la chiave, ritorna al paese. Sapendo che la distanza tra le due case è esattamente di 30 km, che la sua velocità media è di 30 km all ora, quanto tempo ha impiegato Patrizia complessivamente per tornare dal mare a Guardiagrele? A) un ora; B) due ore; C) 104 minuti; D) 84 minuti; E) un ora e mezza. [Ma la testa dove ce l hai?.. E adesso pedala!!!!] Soluzione Quesito 10: D) un ora e 24 minuti La distanza tra le due abitazioni è di 30 km. Quando si accorge di non avere la chiave ha già percorso un quinto del tragitto che corrisponde a 6 km (km 30:5). Per tornare alla casa sul mare deve rifare questi 6 km. Infine per tornare al paese deve percorrere i trenta km che separano le due abitazioni (quella delle vacanze e quella principale). I km percorsi saranno perciò: = 42 km. Patrizia in un ora percorre 30 km. Per percorrere l intero tragitto impiegherà esattamente 84minuti (1.4 h = 42 km : 30 km orari). 1.4 h = 1h + 0.4x60 m = 1h 24m. Più semplicemente: 30 km orari corrispondono a 30 km in 60 minuti che corrispondono ad 1 km per ogni due minuti. Se i km da percorrere sono 42 il tempo sarà dato da minuti (2x42) = minuti 84 = 1h 24m. Soluzioni_Sup-B_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA] Pag. 4

5 Quesito 11 (vale 6 punti) [Ma quanto è costoso questo pavimento!!!!] formato: 147 mm x 82 mm formato: 153 mm x 82 mm formato: 160 mm x 82 mm La figura mostra tre delle sette banconote entrate in vigore dal 1 gennaio 2002 in quelle nazioni europee che hanno aderito alla moneta comune. Antonio vuole ricoprire con queste banconote il pavimento della sua sala (dimensioni 480 cm x 410 cm). Per ogni 30 banconote da deve adoperare 32 banconote (16 da e 16 da ). Qual è, complessivamente, il numero minimo di banconote che gli permette di ricoprire tutto il pavimento (evitando sovrapposizioni o zone scoperte e rispettando il rapporto tra le banconote adoperate)? Soluzione Quesito 11: 1550 banconote. Mettendo 30 banconote da accostate in modo da far combaciare il lato più corto ricopriamo una striscia di pavimento della lunghezza di 480 cm (160 mm x 30 = 4800 mm = 480 cm) e larghezza 82 mm. Mettendo poi 16 banconote da e 16 banconote da , con queste 32 banconote ricopriamo una striscia di pavimento della lunghezza di 480 cm (153 mm x mm x 16 = = 2448 mm mm = 4800 mm = 480 cm) e larghezza 82 mm. Con queste due operazioni abbiamo ricoperto una striscia di pavimento lunga cm 480 e larga mm 82x2 = 164 mm = Moltiplicando questa striscia per 25 (410 cm:16.4 cm = 25) otteniamo 25x16.4cm = 410 cm. Per le 25 strisce formate con banconote da occorrono 750 banconote (25x30) Per le altre 25 strisce formate con banconote da e occorrono 400 banconote da (25x16) ed altrettante da (25x16). Complessivamente le banconote occorrenti sono = Quesito 12 (vale 6 punti) [Furbizia e Malizia a braccetto!!!] Alla morte di Malizia Benigno (un contadino della Provincia di Chieti) i due figli Astuto e Furbetto, tra gli altri beni, ereditano diverse pecore che vengono date ai due ma non in parti uguali. Un giorno Astuto dice a Furbetto: Se mi cedi dieci delle tue pecore, io ne avrò il doppio di quelle che rimangono a te. Furbetto ci pensa e risponde: Se invece sei tu a darmi dieci delle tue pecore, avremo ciascuno lo stesso numero di pecore. Quante pecore possiede Furbetto? Soluzione Quesito 12: 50 pecore. Si può risolvere in tanti modi. Scegliamo la strada più semplice: risoluzione mediante le equazioni. Indichiamo con a le pecore possedute da Astuto e con f le pecore possedute da Furbetto. Otteniamo così due equazioni, nelle due variabili a ed f, che rappresentano i due ipotizzati scambi di pecore: 1. a-10 = f + 10; 2. a+10 = 2(f-10); Soluzioni_Sup-B_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA] Pag. 5

6 Dalla prima equazione ricaviamo che: a = f +20. Sostituiamo questo valore nella seconda equazione ottenendo: (f+20)+10 = 2(f-10); 2f-20 = f+30; 2f f = 30+20; f = 50. (pecore possedute da Furbetto). Andando alla prima equazione sostituiamo ad f il valore 50: otteniamo : a-10 = ; a = = 70. (pecore possedute da Astuto). Si può facilmente verificare che i due numeri 50 e 70 soddisfano alle due condizioni poste dal problema. Quesito 13 (vale 8 punti) La cima più alta del Gran Sasso d Italia si chiama Corno Grande. La sua altezza raggiunge i 2912 m rispetto al livello del mare. Immaginate di avere un foglio di carta grandissimo di forma rettangolare che piegate ripetutamente in due parti in modo tale che la sua superficie di dimezza ad ogni piegatura mentre lo spessore della carta raddoppia. Se lo spessore della carta è di 1 mm, e, ammesso che si possano eseguire tutte le piegature che vogliamo, quante piegature devo fare per avere un blocco di carta ripiegata il cui spessore superi di poco l altezza del Corno Grande? Soluzione Quesito 13: 22 piegature. Ad ogni piegatura i numero dei fogli sovrapposti raddoppia. Dopo 22 piegature lo spessore dei fogli sovrapposti raggiunge mm che corrispondono a 4194 m che supera abbondantemente i 2912 m del Corno Grande. In altre parole: se ad ogni piegatura lo spessore della carta raddoppia e come se venisse moltiplicato per 2. Ma 2x2x2x2x2x2x2x2 =2 10 = 1024 mm = 1,024 m; facendo 2 10 x2 10 = = 2 20 = 1024x1024 = mm = 1048,576 m. Raddoppiando altre due volte avremo: 2 20 x2 2 = 2 22 = x 4 = mm = 4194,304 m che supera i 2912 del Corno Grande. Quesito 14 (vale 8 punti) [Attenzione a non rompere le damigiane!!!] Una damigiana di vino quando è piena per un quinto della sua capienza pesa 21 kg. Se invece è piena per sette decimi pesa 51 kg. Quanto pesa (in kg) la damigiana vuota? Nota Bene: 1 litro di vino pesa 1 chilo. Soluzione Quesito 14: kg 9. Se dalla damigiana piena per sette decimi togliamo un quinto, la quantità tolta è pari a kg (51-21) = 30 kg. Ma 7/10 1/5 = 5/10 = ½. Se la metà è 30 Kg, il vino contenuto dalla damigiana piena sarà kg (30x2) = 60 kg. Un quinto di 60 è uguale a 12 l di vino. La damigiana vuota peserà: kg (21-12) = kg 9. Quesito 15 (vale 12 punti) [Di quanto aumenta la corda?] Immaginate di stendere una corda (non elastica) al livello del mare lungo la linea dell equatore, in modo che resti ben tesa. Se volessi stendere un altra corda un po più lunga a 1 km di altezza da terra (sempre tutto attorno all equatore e sempre ben tesa), di quanto dovrebbe essere più lunga, rispetto alla prima, questa seconda corda? [Nota Bene: Per semplicità, approssimate la lunghezza dell equatore a km]. Attenzione: il risultato deve essere espresso in Km e nel caso ci dovessero essere delle cifre decimali, riportarne solo due. Infine ricordiamo che la lunghezza di una circonferenza si trova moltiplicando il raggio per 2π (anche qui prendete solo le prime due cifre decimali di π). Soluzione Quesito 15: km Se consideriamo l equatore lungo km, il raggio (equatoriale) sarà: km (40000:6.28) = km 6369,42675; aumentando di 1 km il raggio diventa pari a km che moltiplicato per 6.28 dà: km che si può arrotondare a Quindi la lunghezza della corda aumenta di 6.28 km. Più brevemente: dato che raggio (r) e circonferenza (C = 2π r) sono direttamente proporzionali, anche gli aumenti risultano tali. Basta moltiplicare km 1 x 6.28 = km Soluzioni_Sup-B_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA] Pag. 6

7 Quesito 16 (vale 12 punti) [Aprite bene gli occhi!!!] Quanti quadrati vedete in questa figura? Soluzione Quesito 16: 110 quadrati. Quadrati 1x1: 48; (fig. 1) Quadrati 2x2: 7x3 + 4x3 = = 33; (Fig. 2) Quadrati 3x3: 6x2 + 4x2 = = 20; (Fig. 3) Quadrati 4x4: 5x1 + 4x1 = = 9. (Fig. 4 e Fig. 5) I quadrati sono in tutto ( ) = 110. Fig. 1 - Quadratini 1x1: (12x4) = 48 Fig. 2 - Quadrati 2x2 : (7+4) x3 = 33 Fig. 3 - Quadrati 3x3 : (6+4) x2 = 20 Figura 4 - Quadrati 4x4 : (5) x1 = 5 Soluzioni_Sup-B_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA] Pag. 7

8 Fig. 5 - Quadrati 4x4 : (4) x1 = 4. Soluzioni_Sup-B_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA] Pag. 8