TIP AND TRICKS 01 DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI UNA LASTRA ORTOTROPA EQUIVALENTE A UNA VOLTA MURARIA

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1 TIP AND TRICKS 01 DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI UNA LASTRA ORTOTROPA EQUIVALENTE A UNA VOLTA MURARIA

2 TECNICA DI DEFINIZIONE DELLE PROPRIETA' DI UNA LASTRA ORTOTROPA EQUIVALENTE A UNA VOLTA MURARIA Descrizione dell esempio: Si consideri la situazione in cui sia presente una volta muraria all'interno di un edificio. Nel presente documento si intende derivare i parametri meccanici equivalenti a una volta muraria da inserire come input nella definizione di un solaio deformabile in un sistema globale. Si assume l'ipotesi che la volta insista su una pianta rettangolare. Per il modello di solaio deformabile viene utilizzato il modello descritto in [1]. I modelli di volte verranno implementati nel codice di calcolo HiStrA [2]. La validazione della procedura viene effettuata con il noto codice di calcolo SAP2000 [3]. In particolare, i parametri da determinare sono i seguenti: o E x (modulo di elasticità normale in direzione x) o E y (modulo di elasticità normale in direzione y) o G (modulo di elasticità tangenziale) o (Coefficiente di Poisson) o s eq (spessore della lastra ortotropa equivalente) o w (peso per unità di superficie della lastra) Per la volta muraria nel presente esempio si farà riferimento, senza perdita di generalità, a uno schema di volta a crociera. Nel calcolo dei parametri si tenga conto che le caratteristiche meccaniche che governano il comportamento dell'elemento lastra sono 5: E x, E y, G, xy e yx. Di questi 5 parametri solo 4 sono indipendenti, infatti vale sempre la relazione: xy Ex E Per determinare questi parametri seguire la procedura indicata di seguito. In particolare vengono distinti le seguenti fasi in cui viene suddiviso il documento: o Operazioni preliminari o Calcolo di E x o Calcolo di E y o Calcolo di G o Calcolo di w o Esempio numerico o Validazione della procedura o Bibliografia yx La procedura è basata su un'equivalenza in termini di spostamenti tra la volta muraria sottoposta ad alcuni sistemi di forze o spostamenti ben definiti (e descritti nel seguito) e la lastra ad essa equivalente y 2

3 Operazioni preliminari In questo paragrafo vengono descritte le operazioni di input geometrico della volta muraria, nonchè alcune operazioni preliminari da eseguire propedeutiche a tutte le successive operazioni. STEP 1 Introdurre l'input geometrico della propria volta attraverso il wizard di Histra. Dati geometrici e meccanici significativi della volta muraria o L 1 : luce netta della volta nella direzione X o L 2 : luce netta della volta nella direzione Y o f: freccia o t 0 : spessore della volta all'imposta o t 1 : spessore della volta in chiave o L max : lunghezza massima degli elementi o W p : profondità degli archi perimetrali o t p0 : spessore dell'arco perimetrale all'imposta o t p0 : spessore dell'arco perimetrale o in chiave E m : modulo di elasticità normale della muratura o G m : modulo di elasticità tangenziale della muratura Dati geometrici significativi della volta muraria o L a1 : lunghezza dell'arco perimetrale 1 (quello disposto lungo la direzione x) o L a2 : lunghezza dell'arco perimetrale 2 (quello disposto lungo la direzione 2) o o w 1 : dimensione della lastra lungo la direzione x w 2 : dimensione della lastra lungo la direzione y NB: La lunghezza dell'arco di ellisse (in questo caso semi-ellisse) può essere calcolata approssimativamente con la seguente formula La a b 2 dove a e b rappresentano i semi-assi dell'ellisse 3

4 STEP 2 Rendere elastico il comportamento a flessione del materiale attraverso la finestra di definizione dei materiali STEP 3 Aggiungere una condizione di carico personalizzata definita come in figura STEP 4 Aggiungere una combinazione di carico che abbia come coefficiente 0 per tutte le condizioni di carico eccetto quella appena definita che viene posta con coefficiente pari a 1 4

5 STEP 5 Dalla finestra delle analisi modificare la combinazione di carico dell analisi vert selezionando quella appena definita STEP 6 Definire in maniera arbitraria il valore dello spessore della lastra equivalente s eq (ad esempio pari a 10 cm) Definire in maniera arbitraria il valore modulo di Poisson (valore consigliato 0.2) STEP 7 Salvare il modello a questo punto. Questo modello verrà considerato di base per le successive fasi. E per ognuna delle fasi successive (Calcolo di E x, Calcolo di E y, Calcolo di G) 5

6 Calcolo di Ex In questo paragrafo vengono descritte le operazioni da effettuare per il calcolo della rigidezza normale equivalente in direzione x. Si riparta dal modello di base ottenuto al termine delle operazioni preliminari. STEP 1 Definire un carico di linea selezionando come condizione di carico quella appena definita. Selezionare come direzione GlobalX. L'intensità del carico può essere definita arbitrariamente STEP 2 Assegnare rigidezza nulla a due dei quattro vincoli geometrici della volta rispetto alle direzioni locali 1 e 2. In questo modo il vincolo viene modificato da incastro a carrello. STEP 3 Assegnare il carico di linea appena definito agli elementi sull'arco corrispondente ai due piedritti ai quali è stato assegnato il vincolo carrello. Il carico totale applicato F è pari al valore del carico di linea per la lunghezza dell'arco corrispondente. 6

7 STEP 4 Eseguire l analisi Vert STEP 5 Selezionare in fase di output l ultimo passo dell analisi Vert STEP 6 Selezionare uno degli elementi a cui è stato applicato il carico e leggere lo spostamento U1 dal blocco response (che viene indicato nel seguito con u). STEP 7 Il valore della rigidezza equivalente in direzione X sarà data dalla formula F w1 Ex u s w eq 2 7

8 Calcolo di Ey In questo paragrafo vengono descritte le operazioni da effettuare per il calcolo della rigidezza normale equivalente in direzione y. Si riparta dal modello di base ottenuto al termine delle operazioni preliminari. STEP 1 Definire un carico di linea selezionando come condizione di carico quella appena definita. Selezionare come direzione GlobalY. L'intensità del carico può essere definita arbitrariamente STEP 2 Assegnare rigidezza nulla a due dei quattro vincoli geometrici della volta rispetto alle direzioni locali 1 e 2. In questo modo il vincolo viene modificato da incastro a carrello. STEP 3 Assegnare il carico di linea prima definito appena definito agli elementi a contatto con il vincolo appena fatto diventare un carrello. Il carico totale applicato F è pari al valore del carico di linea per la lunghezza dell arco laterale. 8

9 STEP 4 Eseguire l analisi Vert STEP 5 Selezionare in fase di output l ultimo passo dell analisi Vert STEP 6 Selezionare uno degli elementi a cui è stato applicato il carico e leggere lo spostamento U2 dal blocco response (che viene indicato nel seguito con u). STEP 7 Il valore della rigidezza equivalente in direzione Y sarà data dalla formula F w2 Ey u s w eq 1 9

10 Calcolo di G In questo paragrafo vengono descritte le operazioni da effettuare per il calcolo della rigidezza tangenziale. Si considerino i due modelli ottenuti per il calcolo dei moduli di elasticità normali. STEP 1 Per il modello utilizzato per calcolare E y, che di seguito indicheremo come 1, accedere alla definizione del carico di linea e ruotare il carico portandolo in direzione x. La risultante del carico, pari in modulo a quella relativa al calcolo del parametro E x, sarà nel seguito indicato con F 1. STEP 2 Eseguire l analisi Vert STEP 3 Selezionare in fase di output l ultimo passo dell analisi Vert 10

11 STEP 4 Selezionare il quad di spigolo e leggere gli spostamenti U1 dal blocco response (che verrà indicato nel seguito con u 1 ). STEP 5 Per il modello utilizzato per calcolare E x, che di seguito indicheremo come 2, accedere alla definizione del carico di linea e ruotare il carico portandolo in direzione y. La risultante del carico, pari in modulo a quella relativa al calcolo del parametro E y, sarà nel seguito indicato con F 2. STEP 6 Eseguire l analisi Vert STEP 7 Selezionare in fase di output l ultimo passo dell analisi Vert 11

12 STEP 8 Selezionare il quad di spigolo e leggere gli spostamenti U2 dal blocco response (che verrà indicato nel seguito con u 2 ). STEP 9 Per i due modelli è possibile calcolare ora la tensione e lo scorrimento medi. Le tensioni med, i all interno della lastra sono date da: STEP 10 F 1 2 med,1 ; med,2 seq w1 seq w2 F Gli scorrimenti medi med, i all interno della lastra valgono: STEP 11 Il valore stimato del modulo tangenziale G è pari ha: G eq u u 1 2 med,1 ; med,2 w2 w1 med,1 med,2 1 F1 w2 F2 w1 0.5 med,1 med,2 2 seq w1 u1 w2 u2 Esempio numerico In questo paragrafo viene descritto un semplice esempio numerico e la determinazione dei valori di rigidezza effettivi da considerare. Lo stesso esempio nel paragrafo successivo verrà sottoposto a validazione. Dati o L 1 = 600cm o L 2 = 300cm o t 0 = 30 cm o t 1 = 30 cm o L max = 50 cm o W p = 50 cm o t p0 = 30 cm o t p1 = 30 cm o L a1 = 989,60 cm o L a2 = 789,94 cm o w 1 = 726,83 cm o w 2 = 413,42 cm o E m =690 MPa o G m =230 MPa 12

13 Calcolo di E x F=7.90 kn q=0.01 kn/cm u=0.36 cm E x =3.86 kn/cm 2 Calcolo di E y F=9.90 kn q=0.01 kn/cm u=0.4 cm E y =1.41 kn/cm 2 Calcolo di G u 1 =1.93 cm u 2 =0.46 cm F 1 =7.90 kn F 2 =9.90 kn G=0.97 kn/cm 2 Validazione della procedura Per procedere alla validazione verrà utilizzato il noto codice di calcolo SAP2000 [3]. Al fine di validare la procedura appena esposta verrà implementata una lastra avente caratteristiche pari a quelle appena determinate nell'esempio numerico. Successivamente tale lastra verrà sottoposta a due configurazioni di carico/spostamenti uguali a quelle cui è stata sottoposta la volta muraria, e verrà dimostrato che una lastra ortotropa restituisce (a parità di forze/spostamenti esterni) un comportamento analogo a quello della volta muraria. A tal fine è stato inputato un modello di una lastra avente dimensione pari all'impronta in pianta della volta muraria. 13

14 MODELLO 1 Spostamento calcolato in SAP U SAP =0.81 cm Spostamento calcolato in HiStrA U HISTRA =0.46 cm MODELLO 2 Spostamento calcolato in SAP U SAP =2.68 cm Spostamento calcolato in HiStrA U HISTRA =1.93 cm Bibliografia [1] Gruppo Sismica - Manuale teorico 3DMacro (Versione ) - Novembre 2012 [2] Caliò I., Cannizzaro F., Pantò B., HiStrA - Historical Structures Analysis - Ottobre 2014, [3] Computers and Structures Inc. SAP Integrated Structural Analysis and Design Software, Berkeley, California,