Terza Edizione Giochi di Achille ( ) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria Sup-B (Alunni Biennio delle scuole superiori)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Terza Edizione Giochi di Achille ( ) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria Sup-B (Alunni Biennio delle scuole superiori) Quesito Risposta esatta Punti previsti A A B D D C C E E C 80 sec Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. 1. La sveglia del nonno di Elisabetta ha una levetta per la regolazione degli eventuali ritardi o anticipi. Spostando la levetta verso il + il meccanismo della sveglia accelera; spostandola, invece, verso il -, il meccanismo della sveglia rallenta. Per recuperare un ritardo di 35 minuti, una settimana fa il nonno di Elisabetta ha spostato la levetta verso il +. Oggi la sveglia dà l ora esatta. Quanti secondi ha dovuto recuperare, per ogni ora, la sveglia? A) 12.5; B) 10; C) 24; D) 35; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: A) Il ritardo espresso in secondi è pari a secondi (35 x 60) = 2100 secondi da recuperare in una settimana. I secondi da recuperare in un giorno saranno: (2100: 7 ) = 300 secondi. I secondi da recuperare in un ora saranno: (300: 24) = 12.5 secondi. 2. Francesca, Alessandro e Daniele misurano la lunghezza del giro di pista dello stadio dove si stanno allenando. Tutti e tre procedono di corsa e contano in silenzio i loro passi. Concluso il giro si hanno queste informazioni: Francesca ha contato 460 passi. Alessandro ha contato 450 passi. Daniele ha contato 440 passi. Cosa si può dire dei loro passi? A) Non è vero che Alessandro ha il passo più lungo rispetto a quello di Daniele; B) Non è vero che Francesca ha il passo più corto rispetto a quello di Daniele; C) Alessandro ha il passo più lungo sia rispetto a quello di Francesca che a quello di Daniele; D) Daniele ha il passo più corto rispetto ai passi degli altri due; E) Nessuna delle risposte precedenti è esatta. Risposta esatta: A) Alessandro, per misurare la stessa distanza, arriva con più passi rispetto a Daniele, perciò il suo passo è più corto rispetto al passo di Daniele. Quindi, Daniele ha il passo più lungo di Alessandro. E esatta la risposta A). 3. Andrea è un tipo molto preciso. Tutti i giorni dedica lo stesso tempo per svolgere i compiti a casa. Domani deve studiare cinque materie diverse. Dedica allo studio dell italiano un quarto del tempo. Alla geografia dedica un quinto del tempo rimasto. Poi dedica alla storia un sesto del tempo rimasto dopo lo studio delle prime due materie. Infine, dedica un quarto d ora all inglese e gli ultimi 25 minuti alla matematica. Quanti minuti, complessivamente, dedica Andrea allo studio? A) 90; B) 80; C) 75; D) 100; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: B) cioè 80 minuti. 1-1/4 = 3/4 (frazione di tempo rimasto dopo lo studio dell italiano). 1/5 di 3/4 = 1/5x3/4 = 3/20 (frazione del tempo totale dedicato allo studio della geografia). Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 1

2 3/4-3/20 = 12/20 = 3/5 (frazione di tempo che resta per lo studio delle altre materie). 3/5x1/6 =1/10 (frazione di tempo dedicato allo studio della storia). 3/5-1/10 = 5/10 =1/2 (frazione di tempo rimasto dopo lo studio di tre materie). Se 1/2 del tempo complessivo corrispondono a (15+25) minuti = 40 minuti, allora il tempo complessivo sarà: (40:1/2) minuti = (40 x 2) minuti = 80 min. 4. Adoperando sei cifre diverse, tra le dieci disponibili (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), formate due numeri, ciascuno di tre cifre, e sottraete il minore dal maggiore. La cifra 0 ( zero ) non può occupare il posto delle centinaia. Quale sarà la differenza minima che si può ottenere? A) 9; B) 101; C) 11; D) 3; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: D) Affinché la differenza sia minima, bisogna avere il minuendo ed il sottraendo molto vicini ma appartenenti a centinaia consecutive. Siccome le cifre devono essere diverse, la differenza non potrà mai essere uguale a 0, 1 oppure 2. Due qualsiasi numeri consecutivi di tre cifre, infatti, hanno sempre almeno una cifra ripetuta: ; ; ; ecc; ; ecc: ; ecc: Lo stesso vale per due numeri che differiscono di due (che vorrebbe anche dire o due numeri pari consecutivi o due dispari consecutivi): ; ; ; ecc. La differenza minima è tre ed i numeri stanno alla fine di una centinaia ed all inizio di quella che segue: = 3; = 3; =3; = 3; = 3. I casi: e sono da escludere in quanto hanno, rispettivamente, la cifra 1 e la cifra 8 che si ripete. 5. In una Raffineria di petrolio, l impianto, durante i 4 mesi più caldi (maggio-agosto), in media, lavora all 84% della massima produttività. Nei restanti mesi, invece, lavora all 81%. Qual è lo sfruttamento medio annuo dell impianto di quella Raffineria? A) 85%; B) 82.5%; C) 77%; D) 82%; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: D) Bisogna fare la media ponderata delle due percentuali di sfruttamento. L 84% e l 81% verranno moltiplicate per le corrispondenti frazioni di anno (4 mesi e 8 mesi). Il tutto verrà diviso per la somma dei due pesi (4+8 = 12 mesi). (84 x x 8)/(4+8) = 82%. 6. Dovendo scrivere tutti i numeri multipli di 10 da a (estremi compresi) qual è la cifra che si ripete di più? A) 0; B) 2; C) 1; D) 4; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: C) Può sembrare strano che tra i multipli di 10 la cifra 1 si possa ripetere più spesso. Questo perché l intervallo numerico presenta l 1 nella posizione delle decine di migliaia e delle migliaia che si ripete per ben 50 volte!! Inoltre la cifra 1 si ripete per 10 volte nella posizione delle centinaia e 3 volte nella posizione delle decine. In tutto ben 63 volte!!!! Lo 0, invece, che sembrerebbe il candidato vincente, si presenta solo 29 volte!!!!!! Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 2

3 7. La somma di due numeri è 21. La somma dei loro quadrati è 225. Qual è la somma dei loro cubi? A) 2225; B) 4725; C) 2457; D) 4261; E) Risposta esatta: C) Indichiamo con a e b i due numeri. Sappiamo che a + b = 21; e che a 2 + b 2 = 225. Ricordando i prodotti notevoli scriviamo: (a + b) (a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3. (*) Sostituendo i dati che conosciamo otteniamo: 21(225 - ab) = a 3 + b 3 ; Se a + b = 21 allora (a + b) 2 sarà 21 2 = ab = (a + b) 2 (a 2 + b 2 ); 2ab = (21) 2 225; ab = ( )/2 = 216/2 = 108 Ritornando alla formula (*) otteniamo: a 3 + b 3 = 21(225 - ab) = 21( ) = 21x117 = Il calcolo della seguente potenza: , richiede molto tempo!! Non vogliamo sapere tutto il numero, ma solo le ultime due cifre. Sapresti dire qual è questo numero formato da queste due cifre? A) 18; B) 66; C) 81; D) 89; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: E) 99. Tutte le potenze di 99 (o numeri terminanti per 99), con esponente dispari, terminano con le due cifre La griglia riportata a fianco rappresenta uno schema del Sudoku 12x12. Per completarla bisogna rispettare le seguenti regole: 1) Ogni riga deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9 e le lettere A, B, C (che rappresentano i numeri 10, 11 e 12); 2) Ogni colonna deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9 e le lettere A, B, C (che rappresentano i n. 10, 11 e 12); 3) Ognuna delle 12 sottogriglie, ciascuna formata da 3 righe e 4 colonne, deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9 e le lettere A, B, C (per 10, 11 e 12). Che numero o lettera dobbiamo mettere nella casella (m2) indicata in grigio? A) B; B) 7; C) 4; D) 1; E) nessuno dei precedenti. a 4 C 6 A B b c 5 A d A 6 4 B 8 e 7 B 4 f B 4 1 C g A C 2 1 h C 6 3 i C l A m n A 1 5 B Risposta esatta: E): A. Nella casella m2 la lettera A va bene. Infatti, considerando la sottogriglia 10, escludendo le righe l ed n e le colonne 1, 3 e 4 dove la A è già presente in altre caselle, non resta, per esclusione, che la cella m Durante un esercitazione navale, due navi militari partono contemporaneamente da uno stesso punto, alle ore 4 e10 del mattino. La prima è diretta a Sud e procede ad una velocità pari a 18 Km/h, la seconda è diretta ad Ovest e procede ad una velocità di 24 Km/h. A che ora le due navi si troveranno esattamente a 170 Km di distanza? A) 5 h 40 m ; B) 4 h 54 m ; C) 9 h 50 m ; D) 9 h 54 m ; E) 21 h 50 m. Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 3

4 Risposta esatta: C) Le due navi alle ore 9 e 50 si troveranno a 170 Km di distanza. Le rotte descritte dalle due navi rappresentano (approssimativamente) i cateti di un triangolo rettangolo; la distanza tra le due navi rappresenta, invece, l ipotenusa. Per cui, applicando il teorema di Pitagora, avremo la distanza dopo un ora = Km 30 ( =30 2 ; infatti =900). Se in un ora le due navi si allontanano tra di loro di 30 Km, in 2 minuti (la trentesima parte di un ora 60:30=2 min.) le navi si allontaneranno di 1 Km. Per allontanarsi allora di 170 Km, occorreranno minuti (2x170) = 340 minuti = 5 h 40 m. 4 h 10 m + 5 h 40 m = 9 h 50 m. 11. Un giro di pista di atletica leggera misura esattamente 400 m. Achille e la tartaruga si sfidano in questa gara. Naturalmente Achille è molto più veloce della tartaruga: Perciò Achille fa posizionare la tartaruga 396 metri davanti a lui. La velocità di Achille è di 5 m al secondo mentre quella della tartaruga è di 1 m ogni 20 secondi. Dopo quanto tempo Achille raggiungerà la tartaruga? Risposta esatta: 80 secondi) Dopo 80 secondi la tartaruga ha percorso 4 metri e si troverà sulla linea del traguardo (quella stessa linea da dove è partito un momento prima Achille). Achille, nel frattempo, in 80 secondi avrà percorso m(5x80) = 400 m. Quindi proprio sulla linea del traguardo Achille raggiungerà la tartaruga. 12. Pensa un numero. Aggiungi 7 e moltiplica il risultato per 5. Quindi sottrai 10 e dividi il numero ottenuto per 5. Togli, infine, il numero che avevi pensato. Quale numero hai ottenuto? Risposta esatta: 5) Il numero da indovinare non dipende dal numero pensato bensì dalle operazioni indicate nel quesito. Qualsiasi sia il numero di partenza (numero pari o dispari non fa differenza!!!) aggiungo 7 e moltiplico tutto per 5 e avrò un numero che è la somma del quintuplo del numero pensato più 35 (il quintuplo di 7 che sarebbe il numero che ho aggiunto). Dal numero così composto (il quintuplo del numero pensato più 35) togliendo 10, mi resterà un numero formato dal quintuplo di quel numero più venticinque (35-10=25). E se divido questo numero per 5 avrò il numero pensato più 5. Togliendo infine il numero pensato non mi resta che 5. Succede sempre così con qualsiasi numero. Si può risolvere impostando una semplice espressione dove con la incognita x indichiamo il numero pensato. Avremo: [(x + 7) 5-10] : 5 - x = [5x ] :5 x = [5x + 25] : 5 x = x + 5 x = Nel Campionato di Calcio Italiano del in serie A giocavano 18 Squadre. Siccome erano e sono tuttora previsti due turni o gironi (uno di andata ed uno di ritorno), con 18 squadre presenti, ogni squadra, nel corso del campionato, deve disputare 34 incontri (due incontri per ognuna delle 17 squadre restanti). Per la classifica, negli ultimi anni, sono previsti: per ogni partita vinta 3 punti; per ogni pareggio 1 punto e per ogni sconfitta 0 punti. In quel campionato la Lazio si è classificata al quarto posto con 60 punti. Sapendo che ha perso solo 4 partite quante partite ha vinto? Risposta esatta: 15) Nelle 4 partite perse ha preso 0 punti. Nelle restanti (34-4) 30 partite disputate, ha preso sempre punti 3 in caso di vittoria, 1 in caso si pareggio. Se avesse vinto tutte le 30 partite, avrebbe totalizzato 90 punti. Avendone totalizzato solo 60, i 30 punti in meno sono dovuti ai minor punti presi per ogni pareggio. Siccome per ogni pareggio si prendono due punti in meno (3-1 = 2), facendo 30:2 = 15 otteniamo il numero delle partite pareggiate. Partite pareggiate più quelle perse = 15+4=19. Partite vinte = = 15. Quindi, in quel campionato, la Lazio ha vinto solo 15 partite. Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 4

5 14. Sommate tutti i numeri pari da a 2 e poi tutti i numeri dispari da ad 1: Sottraete la seconda somma (quella dei numeri dispari) dalla prima. Che risultato ottenete? Risposta esatta: 50000) Infatti posso disporre così queste operazioni: = =( ) + ( ) + ( ) +.+ (2-1) = = = 50000x1 = volte (Nota bene: da 1 a i numeri pari o dispari sono esattamente la metà di ). 15. La pista di un velodromo è lunga 200 metri. Due ciclisti partono insieme e procedono nello stesso senso. Dopo un minuto e quaranta secondi il ciclista più veloce raggiunge l altro. Sapendo che la velocità del ciclista più lento è di 43,2 Km/h, qual è la velocità del ciclista più veloce? Risposta giusta: 50.4) Il ciclista più veloce impiega 100 secondi (1 minuto e 40 secondi) per percorrere 200 metri in più (giro della pista). Per cui ogni secondo recupera 2 metri al concorrente. Ma un ora è formata da 3600 secondi per cui in un ora recupera m (2x3600) = 7.2 Km che sommati ai 43.2 dell avversario fanno 50,4 Km/h. 16. Apri bene gli occhi!!! Quanti parallelogrammi, di tutte le dimensioni, si possono contare nella figura? Nota Bene: (si devono escludere i quadrati ed i rettangoli) Risposta giusta: 124) 4x5 = 20 4x5 = 20 3x5 = 15 3x5 = 15 2x5 = 10 2x5 = 10 1x5 = 5 1x5 = 5 Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 5

6 2x4 = 8 2x4 = 8 1x4 = 4 1x4 = 4 In tutto 2x( ) = 2x62 = 124 Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 6