Terza Edizione Giochi di Achille ( ) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria M2 (Alunni di seconda media)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) agostino_zappacosta@libero.it Terza Edizione Giochi di Achille ( ) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria M2 (Alunni di seconda media) Quesito Risposta esatta Punti previsti B E B C C A D A E C gr Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. 1. A quale frazione dell intera figura corrisponde la parte tratteggiata in grigio? A) 1/3; B) 6/17; C) 32/90; D) 2/5; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) La figura è un rettangolo formato da 20 quadretti (3 x 6); la parte in grigio è formata da = 72 quadretti. La frazione sarà 72/20; semplificando per 12 otteniamo 6/ Pensa un numero. Aggiungi 3 e moltiplica il risultato per. Quindi sottrai e dividi il numero ottenuto per. Togli, infine, il numero che avevi pensato. Quale numero hai ottenuto? A) 3; B) ; C) 0; D) ; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: E) perché il numero ottenuto è 1. Il numero da indovinare non dipende dal numero pensato bensì dalle operazioni indicate nel quesito. Qualsiasi sia il numero di partenza (numero pari o dispari non fa differenza!!!) se aggiungo 3 e moltiplico tutto per, avrò un numero che è la somma del quadruplo del numero pensato, più 12 (il quadruplo di 3, il numero che ho aggiunto). Dal numero così composto (il quadruplo del numero pensato più 12), togliendo, mi resterà un numero formato dal quadruplo di quel numero più quattro (12-=). Soluzioni_M2_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 1

2 Se divido questo numero per, avrò il numero pensato più 1 (quadruplo del numero + ): = numero pensato + 1 (:=1). Togliendo infine il numero pensato, non mi resta che 1. Succede sempre così, con qualsiasi numero. 3. Simone dedica un ora e mezza per svolgere i compiti a casa. Dedica due noni di questo tempo per l italiano. Dedica i quattro settimi del tempo restante per le altre materie esclusa la matematica che ha un trattamento speciale. Il tempo che resta viene dedicato alla matematica. Quanti minuti Simone dedica a questa materia? A) 20; B) 30; C) 25; D) 15; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: B) cioè 30 minuti. Un ora e mezza corrispondono a (60+30) = 90 minuti. I 2/9 di 90 = 20 minuti. Minuti (90-20) = 70 minuti (tempo restante dopo aver studiato italiano). /7 di 70 = 0 minuti (tempo dedicato alle altre materie esclusa la matematica) (70-0) = 30 minuti (tempo restante per lo studio della matematica).. Il parcheggio condominiale (per auto, moto e bici) ha la forma indicata nella figura. Le misure sono espresse in metri. Tutti gli angoli sono retti (misurano 90 ) Quanto vale l area del parcheggio? A) 100 m 2 ; B) 1200 m 2 ; C) 1600 m 2 ; D) 2000 m 2 ; E) Nessuna delle precedenti. A B D 12 C Soluzione: C) L area è pari a 1600 m 2. Infatti, guardando il quadrato tratteggiato ABCD, notiamo che le caselle di m di lato, situate fuori del suddetto quadrato ma facenti parte del parcheggio (contenute all interno della linea continua), sono in tutto 12, tante quante le caselle vuote all interno dello stesso quadrato (indicate in grigio). Per cui l area del parcheggio è la stessa di quella del quadrato avente il lato lungo 0 m. Perciò la sua area sarà pari a m 2 (0x0) = 1600 m La griglia riportata qui sotto rappresenta uno schema del Sudoku 9x9. Bisogna rispettare le seguenti regole: 1) Ogni riga deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9; 2) Ogni colonna deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9; 3) Ognuna delle 9 sottogriglie, ciascuna formata da 3 righe e 3 colonne, deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9. Che numero dobbiamo mettere nella casella (d5) indicata in grigio? A) ; B) 5; C) 1; D) 9; E) 7. Soluzioni_M2_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 2

3 Risposta esatta: C) 1. L non può andare in d5 perché nella sottogriglia 2 l dovrebbe andare in a6 (vietato perché sul rigo a l è già presente!!). Il 5 non può stare in d5 perché altrimenti nella sottogriglia il 5 sarebbe costretto in h6 (questo non è possibile perché sul rigo h il 5 è già presente in h9). Il 9 è presente già sul rigo d. Infine il 7 è presente in col. 5. Per esclusione non resta che 1. a 1 5 b 6 9 c d 9 2 e f 7 1 g h 2 5 i Antonio, Alessandro e Marco misurano la lunghezza della pista dell impianto sportivo della scuola adoperando i loro passi durante la corsa. Antonio conta 100 passi ed impiega 12 secondi. Alessandro conta 0 passi ed impiega 13 secondi. Marco conta120 passi ed impiega 1 secondi. Cosa si può dire dei loro passi? A) Alessandro ha il passo più lungo rispetto a Marco; B) Marco ha il passo più lungo rispetto al passo di Antonio; C) Alessandro ha il passo più corto sia rispetto a quello di Antonio che a quello di Marco; D) Antonio, avendo impiegato meno tempo, ha il passo più lungo rispetto agli altri due. E) Nessuna delle risposte precedenti è esatta. Risposta esatta: A) Alessandro, per misurare la stessa distanza, arriva con meno passi (sia rispetto ad Antonio che a Marco), quindi il suo passo è più lungo sia rispetto al passo di Antonio che al passo di Marco. Il tempo impiegato non serviva ed era solo un diversivo. 7. Al centro di un parco avente forma quadrata c è un edificio, anch esso di forma quadrata, che ospita un museo di Scienze Naturali. L area del parco non occupata dall edificio ha una superficie 35 volte maggiore di quella occupata dall edificio stesso. Un cane, correndo ad andatura regolare, riesce a percorrere il perimetro del parco in 6 minuti. Sapendo che la velocità media del cane è di 2 Km/h, qual è il perimetro dell edificio che ospita il museo? A) 200 m; B) 00 m; C) 600 m; D) 00 m; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: D) cioè 00 m. Se il cane viaggia a 2 Km/h, vuol dire che in 60 minuti (equivalenti ad un ora) percorre m (equivalenti a 2 Km). In 6 minuti, lo spazio percorso sarà la decima parte dello spazio percorso in un ora e cioè: m (2000:10) = m 200. Quindi il Soluzioni_M2_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 3

4 perimetro del parco è di 200 m ed il lato misurerà esattamente m (200:) = m 600. La superficie complessiva sarà allora pari a m 2 (600x600) = m 2. Suddividendo quest area in 36 parti (le 35 volte del parco senza l edificio più una volta la superficie dell edificio) otteniamo m 2 che è appunto l area della superficie occupata dal museo. Ma un quadrato di area m 2 ha il lato pari a 100 m. Il perimetro, quindi, misurerà 00 m.. Dovendo scrivere tutti i numeri multipli di 15 da 3255 a 3555 (estremi compresi) qual è la cifra che si ripete di più? A) 3; B) 5; C) 0; D) ; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: A) Può sembrare strano che tra i multipli di 15 la cifra 3 si possa ripetere più spesso. Questo perché l intervallo numerico presenta il 3 nella posizione delle migliaia 21 volte, in quella delle centinaia 7 volte e in quella delle decine 2 volte. In tutto ben 30 volte!!!! 9. Nel Campionato di Calcio Italiano del in serie A giocavano 1 Squadre. Siccome erano e sono tuttora previsti due turni o gironi (uno di andata ed uno di ritorno), con 1 squadre presenti, ogni squadra, nel corso del campionato, deve disputare 3 incontri (due incontri per ognuna delle 17 squadre restanti). Per la classifica, negli ultimi anni, sono previsti: per ogni partita vinta 3 punti; per ogni pareggio 1 punto e per ogni sconfitta 0 punti. In quel campionato l Inter si è classificato al secondo posto con 65 punti. Sapendo che ha totalizzato complessivamente pareggi quante partite ha perso? A) 6; B) ; C) ; D) 9; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: E) Con pareggi ha totalizzato punti: i restanti 65-=57 punti sono dovuti alle partite vinte, ma ogni partita dà diritto a 3 punti, per cui le partite vinte sono state (57:3) = 19. L Inter ha disputato in tutto 3 partite: le partite perse saranno quindi: (3-19-) = In una falegnameria si lavora dal lunedì al venerdì ( ore al giorno). a) Vincenzo, da lunedì a venerdì, da solo, riesce a costruire 5 scrivanie; b) Paolo e Michele, insieme, da martedì a venerdì riescono a costruire scrivanie; c) Romeo, Stefano e Simone, insieme, da mercoledì al venerdì ne costruiscono ; d) Marco, Mirko, Mario e Manuel (soprannominati i magnifici M ) da giovedì a venerdì riescono a costruire anche loro scrivanie; e) Infine Carlo, Camillo, Giuliano, Vittorio e Nicola, nella sola giornata di venerdì, riescono a costruire 5 scrivanie. Chi ha lavorato di meno? A) Vincenzo; B) la squadra composta da Paolo e Michele; C) la squadra composta da Romeo, Stefano e Simone; D) la squadra composta da Marco, Mirko, Mario e Manuel; E) la squadra composta da Carlo, Camillo, Giuliano, Vittorio e Nicola. Risposta esatta: C) Vincenzo, in 5x = 0 ore, ha costruito 5 scrivanie (1 scrivania ogni ore-operaio); Paolo e Michele, in 2xx = 6 ore, hanno costruito scrivanie (1 scrivania ogni ore); Romeo, Stefano e Simone, in 3x3x = 72 ore, hanno costruito scrivanie (1 scrivania ogni 9 ore); Marco, Mirko, Mario e Manuel in x2x = 6 ore, hanno costruito scrivanie (1 scrivania ogni ore); Carlo, Camillo, Giuliano, Vittorio e Nicola, in 5x1x = 0 ore, hanno costruito 5 scrivanie (1 scrivania ogni ore). La squadra che ha reso di meno è stata quella formata da Romeo, Stefano e Simone. 11: Adoperando quattro cifre diverse, tra le dieci disponibili (0, 1, 2, 3,, 5, 6, 7,, 9), formate due numeri, ciascuno di due cifre, e moltiplicateli. La cifra 0 ( zero ) non può occupare il posto delle decine. Quale sarà il prodotto massimo che si può ottenere? Risposta esatta: 352) Soluzioni_M2_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag.

5 Affinché il prodotto sia massimo, bisogna adoperare le quattro cifre maggiori (6,7 e 9) per formare i due numeri di due cifre ciascuno. Occorre, inoltre, che la differenza tra i due numeri presi sia minima. I numeri maggiori con due cifre sono: 1, 2, 3,, 5, 6, 7,, 9, 90, 91, 92, 93, 9, 95, 96, 97, 9, 99. Bisogna eliminare e 99 che hanno cifre che si ripetono. Bisogna pure eliminare 9 e 9, perché l altro numero sarebbe da scegliere tra quelli che hanno 7 al posto delle decine (72, 73, 7, 75, 76, 7). Il che abbasserebbe di molto il risultato. Restano due possibilità: 97x6 oppure 96x7. La differenza tra 97 e 6 dà 11, mentre 96-7 = 9. Perciò questa seconda coppia è quella giusta. Infatti : 7x96= 352; mentre 6x97 = 32. Applicando la proprietà distributiva si può capire meglio la differenza tra i due prodotti (una decina!!!!): 97x6 = (96+1)x6 = 96x6 +1x6 = 96x7 = 96 x (6+1) = 96x6 + 96x1 = = = 32. = = Tre righelli pesano 60 grammi più un righello; dieci matite pesano tre righelli più una matita; cinque penne pesano come 2 righelli ed una matita e mezza. Quanto pesa una penna? Risposta esatta: 15 grammi. Considerando la prima pesata, pensiamo ad una bilancia a due piatti in perfetto equilibrio. Togliendo lo stesso peso (un righello) da entrambi i piatti, questi staranno ancora in equilibrio. Adesso ci accorgiamo che a controbilanciare il peso di 2 righelli ci sono 60 grammi: Quindi, un righello peserà la metà di 60 grammi cioè 30 gr. Considerando la seconda pesata, togliendo una matita da entrambi i piatti ci accorgiamo che restano 9 matite a controbilanciare tre righelli. Ma tre righelli pesano 90 grammi. Una matita, allora, peserà (90:9) = 10 grammi. Considerando la terza pesata, sapendo il peso di un righello e di una matita, notiamo che cinque penne pesano g (2x ) = 75 gr. Quindi una penna peserà gr.(75:5) = 15 grammi. 13. Tre amici, Paolo, Pierluigi e Piero (conosciuti dagli amici come le tre P per le iniziali dei loro nomi) hanno gli orologi che non vanno d accordo: l orologio di Paolo, ogni ore, ritarda di minuti: Quello di Pierluigi è preciso mentre quello di Piero accelera di 2 minuti al giorno. Se decidono di sincronizzare oggi i loro orologi, tra quanti giorni questi torneranno a segnare la stessa ora? (attenzione: gli orologi sono quelli tradizionali con quadrante e due lancette: uno, più lungo, per i minuti ed uno, più corto, per le ore). Risposta esatta: 360 giorni. I quadranti dei tre orologi sono identici, nel senso che tutti riportano 12 ore. Per ritrovarsi nello stesso punto, le lancette dei tre orologi devono fare almeno un giro (in più o in meno) rispetto a quelle dell orologio di Pierluigi (che è preciso). L orologio di Paolo, in ore, rallenta di minuti: allora, in 12 ore, rallenterà di un minuto. L orologio di Piero va avanti di 2 minuti in un giorno: allora, in 12 ore, avanzerà di un minuto. L intero quadrante è formata da 12 ore che corrispondono a 12x60 minuti cioè a 720 minuti. Nel corso di un giorno (formato da 2 ore) le lancette delle ore percorrono due volte l intero quadrante. Per percorrerlo 720 volte i giorni necessari saranno gg (720:2) = 360 gg Quindi, dopo 360 gg. l orologio di Paolo andrà indietro di 12 ore. Quello di Piero andrà avanti di 12 ore. Tutti e tre gli orologi segneranno la medesima ora. 1. Sommate tutti i numeri pari da 600 a 2 e poi tutti i numeri dispari da 599 ad 1. Sottraete la seconda somma (quella dei numeri dispari) dalla prima. Che risultato ottenete? Risposta esatta: 300. Infatti posso disporre così queste operazioni: = ( ) + (59-597) + ( ) +.+ (2-1) = = = 300x1 = 300 (300 volte) Soluzioni_M2_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 5

6 15. Questa figura è formata da 7 quadrati tutti di dimensione diversa. Si sa che Il lato del quadrato A è doppio di quello del quadrato B che a sua volta è doppio del lato del quadrato E. Il lato del quadrato D è doppio di quello del quadrato F. Il lato del quadrato C è uguale alla somma dei lati dei due quadrati B ed E. Il lato del quadrato B è più corto di un metro rispetto al lato del quadrato F, il cui lato, a sua volta, è più corto di 1 metro rispetto al lato del quadrato C. Sapendo che il lato del quadrato C misura 6 m, calcolate l area della figura. A B E 2 D F C 2 G Risposta esatta: 25 m 2. Il lato del quadrato C misura 6 m. Il lato del quadrato F misura 1 m in meno rispetto a quello del quadrato C cioè m (6-1) = m 5. Il lato del quadrato B misura 1 m in meno rispetto a quello del quadrato F cioè m (5-1) = m. Il lato del quadrato E misura m (6-) = m 2. Il lato del quadrato D misura il doppio del lato del quadrato F cioè m (5x2) = m 10. Il lato del quadrato A misura il doppio del lato del quadrato B cioè m (x2) = m. Il lato del quadrato G è uguale alla differenza tra il lato del quadrato D e la somma dei due lati dei quadrati E ed F cioè m (10-(2+5)) = m 3. Avendo tutte le misure dei lati dei sette quadrati, l area dell intera figura sarà: m 2 ( ) = m 2 ( ) = m Soluzioni_M2_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 6

7 16. Apri bene gli occhi!!! Quanti triangoli, di tutte le dimensioni, si possono contare nella figura? I triangoli sono in tutto 0. I triangoli piccoli (un solo triangolino formato da mezza casella) sono 0. I triangolino 2x2 (formati da triangolini 1x1) sono I triangolino 3x3 (formati da 9 triangolini) sono I triangolino x (formati da 16 triangolini) sono 2+2 Totale = 0 3x+3x=12+12=2 3x2+3x2 = = Soluzioni_M2_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 7