Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

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1 Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non sino itti. Comincimo con il cso di un vribile, sppimo che se un funzione f è continu in un intevllo [, b] llor esiste l integrle definito f() d, inoltre il teorem fondmentle del clcolo ci permette nche di determinrlo un volt trovt un primitiv dell funzione f. Cos possimo dire se f è continu in tutto l intervllo escluso un estremo, d esempio in (, b]? In tl cso l funzione potrebbe non essere definit in, l ide più nturle è di pssre l ite per che tende d nell funzione f, se quest mmette ite finito llor possimo estendere f in modo continuo e l integrle risult così ben definito. Se invece il ite non esiste oppure è infinito llor non è chiro qule senso dre ll integrle. Un problem nlogo si h se si consider l integrle di un funzione f continu su un intervllo ilitto, d esempio del tipo [, ). Come possimo trttre questi integrli? Si introduce il cosidetto integrle improprio. Si f un funzione continu in (, b] R llor quest si dice integrbile in senso improprio in (, b) se esiste finito + f() d =: f() d. Osservimo che quest definizione h senso dl momento che per ogni è ben definito l integrle f() d. Anlogmente se f è continu in un intervllo del tipo [, b) R llor f si dice integrbile in senso improprio (, b) se esiste finito f() d =: f() d. b Se invece un funzione f è continu in un intervllo del tipo [, ) llor quest si dice integrbile in senso improprio in (, ) se esiste finito + f() d =: + f() d. Possimo estendere quest definizione d integrle funzioni continue in intervlli del tipo (, b), ((, )), in tl cso diremo che l funzione f è integrbile in (, b) ((, + )) se esiste c (, b) (c (, + )) tle che esistono entrmbi gli integrli impropri c f() d e c f() d ( c f() d e

2 + c f() d) in tl cso srà ( + f() d := f() d := c c f() d + f() d + c c f() d f() d) Infine questo concetto di integrle si può estendere l cso di un funzione continu definit in un insieme del tipo [, b] \ {,, n }, in tl cso l funzione f si dirà integrbile in modo improprio in (, b) se sono definiti tutti gli integrli impropri, f() d, 2 f() d, n f() d. L integrle srà dto dll somm di tutti questi integrli. Un nlog definizione si d nel cso di un funzione continu in un intervllo del tipo [, + ) \ {,, n }. Esempio Vogo vedere se esiste l integrle improprio + 0 d. In + 2 tl cso l unico problem è dovuto l ftto che l intervllo di integrzione è ilitto. Applichimo l definizione e studimo + 0 d = + 2 rctn = π + 2. Quindi l integrle improprio esiste ed è proprio ugule π 2. Esempio 2 Vedimo per quli R esiste l integrle improprio 0 d. In questo cso l unico punto dove possono esserci problemi è = 0. Se 0 l funzione risult essere continu nche in 0 perciò esiste l integrle nel senso clssico. Se > 0 bbimo un vero integrle improprio in tl cso si h qundo { + se > d = = se <. Nel cso in cui = bbimo 0 d = log =. + Rissumendo l integrle improprio esiste qundo <. 2

3 Esempio 3 Vedimo per quli R esiste l integrle improprio d. Si h se + Se = bbimo d = { + se < + = se >. + d = log =. + In questo cso l integrle improprio esiste se >. D qunto visto nei due esercizi precedenti deducimo che l funzione non è integrbile in (0, ) per nessun vlore di R. Esercizio Dire se l funzione tn() è integrbile in senso improprio nell intervllo (0, π 2 ). In tutti gli esempi precedenti nel verificre che un funzione fosse integrbile in senso improprio bbimo pplicto l definizione e quindi clcolto il ite, in tl modo nei csi in cui esistev l integrle improprio lo bbimo contempornemente clcolto. In molti csi non è possibile dire esttmente qunto f l integrle improprio però si può dire se questo esiste. Un ide simile si h nell teori delle serie numeriche. Anche in quel cso è difficile clcolre l somm dell serie m ci sono molti strumenti che ci permettono di dire se l serie è non è convergente. Molti di quei criteri vlgono per serie termini positivi, nche in questo cso le cose si semplificno se l funzione f ssume segno costnte. Supponimo che l funzione f si non negtiv. In questo cso possimo osservre che le funzioni h () = f(), d, h 2 () = f(), d sono monotone. Perciò mmettono sempre ite, l uni- co problem è dire se il ite è finito oppure infinito. Queste considerzioni portno l seguente risultto di confronto Proposizione Sino f e g due funzioni continue e non negtive in un intervllo (, b] ([, ), [, b)...) supponimo che esist un costnte A > 0 tle che f() Ag() nell intervllo (, b] ([, ), [, b)...), llor g integrbile in senso improprio = f integrbile in senso improprio. e quindi ovvimente f non integrbile in senso improprio = g non integrbile in senso improprio. 3

4 Per dimostrre questo risultto bst utilizzre le considerzioni ftte precedentemente ed osservre che + f() d A + g() d. Utilizzndo i risultti dell Esempio 3 e l proposizione precedente possimo gevolmente risolvere il seguente esercizio. Esercizio 2 Dire se l funzione + 3 è integrbile in senso improprio nell intervllo (, + ). I risultti dell Proposizione si possono indebolire, inftti come ci spettimo il ftto che un funzione si integrbile o meno dipenderà esclusivmente dl comportmento di quest vicino l punto singolre o ll infinito. Inftti vle l seguente Proposizione 2 Sino f e g due funzioni continue e non negtive in un intervllo (, b] ([, ), [, b)...) supponimo che esist f() + g() = L ( f() b g() = L, f() = L,...) + g() Allor se L = 0 bbimo g integrbile in senso improprio = f integrbile in senso improprio, se L = g non integrbile in senso improprio = f non integrbile in senso improprio infine se L (0, ) g integrbile in senso improprio f integrbile in senso improprio. Il cso più interessnte è il terzo se il ite L è finito e non nullo possimo spostre il problem dell integrbilità di f quello di un funzione g che mgri sppimo trttre più gevolmente. Se il ite è zero o infinito bbimo comunque delle informzioni in un direzione. Dimostrimo questo risultto nel cso L (0, ), i csi ite L = 0 e L = + li lscimo come esercizio. Se il ite vle L possimo dire che esiste sicurmente un vlore δ > 0 tle che L 2 f() g() 3L 2 per ogni (, + δ), quindi L 2 g() f() 3L g() per ogni (, + δ), 2 4

5 dll Proposizione deducimo che f è integrbile in (, + δ) se e solo se g è integrbile in (, + δ). Dl momento che l integrbilità in un intervllo del tipo ( + δ, b) è ssicurt dl ftto che le funzioni f e g sono per ipotesi continue fino gli estremi + δ e b bbimo l tesi. Un volt dimostrto questo risultto possimo risolvere gli esercizi sull integrbilità fcendo uso di funzioni cmpione g di cui già sppimo l integrbilità. Le funzioni, studite negli Esempi 2 e 3, sono molto utili per studire il comportmento vicino 0 e vicino ll infinito. In generle per studire il comportmento vicino d un estremo sinistro o un estremo destro b possimo usre rispettivmente le funzioni ( ) e (b ), queste sono integrbili se e solo se <. Esempio 4 Dire se l funzione è integrbile in senso improprio ( 2 ) nell intervllo (0, ). Osservimo che quest funzione è continu nell intervllo (0, ) vicino gli estremi divent infinit, per vedere se esiste questo integrle improprio scego c (0, ) d esempio c = 2 e studimo l integrbilità negli intervlli (0, 2 ) e ( 2, ), se l funzione è integrbile in entrmbi gli intervlli llor è integrbile in (0, ). Nel primo cso scego come funzione cmpione g() = quest è un funzione integrbile nell intervllo (0, 2 ) ed inoltre f() 0 + g() = 0 + ( 2 ) =, quindi per l Proposizione 2 nche l f è integrbile. Per qunto rigurd l intervllo ( 2, ) scego come funzione cmpione g() = che è integrbile, bbimo f() g() = ( 2 ) =, 2 perciò l f è integrbile in ( 2, ). è integrbile in senso improprio nel- Esercizio 3 Dire se l funzione sin() 2 l intervllo (0, ). Esercizio 4 Dire se l funzione nell intervllo (0, + ). è integrbile in senso improprio è integrbile in senso improprio nel- Esercizio 5 Dire se l funzione cos() l intervllo (0, π 2 ). 5

6 Esercizio 6 Dire per quli β > 0 è integrbile in senso improprio l funzione nell intervllo (2, + ). In questi cso si pplichi l definizione log β clcolndo qundo possibile nche l integrle improprio. Abbimo visto che per le funzioni di segno costnte il criterio del confronto è molto efficce per studire l esistenz dell integrle improprio. Per le funzioni di segno vribile si può utilizzre il seguente risultto. Proposizione 3 Si f C((, b]) ([, b), [, ),... ) llor se f è integrbile in senso improprio nell intervllo (, b] ([, b), [, ),... ) llor nche f è integrbile in senso improprio nello stesso intervllo. Dimostrzione Usndo l definizione si vede subito che se un funzione è somm di due funzioni integrbili llor è integrbile e l integrle è dto dll somm dei due integrli. Più in generle si vede come l proprietà di linerità dell integrle viene mntenut nche per le funzioni integrbili in senso improprio. Questo segue dlle proprietà di linerità del ite. Per dimostrre quest proposizione, considerimo l funzione g() = f() f(), quest funzione è positiv ed inoltre si vede subito che g() 2 f(). Usndo l ipotesi che l funzione f si integrbile e i risultti di confronto vlidi per le funzioni di segno positivo ottenimo che nche l funzione g risulterà essere integrbile così come g() e quindi nche f() = f() g(). Esempio 5 Vogo dimostrre che l funzione f() = sin() è integrbile + 2 in [0, ). Utilizzimo l proposizione precedente, osservimo che f() sin() dl momento che l funzione è integrbile bbimo l tesi. Un funzione f tle che il suo modulo si integrbile si dice ssolutmente integrbile. Mntenendo l nologi con le serie bbimo dunque che ssolut integrbilità (ssolut convergenz) implic l integrbilità (convegenz semplice). Anche in questo cso esistono csi in cui l funzione è integrbile m non ssolutmente integrbile. Un esempio clssico è dto dll funzione f() = sin() che è integrbile in senso improprio in [0, ) m non è integrbile ssolutmente in questo intervllo (vedi Cournt John Vol I pg. 30 e pg. 358). Grzie ll Proposizione 3 possimo dimostrre il seguente risultto vlido per intervlli itti. Proposizione 4 Si f un funzione continu e itt in un insieme [, b] \ {, 2,, n }, llor f è ssolutmente integrbile in (, b). 6

7 Dimostrzione Per ipotesi esiste un costnte M tle che f() M in [, b] \ {, 2,, n }, dl momento che in un intervllo itto un costnte è integrbile l tesi segue dl confronto (Proposizione Lezione I) e dll Proposizione. Esempio 6 L funzione f() = cos( 2 ) è integrbile in un qulsisi intervllo itto. Inftti quest funzione è continu R \ {0} ed è itt in modulo d su tutto R. Esercizio 7 Dire per quli > 0 è integrbile in senso improprio l funzione sin( + 3 ) nell intervllo (0, + ). 2 7