1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo grdo signific trovre, se esistono, i vlori di x reli per i quli vle ESEMPIO 1 Osservndo che x + bx + c = 0 x x = 0 x x = (x + 1)(x ) [inftti (x + 1)(x + ) = x + x x = x x ] si vede fcilmente che le soluzioni sono x = 1 e x = (inftti per due numeri reli α e β si h αβ = 0 se e solo se α = 0 oppure β = 0 ESEMPIO Le soluzioni sono + e ESEMPIO 3 x = 0 x + = 0 non mmette soluzioni in qunto per ogni x rele si h x 0 per cui x ESEMPIO 4 x x + 1 = 0 Osservndo che x x + 1 = (x 1) si vede fcilmente che solo x = 1 soddisf l equzione x x + 1 = 0. Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un disequzione di secondo grdo signific trovre, se esistono, i vlori di x reli per i quli vle x + bx + c 0 (oppure x + bx + c 0) ESEMPIO 1 BIS Osservndo che e ricordndo che αβ 0 si vede fcilmente che le soluzioni sono dte d x x 0 Ossi x x 0 x x = (x + 1)(x ) [ α 0 β 0 oppure oppure x x 0 x oppure x 1 ] α 0 β 0 GRAFICAMENTE si può usre il metodo illustrto nell Figur 1: si studino i segni di ciscuno dei due fttori (x + 1) e (x ) e si ottiene il segno del prodotto utilizzndo le regole + per + = +, + per - = - e - per - = +.

2 Figure 1: Studio del segno di (x + 1)(x ) ESEMPIO BIS x 0 Le soluzioni dell equzione corrispondente sono + e e quindi le soluzioni sono dte dl sistem x + 0 x x + 0 oppure 0 x 0 ossi x oppure x. ESEMPIO 3 BIS x + 0 L equzione corrispondente non mmette soluzioni reli, in qunto per ogni x rele si h x 0 per cui x Quindi ogni x rele soddisf l disequzione, e l insieme delle soluzioni è tutt l rett rele. ESEMPIO 4 BIS x x Osservndo che x x + 1 = (x 1) si vede fcilmente che solo x = 1 soddisf l disequzione x x ATTENZIONE: Definizione di rdice qudrt di un numero positivo. Se α 0 llor α è definito come quel numero β MAGGIORE O UGUALE A ZERO, β 0, tle che β = α. QUINDI LA RADICE QUADRATA DI UN NUMERO MAGGIORE O UGUALE A ZERO È SEMPRE MAGGIORE O UGUALE A ZERO!!! Ad esempio 4 = MENTRE SCRIVERE 4 = ± È UN ERRORE!! Invece le soluzioni dell equzione x = 4 sono effettivmente ± 4 = ±. L confusione potrebbe derivre dl ftto che volte le soluzioni di un equzione di secondo grdo sono dette rdici dell equzione.

3 COME ARRIVARE ALLA SOLUZIONE GENERALE DELL EQUAZIONE x + c = 0 (ossi il cso b = 0, e, come sempre, 0) x + c = 0 x + c c = 0 c x = c 1 x = 1 ( c) x = c D questi semplici pssggi ottenimo che vnno distinti due csi, second del segno di c i c 0 In questo cso ci sono due soluzioni o più sinteticmente c c x 1 = + x =, c x 1, = ±. ATTENZIONE: ovvimente se c = 0 in reltà x 1 = x = 0: in questo sottocso si dice che ci sono due soluzioni coincidenti. ii c < 0 In questo cso non ci sono soluzioni reli, in qunto, qulunque si x rele, x 0 e quindi è impossibile che x = c NOTA: ovvimente stimo cercndo soluzioni reli. Se introducessimo il numero immginrio i = 1, per il qule i = ( i) = 1 llor potremmo dire che ci sono due soluzioni x 1, = ±i COME ARRIVARE ALLA SOLUZIONE GENERALE DELL EQUAZIONE x + bx + c = 0 ( 0) L ide è riuscire riscrivere [ ( x + bx + c = x + b ) ] b 4c () c. in modo d trsformre l equzione nell equzione x + bx + c = 0 [ ( x + b ) ] b 4c () = 0 d cui si ottiene (trscurndo il fttore 0) in modo del tutto simile l cso precedente x + bx + c = 0 ( x + b ) = b 4c () Trlscindo, per or, il motivo per cui vle quest uguglinz, osservimo che vnno distinti due csi, second del segno di b 4c () i b 4c () 0 := b 4c 0 In questo cso ci sono due soluzioni x 1, = b ± b 4c, ovvero x 1 = b b 4c, x = b b 4c, (1) ATTENZIONE: ovvimente se b 4c = 0 in reltà x 1 = x == b : in questo sottocso si dice che ci sono due soluzioni coincidenti.

4 Per l verific di (1) bst osservre che ( ) x + b = b 4c () vle se e solo se x 1, + b = ± b 4c (), ossi x 1, = b ± b 4c (). Per ottenere l form usule bst notre che ± b 4c b 4c () = ± = ± b 4c se > 0 = b 4c se < 0 ± b 4c e quindi (nel cso in cui < 0, l insieme delle soluzioni rimne lo stesso. ii b 4c () < 0 := b 4c < 0 In questo cso non ci sono soluzioni reli, in qunto, per ogni numero y rele, y che (x + b ) = b 4c () (< 0). 0 e quindi è impossibile NOTA: Ovvimente stimo prlndo di soluzioni reli, perché se introducessimo il numero immginrio i = 1, potremmo dire che ci sono due soluzioni complesse x 1 = b+i b +4c, x = b i b +4c

5 MOTIVO PER CUI VALE e quindi, SE = b 4c 0 [ (x ) x + bx + c = + b ] b 4c () [ (x ) ] [ x + bx + c = + b b 4c (x ) ] () + b + b 4c () = (x x 1 )(x x ) Inftti, essendo 0, possimo scrivere ( x + bx + c = x + b x + c ) ( = x + ) b x + c ggiungendo e sottrendo ( b ) e ricordndo che (α + β) = α + αβ + β, si ottiene llor con x + bx + c = [ x + b x+ ( ) ( b b ) ] [ ( + c = x + b Arrivti ll precedente espressioni, se 0 bst usre l ben not uguglinz α β = (α β)(α + β) α = x + b Si noti che se := b 4c 0 llor h senso clcolre e β = b 4c () b 4c (). ) ] b 4c 4

6 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO x + bx + c 0. Inizimo con il considerre il cso in cui ci sono due soluzioni reli e distinte x 1 e x, ossi se b 4c 0 come bbimo visto quest condizione ci permette di scrivere x + bx + c = (x x 1 )(x x ). Lo studio del segno di tle espressione si riduce llo studio del segno dei singoli fttori, (x x 1 ) e (x x ), come illustrto nell Figur, m, come ccennto in seguito, c è un metodo di rppresentzione che permette di ricordre fcilmente lo studio del segno. Figure : Studio del segno di (x x 1 )(x x ) Rissumendo: se = b 4c 0 e se > 0 llor (x x 1 )(x x ) 0 se e solo se x x 1 oppure x x ovvero per x (, x 1 ] [x, + ) ed EQUIVALENTEMENTE llor (x x 1 )(x x ) 0 se e solo se x x 1 e x x ovvero per x 1 x x ovvero per x [x 1, x ] se = b 4c 0 e se < 0 llor (x x 1 )(x x ) 0 se e solo se x x 1 oppure x x ovvero per x (, x 1 ] [x, + ) ed EQUIVALENTEMENTE llor (x x 1 )(x x ) 0 se e solo se x x 1 e x x ovvero per x 1 x x ovvero per x [x 1, x ] Infine osservimo che se b 4c = 0, llor x 1 = x e quindi x + bx + c = (x x 1 ) e il segno dipende solo dl segno di. Anche nel cso in cui non ci sono due soluzioni reli, ossi se = b 4c < 0 il segno dipende solo d, inftti, poiché, bbimo visto che [ ( x + bx + c = x + b ) ] b 4c () qundo = b 4c < 0, si h che nche ( ) x + b b 4c () > 0. Quindi rissumendo se = b 4c < 0 e se > 0 llor x + bx + c > 0 per ogni x se = b 4c < 0 e se < 0 llor x + bx + c < 0 per ogni x

7 PER CAPIRE BENE E MEMORIZZARE, conviene pensre l grfico dell funzione f(x) = x + bx + c, ossi ll insieme (x, y) tli che y = x + bx + c}, che è un prbol con l concvità rivolt verso l lto o verso il bsso, second del segno di (come in Figur 3). Figure 3: dll Figur 5.4 del testo di Villni, segno delle prbole

8 DISUGUAGLIANZE IRRAZIONALI (con le rdici qudrte) Sino A(x) e B(x) due espressioni polinomili, un disuguglinz irrzionle è un disuguglinz del tipo TIPO I A(x) B(x) TIPO II A(x) B(x) ESEMPIO 1: x 1 x 4 che è un disuguglinz irrzionle di tipo I, è equivlente l seguente sistem: x 4 0 x 1 0 (x 1) x 4 INFATTI: Per inizire bisogn ssicurrsi che l espressione x 4 bbi senso, ossi che x 4 0. Si noti che, per x = 1, si h x 4 = 1 4 = 3 e NON HA SENSO scrivere 3. Poi, tenendo conto che x 4 0 e che x 1 x 4, bisogn richiedere che l espressione x 1 0. Si noti che, per x = 3, si h x 4 = ( 3) 4 = 5 e x 1 = 7, m NON VALE 7 5, mentre vle ( 7) 5, ossi 49 5!!! Infine, tenendo conto del ftto che x 4 0, x 4 0 e x 1 0, l disequzione x 1 x 4 è equivlente richiedere che (x 1) ( x 4 ), ossi (x 1) x 4. Si noti che è servit l proprietà: 0 α β se e solo se 0 α β Quindi per risolvere l disequzione rzionle x 1 x 4 v risolto il seguente sistem: che è equivlente x oppure x x 4 0 x 1 0 (x 1) x 4 x 1 4x 4x + 1 x 4 3x 4x che vle per ogni x, in qunto = < 0 e = 3 > 0 e quindi l soluzione è: x 1 x 4 per ogni x Ricpitolndo: un disuguglinz del tipo I A(x) B(x) equivle l sistem di disuguglinze B(x) 0 A(x) 0 ( ) A(x) B(x)

9 Pssimo or invece d un esempio di disuguglinz irrzionle di tipo II x 1 x 4 Quest disuguglinz è equivlente i seguenti sistemi: x 4 0 x 1 0 oppure x 4 0 x 1 0 (x 1) x 4 l soluzione dell disequzione è dt dll unione delle soluzioni dei due sistemi. INFATTI: Per inizire bisogn ssicurrsi che l espressione x 4 bbi senso, ossi che x 4 0. COME PRIMA: Si noti che, per x = 1, si h x 4 = 1 4 = 3 e NON HA SENSO scrivere 3. Poi, vnno distinti i csi in cui l espressione x 1 0 e il cso in cui x 1 > 0: qundo x 1 0 bst richiedere che x 4 0 e bbimo finito, Si noti che ogni numero negtivo o nullo è minore o ugule un rdice qudrt in qunto un rdice qudrt è sempre positiv o null: d esempio 3 5 qundo x 1 0 tenendo conto del ftto che x 4 0, x 4 0 e x 1 0, l disequzione x 1 x 4 è equivlente richiedere che (x 1) ( x 4 ), ossi (x 1) x 4. Quindi per risolvere l disequzione irrzionle x 1 x 4 primo sistem x 4 0 x 1 0 vnno risolti i seguenti sistemi: che è equivlente x oppure x x 1 l cui soluzione è: x tli che x }; ovvero x ovvero x (, ] secondo sistem x 4 0 x 1 0 (x 1) x 4 che è equivlente x oppure x x 1 4x 4x + 1 x 4 3x 4x che non vle mi, in qunto = < 0 e = 3 > 0 e quindi x 1 x 4 è soddisftt per x [, + ) = x [, + ). Ricpitolndo: risolvere un disuguglinz del tipo II A(x) B(x) equivle risolvere il problem dto d due sistemi di disuguglinze: B(x) 0 B(x) 0 oppure A(x) 0 A(x) 0 ( ) A(x) B(x) l soluzione dell disequzione è dt dll unione delle soluzioni dei due sistemi. OSSERVAZIONE 1: v notto che i vlori di x per i quli A(x) = B(x) = 0 soddisfno si il primo sistem che il secondo sistem. Non è molto elegnte, m non è sbglito. OSSERVAZIONE : v notto che l condizione B(x) 0 nel secondo sistem è sovrbbondnte, in qunto utomticmente soddisftt se vle nche ( A(x) ) B(x) in qunto 0 ( A(x) ) B(x): è poco elegnte, m è bene ricordre subito che l rdice qudrt h senso solo per numeri mggiori o uguli zero.

10 Bisogn poi stre ttenti l cso delle disuguglinze strette, d esempio A(x) < B(x) equivle risolvere il problem dto d due sistemi di disuguglinze: B(x) 0 B(x) 0 oppure A(x) 0 A(x) < 0 ( ) A(x) < B(x) l soluzione dell disequzione è dt dll unione delle soluzioni dei due sistemi. ESEMPIO x 1 x 1 vle se e solo se x 1 0 x 1 0 oppure x 1 0 x 1 0 ( ) x 1 x 1 ( ) Il primo sistem è soddisftto per x (, 1] [1, + ) (, 1] ossi per x (, 1] 1}. x 1 oppure x 1 x 1 Il secondo sistem è equivlente x 1 che su volt equivle x x + 1 x x 1 e che soddisftto per x 1. L soluzione è quindi: l disequzione irrzionle x 1 x 1 è soddiftt per x (, 1] [1, + ). ESEMPIO BIS x 1 < x 1 vle se e solo se x 1 0 x 1 0 oppure x 1 0 x 1 < 0 ( ) x 1 < x 1 ( ) Il primo sistem è soddisftto per x (, 1] [1, + ) (, 1) ossi per x (, 1]. x 1 oppure x 1 x 1 Il secondo sistem è equivlente x 1 che su volt equivle x x + 1 < x x < 1 e che soddisftto per x > 1. L soluzione è quindi: l disequzione irrzionle x 1 < x 1 è soddiftt per x (, 1] (1, + ). DISUGUAGLIANZE IRRAZIONALI (con le rdici cubiche) Sino A(x) e B(x) due espressioni polinomili, un disuguglinz irrzionle (con rdici cubiche) è un disuguglinz del tipo TIPO I A(x) 3 B(x) TIPO II A(x) 3 B(x) Qui l trttzione è più semplice: inftti l rdice cubic di un numero h sempre senso, si per numeri positivi che negtivi, quindi semplicemente i due problemi sono equivlenti TIPO I A(x) 3 B(x) TIPO II A(x) 3 B(x) Le considerzioni ftte si generlizzno fcilmente l cso di rdici n sime distinguendo tr n pri, che si trttno in modo del tutto simile l cso delle rdici qudrte, ed n dispri, che si trttno in modo del tutto simile l cso delle rdici cubiche.