1. Elementi di analisi funzionale Esercizi

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1 . Elementi di nlisi funzionle Esercizi Spzi vettorili.. Spzi vettorili normti.-. Dimostrre l diseguglinz tringolre in C n reltivmente ll norm ( esempio ). Suggerimento Si h + y = n k + y k.... Soluzione. Si h n n + y = k + y k ( k + y k )= = n k + n y k = + y..-. Dimostrre l diseguglinz tringolre in C n reltivmente ll norm ( esempio ). Suggerimento Si prt dl ftto che + y = k + y k per uncerto indice k. Soluzione. Si h + y = k + y k k + y k m k.-3. Per ogni R n mostrre che lim p = = m k. p k n k + m y k = + y. k Suggerimento Se = non c è niente d dimostrre. Altrimenti, supposto, per fissre le idee, che l componente di vlore ssoluto mssimo si l prim, cioè =,sipuò scrivere ( n k p) /p ( n = + k p) /p, k= dove l ultim quntità entro prentesi tonde è compres tr e n. Soluzione. Proseguendo nel rgionmento inizito nel suggerimento, si h ( n + k p) /p n /p, k= dove l ultim quntità tende per p..-. Verificre che sullo spzio C[, b] delle funzioni reli continue sull intervllo [, b] lenorme di indici e sono effettivmente tli ( esempio ).

2 Cpitolo. Elementi di nlisi funzionle c Suggerimento Si trtt di verificre (per entrmbe le norme) l diseguglinz tringolre: per l second norm utilizzre il teorem di Weierstrss sull esistenz del mssimo di un funzione continu su un comptto. Soluzione. Si h f + g = f()+g() d f() d + g() d = f + g. Si poi [, b] unpunto tle f + g = f()+g(). Sih f + g = f()+g() f() + g() m f() + m g() = = f + g..-5. Verificre che per le funzioni costnti sull intervllo [, b], f() = c, sih f =(b ) f. Soluzione. Si h inftti f = c d = f d =(b ) f..-6. Dimostrre che le norme e sono equivlenti sullo spzio vettorile delle funzioni polinomili di grdo sull intervllo [, b] (in ccordo con l Proposizione.-), clcolndo due costnti che consentno di mggiorre un norm con l ltr. Suggerimento Si p( )unpolinomio di grdo ; posto A := p(), B := p(b), si cominci con l osservre che si h p = m{a, B}, p = p() d = b (A + B) se p() p(b) (in tl cso il grfico di p èunsegmento), mentre p = p() d = b A + B A + B se p() p(b) < (in tl cso il grfico di p è un spezzt compost d due segmenti ugulmente inclinti sull sse delle scisse). A B A B b b Soluzione. Con riferimento ll figur di sinistr, èchiro che si trtt dell re di un trpezio con bsi A e B e ltezz b. Nel cso dell figur di destr, l similitudine tr i due tringoli evidenziti implic che le bsi degli stessi tringoli vlgono A (A + B) (b ), B (b ). (A + B) Si h poi A + B p,epera + B> (in cso contrrio p è identicmente nullo e non c è niente d dimostrre) si h A + B (A + B), quindi

3 c Esercizi 3 A + B A + B A + B. f (, y) = + y f (, y) = + y +y In conclusione: p b p =(b ) p. Vle il segno di uguglinz per i polinomi costnti..-7. Utilizzndo le funzioni polinomili fornite l termine dell esempio.-, dimostrre che le norme e non sono equivlenti sullo spzio vettorile delle funzioni polinomili (senz limitzioni sul grdo) sull intervllo [, b]. Soluzione. Si trtt delle funzioni f n () = n, considerte sull intervllo [, ]. Per esse bbimo trovto f n =/(n+), f n =. Dunque non esiste un costnte C> tle d versi p C p per ogni funzione polinomile p..-8. Si V = C () [, b]lospzio delle funzioni continue su [, b] ssieme ll derivt prim; si considerino le norme f := m f() + m f (), b b f := f() + m f (). b Dimostrre che esse sono effettivmente due norme e che sono equivlenti. Suggerimento Si può osservre (teorem del vlor medio) che f() =f()+( ) f (ξ), con ξ [, b], d cui f() f() +(b ) m b f (). Soluzione. Proseguendo nel rgionmento iniziro nel suggerimento, si h m f() f() +(b ) m f (), d cui

4 Cpitolo. Elementi di nlisi funzionle c f f() +(b ) m f () + m f () = = f() +(b +)m f () < < (b +) [ f() + m f () ] =(b +) f. L disuguglinz f f è evidente..-9. Si V = C[, b], w un funzione continu e positiv su [, b]. Dimostrre che l quntità f w := m w() f() b è un norm e dire se ess è equivlente ll norm del mssimo. Suggerimento Si h < min w() w() m w(); sfruttre l identità f() =w() f(w)/w(). Soluzione. Si h f = m f() = m w() f() f() m w() = w() min w() = min w() m w() f() = min w() f w. Inversmente f w = m w() f() m ( m w() ) f() = = m w() m f() = m w() f..-. Sino e due norme equivlenti su V. Si ( n ) n N un successione in V e V.Verificre che ( n ) ( n ). Soluzione. Inftti per due opportune costnti positive c e c si h n c n, n c n..-. Se V è uno s.v.n. rele o complesso, un trsformzione linere f : V R (o rispettivmente f : V C) sichim semplicemente un funzionle linere. Si consideri lo spzio C () [, ] munito dell norm del mssimo. Verificre che il funzionle linere ( ) () non è limitto, dunque ( Proposizione.-) non è continuo. Suggerimento Scegliere, d esempio, n (t) =sin nt. Soluzione. Per lefunzioni suggerite si h n(t) =n cos nt, quindi n() = n, mentre n =per ogni n..-. Si consideri lo spzio C[, ] munito dell norm del mssimo. Controllre che ifunzionli lineri ( ) (t) dt, e( ) (t ), per ogni fissto t [, ], sono continui. Soluzione. Si h (t) dt (t) dt dt =. Si h poi (t ) m (t) =..-3. Si considerino gli spzi V = C () [, ] e W = C[, ] muniti entrmbi dell norm del mssimo. Controllre che l opertore linere ( ) ( ) non è continuo d V W (considerre, d esempio, le funzioni n (t) :=(sin nt)/ n ). Soluzione. Per lefunzioni suggerite si h n =/ n, n = n.

5 c Esercizi 5.-. Si consideri lo spzio V = C[, ] munito dell norm del mssimo. Controllre che l opertore linere di V in sé che d ( ) V ssoci l funzione t t (s) ds, t [, ], è continuo. Soluzione. Posto X(t) := t (s) ds si h inftti t t X = m (s) ds m (s) ds = (s) ds = t t = =. Dunque l opertore linere in esme è continuo nche d C[, ] munito dell norm di indice llo stesso spzio munito dell norm del mssimo..-5. Si consideri lo spzio C[, ] munito dell norm del mssimo (norm di indice ). Controllre se sono chiusi in tle spzio gli insiemi (lcuni dei quli sono sottospzi) costituiti dlle funzioni ( ) tli che: ) () = ; b) () = (). c) è non negtiv; d) l integrle di su [, ] ènullo; e) l integrle di su [, ] è non negtivo; f) è derivbile in / e (/) = ; g) è costnte su [, ]. Suggerimento Per f) siconsideri, d esempio, l successione di funzioni n (t) := (t n + ). Soluzione. Si trtt di verificre se, dt un successione ( n ) convergente uniformemente d un funzione limite, dl ftto che tutte le n verificno un delle condizioni dll ) ll g) segue (o meno) che l stess condizione èverifict dll funzione limite. Lrispost è ffermtiv trnne nel cso f); inftti l funzione limite dell successione suggerit è / che non è derivbile nel punto /. Si consideri, lterntivmente, l successione n () := n sin ( n(t /) ) t; ess converge uniformemente ll funzione t t, derivbile nel punto / con derivt ugule, pur essendo n(/) = per ogni n..-6. Stesso problem del precedente esercizio per gli insiemi costituiti dlle funzioni ( ) tli che: ) èunpolinomio di grdo ; b) èunpolinomio di grdo esttmente ; c) èunpolinomio. Suggerimento Si teng presente che l convergenz uniforme implic l convergenz puntule. Scelti tre vlori distinti dell vribile indipendente, d esempio t =, t =/, t =,se n (t) := n t + b n t + c n è un successione di polinomi di grdo convergente uniformemente su [, ], dll convergenz delle tre successioni n n () = c n, n n (/) = n /+b n /+c n, n n () = n + b n + c n, dedurre l convergenz delle successioni n n, n b n (oltre quell dell successione n c n ).

6 6 Cpitolo. Elementi di nlisi funzionle c Per c) si considerino i polinomi di Tylor dell funzione seno. Soluzione. Proseguendo secondo le linee fornite dl suggerimento, si osserv che il sistem ottenuto si scrive / / n b n = n() n (/), c n n () l cui soluzione è dt d = n() n b n c n 3 n (/) n (). Dunque l convergenz delle successioni ( n () ), ( n (/) ), ( n () ) implic l convergenz delle successioni ( n ), (b n )e(c n ). Dunque l rispost ll domnd ) è ffermtiv. Al contrrio l rispost ll domnd b) è negtiv: l successione dei polinomi n /n converge uniformemente sull intervllo [, ] (di ftto su ogni intervllo comptto). Lo stesso per l domnd c). l successione dei polinomi di Tylor dell funzione seno (in breve: l serie di Tylor) converge uniformemente sin su ogni intervllo comptto, e l funzione limite non èpolinomile. Si teng presente che se T n () èil polinomio di Tylor reltivo ll funzione seno (punto inizile = )per il reltivo resto si h l espressione secondo Lgrnge r n () = n+ (n + )! f (n+) (ξ) = r n () n+ (n + )!, in qunto le derivte successive dell funzione seno sono del tipo ± sin, ± cos..-7. Si lim n n = nello s.v.n. V ; dimostrre che lim n n =. Suggerimento Utilizzre l diseguglinz (3 ). Soluzione. Si h inftti n n..-8. Si lim n n = nello s.v.n. V ; dimostrre che esiste un costnte C per cui n <C, n. Aprole: ogni successione convergente è limitt in norm. Soluzione. Il precedente esercizio ci ssicur che l successione n n converge. Scelto ε> esiste n ε tle che per ogni n>n ε si h n [ ε, + ε ]. Al di fuori dell intervllo ppen considerto restno dunque, l più, le norme dei primi n ε elementi. bsterà prendere := min{,..., nε, ε}, b := m{,..., nε, + ε} per vere un intervllo [, b] che contiene tutte le norme..-9. Si lim n n = nello s.v.n. complesso V, lim n n = in C; dimostrre che lim n n n =. Suggerimento D n n = n n n + n segue.... Soluzione.... segue n n n n n + n = = n n + n ; l successione ( n )è limitt in qunto convergente, dunque il secondo membro tende per n.

7 c Esercizi 7.3. Spzi vettorili con prodotto sclre.3-. Verificre che ponendo in C n (come in R n )( y) := n ky k,vremmo introdotto un definizione scorrett. Suggerimento immginri i. Si consideri il vettore vente tutte le componenti uguli ll unità Soluzione. Per il vettore in questione si vrebbe inftti ( ) = n..3-. Dimostrre che vle il segno di uguglinz nell diseguglinz di Cuchy- Schwrz se e solo se i vettori e y sono linermente dipendenti. Se e y sono vettori non nulli, verificre che vle il segno di uguglinz nell diseguglinz tringolre se e solo se = ty, con t>. Soluzione. Con riferimento ll dimostrzione dell Proposizione.3-, èchiro ch vle il segno di = nell diseguglinz di Cuchy-Schwrz se si h = α + y, con α = (y )/, dunque se α + y =, cioè idue vettori dti sono linermente dipendenti. Inversmente, s = λy, llor ( y) =λ y,dcui ( y) = λ y y = y. Perché vlg il segno di = nell diseguglinz tringolre occorre che in tutti i pssggi dell dimostrzione i segni sino sostituiti d =. Questo richiede che vlg il segno di = nell diseguglinz di Cuchy-Schwrz e dunque deve essere = λy. Deve poi essere Re( y) = ( y), cioè Re(λ) = λ, dunque λ> Dimostrre che in uno s.v. con prodotto sclre il prodotto sclre stesso è un funzione continu, nel senso che se n, y n y (vle dire n, y n y pern + ), llor ( n y n ) ( y). Suggerimento Si utilizzi l diseguglinz di Cuchy-Schwrz. Soluzione. Si h ( n y n ) ( y) =( n y n ) ( n y)+( n y) ( y) = =( n y n y)+( n y). Dll diseguglinz tringolre e d quell di Cuchy-Schwrz segue llor ( n y n ) ( y) ( n y n y) + ( n y) n y n y + n y. Il risultto segue llor dlle ipotesi, tenendo conto del ftto che l successione n n è limitt in qunto convergente (v. esercizio.-8)..3-. Dedurre dlle identità (9) che, se l norm sullo spzio vettorile V è hilbertin, cioè indott dl prodotto sclre ( ), llor tle prodotto sclre è univocmente individuto dll norm medinte l uguglinz ( y) = [ + y y ] se V è rele, dll uguglinz ( y) = [ + y y + i + iy i iy ] se V è complesso. Soluzione. Bst sviluppre i secondi membri. Si h, d esempio, [ + y y ] = [( + y + y) ( y y)] = = [( y)+( y)] = ( y).

8 8 Cpitolo. Elementi di nlisi funzionle c Dimostrre che le norme e su R n,n ( esempio.-) non verificno l identità del prllelogrmm, e dunque non sono norme hilbertine. Suggerimento Prendere = e =(,,,...,), y = e =(,,,...,). Soluzione. Per ivettori in questione si h inftti e = e =, e + e = e e =; e = e = e + e = e e = Dimostrre che le norme e su C[, ] ( esempio.-) non verificno l identità del prllelogrmm, e dunque non sono norme hilbertine. Suggerimento Prendere, d esempio, f() =, g() =. Soluzione. Si h f()+g() =,f() g() =, d cui fcilmente f = g =,, f + g =, f g =/; f = g = f + g = f g = Si V uno spzio vettorile con prodotto sclre ( ). Verificre che se V è rele, llor ( u + v = u + v ) ( (u v) = ), mentre se V è complesso, llor ( u + v = u + v ) ( Re(u v) = ). Costruire due vettori non nulli di C n per cui vlg l uguglinz u + v = u + v m (u v) (s intende di utilizzre il prodotto sclre cnonico e l reltiv norm). Soluzione. Si h inftti u + v =(u + v u + v) = u + v +(u v)+(v u), dove l somm degli ultimi due ddendi vle ( Re(u v) sesitrtt di uno spzio complesso, e semplicemente (u v) sesitrtt di uno spzio rele. Per i vettori u =(i, i,..., i) ev =(,,...,) si h Re(u v) =m(u v) Utilizzndo le stesse funzioni dell esempio.-6, si verifichi che lo spzio C ( [, ], R ) non è completo rispetto ll norm indott dl prodotto sclre (f g) := = f()g() d. Suggerimento Si teng presente che, se f(), llor f() f(). Soluzione. Si trtt di dimostrre che l successione di funzioni (f n ) considert nell esempio citto èdicuchy rispetto ll norm di indice. Or si h (con i simboli dell esempio) f n f m = (f n f)+(f f m ) ( ) f n f + f m f ( f n f + f m f ) = ( ) = f n () f() d + f() f m () d ( ) = f n () f() d + f() f m () d = n + m. Abbimo sfruttto il ftto che f n () f() e f m () f(), dunque le funzioni i primi membri sono dei rispettivi qudrti. Si è utilizzt inoltre l disuguglinz (A + B) (A + B ), dove A, B.

9 c Esercizi Utilizzndo l diseguglinz di Cuchy-Schwrz nello spzio C ( [, b]; C ) reltivmente lle funzioni f() e, dove f è un qulsivogli funzione dello spzio in esme, dimostrre l diseguglinz f b f. Soluzione. Si h inftti f = f() d =.. Proiezioni ortogonli Esercizi proposti f() d f = b f..-p.. Si V = R n munito del prodotto sclre cnonico, V il sottospzio di V di dimensione generto dl vettore v := (,,...,). Un vettore =(,,..., n ) è ortogonle v (dunque pprtiene V )seesolo se n k =. Verificre che l proiezione ortogonle di su V è dt dl vettore con tutte le componenti uguli ll medi ritmetic delle componenti di stesso..-p.. Si V = R 8 munito del prodotto sclre cnonico e V si il sottospzio di V di dimensione generto di vettori v =(,,..., ), v }{{} =(,, 3,...,8). 8componenti V è costituito d tutti (e soltnto) i vettori di R 8 le cui componenti sono in progressione ritmetic : k k = costnte, per k =, 3,...,8. Verificre che il procedimento di Grm-Schmidt, pplicto i vettori dti, produce ivettori z = v, z = v (9/)v =( 9/, 9/,...,8 9/) dove 9/ èlmedi ritmetic delle componenti di v A sinistr i vettori v e v,destr i vettori z e z. L proiezione ortogonle di =(,,..., n )suv si scrive dunque z z z + z 8 z z = 8 k z + k k z 8 essendo il qudrto dell norm di z..-p.3. Generlizzre i risultti del precedente esercizio l cso dello spzio R n, con n qulunque. Or bbimo v =(,,..., ), v }{{} =(,, 3,...,n), n componenti d cui segue z = v, z =( m, m,..., n m)

10 Cpitolo. Elementi di nlisi funzionle c dove m =(n +)/ èlmedi ritmetic delle componenti di v. Il qudrto dell norm di z vle n, mentre il qudrto dell norm di z vle n(n )/. Per effetture quest ultimo clcolo occorre ricordre l formul (v. PCAM, pg. 5) n k n(n + )(n +) =. 6.-P.. Considerimo i polinomi p () =, p () =, p () = nello spzio delle funzioni continue sull intervllo [, ], munito del consueto prodotto sclre (f g) = f()g() d. Applicre d essi il procedimento di Grm-Schmidt (Prop..-3), ottenendo i polinomi q (),q (),q (). Si ottiene un bse ortogonle del sottospzio P costituito di polinomi di grdo. Utilizzndo tle bse, clcolre il polinomio di secondo grdo che meglio pprossim l funzione f() = 3 nello spzio considerto. Suggerimento Utilizzre l Proposizione.3-.) Soluzione. Si trov q () =, q () =, q () = +/3. Il polinomio di migliore pprossimzione è p() =c q ()+c q ()+c q () con c k =(f q k )/(q k q k ), k =,,, quindi c =, c =8/5, c =3, d cui finlmente p() =3 /5 +/5.