Ellisse riferita al centro degli assi

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1 Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm delle distnze tr P e i due fuochi: PF PF k, con k costnte che si indic con. Questo luogo geometrico esiste, inftti, fissimo su un foglio (per esempio con due puntine) le due estremità di un cordicell e tenimol tes con un mtit che fccimo scorrere sul foglio. Lungo tutto il suo movimento, l punt dell mtit non potrà llontnrsi oltre l lunghezz dell cordicell, cioè oltre l somm delle distnze dlle due puntine; l trcci lscit dll mtit è quindi l ellisse che h per fuochi i punti in cui è stt fisst l cordicell. Gurd il seguente esempio: In un sistem di riferimento crtesino prendimo i fuochi simmetricmente rispetto ll origine F c,0, si h il seguente grfico degli ssi e si ino le seguenti coordinte: c,0 dell ellisse: F e Si dimostr che l distnz tr i punti di intersezione dell ellisse con l sse delle scisse è. Dimostrzione Tesi: A A psso: dimostrre che A F AF

2 Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Comincimo d osservre che essendo A e A punti dell ellisse, si h, per l definizione di ellisse: A F A F e AF AF ; quindi A F A F AF AF. Cioè sono uguli le distnze AF e AF, dto che le somme l primo e l secondo memro dell ultim uguglinz contengono entrme volte, rispettivmente, i segmenti AF e AF e lo stesso segmento FF. psso: dimostrre l tesi Dto che: A A A F FF FA, per l dimostrzione del psso, si h: A A A F FF. M l somm l secondo memro è l somm delle distnze tr AF e AF, cioè. Allor le coordinte dei punti A e A sono: A,0 e,0 A. Considerimo desso i punti di intersezione dell ellisse con l sse delle ordinte, ponimo per B le seguenti coordinte: B 0, Dimostrzione, si h: c. Tesi: c B è un punto dell ellisse, quindi BF BF e dto che i tringoli FBO e FBO sono uguli, llor B F. L tesi segue immeditmente dl teorem di Pitgor. Sempre per il teorem di Pitgor si h c. c e. L form cnonic dell equzioone dell ellisse con i fuochi sull sse delle scisse e centro x y nell origine è: (per l dimostrzione si rimnd l liro di testo). Ponendo nell precedente equzione x=0 si ottengono le coordinte dei punti B e B; si h dunque B 0,. coordinte: Il segmento OB si chim semisse minore e nell equzione dell ellisse è rppresentto dl prmetro. Il segmento OA si chim si chim semisse mggiore e nell equzione dell ellisse è rppresentto dl prmetro. Il segmento OF si chim si chim semisse focle e l su misur è rppresentt dl prmetro

3 Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Si dice eccentricità dell ellisse il rpporto fr il semisse focle e il semisse mggiore. Nel cso c dell ellisse in figur: e. L eccentricità è un numero compreso tr 0 e, essendo c, e rppresent lo schiccimento dell ellisse sul suo sse mggiore: più il vlore e si vvicin 0 (cioè i fuochi sono molto vicini), meno l ellisse è schiccit, più si vvicin d (fuochi distnti dll origine degli ssi m vicini i vertici A e A) più lo divent. Un circonferenz può essere considert un ellisse con eccentricità zero, un segmento, invece, un ellisse con eccentricità. Gurd l seguente costruzione: 3

4 Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Iperole riferit l centro e gli ssi iperole equilter L ellisse è tutt contenut nel rettngolo di dimensioni e. Vicevers, considerimo un rettngolo ABCD di dimensione e con centro nell origine degli ssi e prolunghimone le digonli. Proiettimo poi i punti A e D sull sse delle scisse e sino F ed F, rispettivmente, queste proiezioni. Le coordinte sino: c,0 Il luogo dei punti P del pino tli che F e c,0 F. PF PF è un curv costituit d rmi ciscuno contenuto nell porzione di pino delimitto di prolungmenti delle digonli e si chim iperole. Per il teorem di Pitgor si h: c A e, c> e c>. Dimostrimo che i punti A (intersezioni dei lti del rettngolo con l sse delle scisse) sono punti dell iperole. Dimostrzione Tesi: A F A F e A F A F Dimostrimo che l tesi vle per il punto A, l stess dimostrzione vle per l ltro punto. Le coordinte sono,0 A, F, F c,0 c,0, quindi: 4

5 Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole A F A F c c c c ( c ) ( c ) c c Il grfico dell iperole riferit l centro e gli ssi è indicto in lu nell immgine seguente: L form cnonic dell equzione dell iperole con i fuochi sull sse delle scisse e centro x y nell origine è: (per l dimostrzione si rimnd l liro di testo). I punti A e A si chimno vertici reli; il segmento AA è l sse trsverso e il segmento OA (oppure OA) il semisse trsverso. I punti B e B si chimno vertici immginri; il segmento BB è l sse non trsverso e il segmento OB (oppure OB) il semisse non trsverso. Le rette che contengono i prolungmenti delle digonli si chimno sintonti dell iperole ed hnno equzione: y x e y x. Dimostrzione Tesi: l rett AC (figur precedente) h equzione equzione y x y x e l rett DB (figur precedente) h 5

6 Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Il fscio di rette che h per centro l origine degli ssi h equzione y mx ; tr tutte le rette del fscio cerchimo quell che pss per A (, ). Imponimo dunque il pssggio per A: m m ; d cui l tesi. In modo nlogo, imponimo il pssggio per B(, ) : m m ; d cui l tesi. Se P è un punto dell iperole, l distnz PH di P dll rett y x divent sempre più piccol mn mno che ument l sciss del punto, P; qundo si verific quest circostnz, l rett si chim sintoto dell curv. L iperole h dunque due sintoti. Qundo il rettngolo d cui simo prtiti per descrivere un iperole è un qudrto, l iperole si dice equilter. 6

7 Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Si h: x y x y ; inoltre c c Osservimo che gli sintoti dell iperole equilter sono tr loro perpendicolri (sono i prolungmenti delle digonli di un qudrto), immginimo llor di ruotre l iperole in modo d fr coincidere gli sintoti con gli ssi crtesini. L curv in rosso è l iperole ruott che si chim iperole equilter riferit i propri sintoti. L iperole equilter riferit i propri sintoti h equzione xy k, con k costnte, che può essere positiv o negtiv. Se k 0 l iperole st (come in figur) nel e 3 qudrnte, se k 0l iperole st nel e 4 qudrnte. Dimostrzione Con riferimento ll figur precedente si h: OH=, OF= ed essendo l rett OF inclint di 45 sull sse x, le coordinte di F sono (, ). Per simmetri le coordinte dell ltro fuoco G sono 7

8 Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole (, ). Applichimo quindi l definizione di iperole, se P(x,y) pprtiene l luogo deve essere: x y x y, d cui: x y x y elevndo l qudrto entrmi i memri e semplificndo si h: x y 4x 4y 4 4, dividendo per 4 e spostndo l primo memro, si h: x y x y d cui elevndo nuovmente l qudrto e semplificndo si h: xy. Ponendo k si h l tesi. Le coordinte dei vertici dell iperole sono: ( k, k ) =, ( k, k ) =, coordinte dei fuochi, invece: (, k ) se k 0, oppure ( k, k ) e ( k, k ) se k 0; le k = ( k, k ) e ( k, k ) se k 0., e ( k, k ) =, se k 0, oppure e 8