AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

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1 AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert un bse nel dominio V ed un nel condominio V, eventulmente eguli fr loro, esiste un ben determint mtrice qudrt A di ordine n egule ll dimensione di V. Allor ogni endomorfismo f : V V si può rppresentre come Y = A X con X e Y mtrici colonn delle coordinte dei vettori v e f(v) rispetto ll bse scelt in V e A mtrice qudrt ssocit d f. Si f : V V un endomorfismo di V in sé. Si dice utovettore di f ogni vettore v V tle che. v. f(v) = v con R. Lo sclre viene detto utovlore di f e v chimsi utovettore reltivo ll utovlore. Ciò signific che l immgine di v trmite f è un multiplo di v stesso. L insieme degli utovlori di f si dice spettro di f. Si osservi che l condizione ) è essenzile; inftti se così non fosse tutti i numeri reli c srebbero utovlori corrispondenti v =, in qunto f() = c è un identità sempre verifict qulunque si c R. Sussiste il seguente teorem: L insieme V() costituito dl vettore nullo e d tutti gli utovettori di f reltivi ll utovlore è un sottospzio vettorile di V. Il sottospzio V() costituito dl vettore nullo e d tutti gli utovettori di f reltivi ll utovlore si dice utospzio reltivo ll utovlore. Per qunto osservto il sottospzio V() non può ridursi l solo vettore nullo e pertnto dim V(). Inoltre si dice molteplicità geometric di, e si indic con m g () l dim V().

2 Dimostrimo or il seguente teorem: Si f : V V un endomorfismo di V in sé. Se v, v,,v n sono utovettori reltivi,,, n utovlori distinti tr loro, llor v, v,,v n sono linermente indipendenti. Dimostrzione Procedimo per induzione. Se n =, l utovettore v è diverso dl vettore nullo (per definizione) e quindi è linermente indipendente. Si n > e supponimo che, se v, v,,v n- sono utovettori reltivi gli utovlori,,, n- distinti tr loro, essi sino linermente indipendenti. Si llor v n un utovetture reltivo ll utovlore n distinto d,,, n- e supponimo, per ssurdo, che v n dipend linermente d v, v,,v n-, cioè che si: () v n = α v + α v + + α n- v n- Applicndo l endomorfismo f d mbo i membri dell () si ottiene: () f(v n ) = n v n = α ( v ) + α ( v )+ + α n- ( n- v n- ) Sostituendo l () nell () si ottiene: α ( n - )v + α ( n - )v + + α n- ( n - n- )v n- = Poichè n,,, n- e v, v,,v n- sono linermente indipendenti per l ipotesi induttiv, si h α = α = = α n- =. Dll () llor risult v n = contro l ipotesi che v n si utovettore. Quindi v, v,,v n sono linermente indipendenti. Inoltre si h che: Se dim V = n, ogni endomorfismo f : V V h l più n utovlori distinti. Vedimo come si possono determinre gli utovlori e gli utovettori di un endomorfismo. Si f : V V un endomorfismo di V in sé. Indict con A l mtrice ssocit d f rispetto d un bse B = { u, u,,u n } di V, se x è un utovettore reltivo ll utovlore e se X indic l mtrice colonn delle coordinte di x rispetto B, dll essere Y = A X

3 risult A X = X. In ltre prole se A è un mtrice qudrt di ordine n, x R n è un utovettore di A con utovlore A x = x. ESEMPI Ogni vettore x è utovettore dell mtrice identità I con utovlore. Inftti Ix = x x quindi lo spettro dell identità è { }. Generlizzndo Per ogni numero rele c ogni vettore x è utovetture dell mtrice ci con utovlore c. Inftti risult (ci) x = cx x e lo spettro di ci è { c }. Se c = si h lo spettro dell mtrice zero. Indict con I l mtrice identità d A x = x si ottiene A x - I x = (A - I)x = () L () rppresent un sistem linere omogeneo di n equzioni in n incognite del tipo: ( - )x + x + + n x n = x + ( - )x + + n x n =.. n x + n x + + ( nn - ) x n =. Tle sistem h soluzioni non nulle, essendo x diverso d zero, qundo det (A - I) = cioè... det (A - I) =... n Sviluppndo tle determinnte si ottiene un equzione di grdo n in, dett equzione crtteristic.... n nn n n... = 3

4 n n n p () = n = il polinomio p () è detto polinomio crtteristico. Per il teorem fondmentle dell Algebr quest equzione mmette n soluzioni,,, n che rppresentno gli utovlori di A. Pertnto Se A è un mtrice qudrt di ordine n, un numero rele è utovlore di A se e solo se det (A - I) = Si dice molteplicità lgebric di un utovlore, e si indic con m (), l molteplicità di come rdice del polinomio crtteristico, cioè il numero di volte che compre come soluzione dell equzione crtteristic. Si h che: n i= m ( i ) = n Sussiste inoltre il seguente teorem: Se f : V V è un endomorfismo di V in sé e è un suo utovlore llor risult m g ( ) m ( ) ESEMPI. Si clcolino gli utovlori dell seguente mtrice 3 Soluzione Detto un utovlore di A deve essere det (A - I) = con I mtrice identic di ordine. Sino A = I = I = 3 Deve essere A - I = 3 det (A - I) = = 3 4

5 Quindi det (A - I) = ( - )( - ) 6 = = = ( + )( - 4) = det (A - I) = = - e = 4 Pertnto gli utovlori di A sono = - e = 4. Determinimo gli utovettori reltivi ll utovlore = -. Considerimo il sistem linere reltivo ll equzione (A + I)x = Essendo, per = - (A + I) = 3 3 il sistem ssocito d (A +I) è: Esso mmette infinite soluzioni. Posto x = y si h : x y = -3x + 3y = x = α y = α pertnto gli infiniti utovettori reltivi ll utovlore = - sono x = α Per = 4 si ottiene 3 (A - 4I) = 3 il sistem ssocito d (A 4I) è: -3x y = -3x - y = Esso mmette infinite soluzioni. Posto x = - y si h : 3 x = -3α y = α 3 pertnto gli infiniti utovettori reltivi ll utovlore = - sono x = α.. Si A = Clcolimo i suoi utovlori, gli utospzi reltivi gli utovlori e verifichimo che gli utovettori ssociti gli utovlori sono linermente indipendenti. 5

6 Soluzione A - I = det(a -I) = = ( ) ( ) = ( )( ) ( )( )( ) = + = + Gli utovlori di A quindi sono = -, =, 3 =. Clcolimo gli utovettori reltivi = - (A + I) = Il sistem ssocito d (A +I) è: x + z= - x + y+z = Esso mmette infinite soluzioni. Posto x 3 = z, x = y, x = x si h: x+ z= z = x 3 x = - 3 x = - x 3 Quindi l utospzio ssocito = - è costituito di vettori x = x 3 3, con x 3 R Con procedimento nlogo si ottiene che l utospzio ssocito = è costituito di vettori x = x, con x R e l utospzio ssocito 3 = è costituito di vettori x = x, con x R. 6

7 Verifichimo che i tre utovettori ssociti i tre distinti utovlori sono linermente indipendenti. Bst fr vedere che det 3. E si ottiene det 3 = Si A = clcolimo i suoi utovlori, gli utospzi reltivi gli utovlori e verifichimo se gli utovettori ssociti gli utovlori sono linermente indipendenti. Soluzione det(a -I) = = ( ) = = - Quindi = - è utovlore di A. Clcolimo (A + I) =. L utospzio ssocito si ottiene risolvendo x = x d cui si h che l utovettore reltivo ll utovlore = - è x x = = x, con x R, d ciò è immedito che non è possibile trovre due utovettori linermente indipendenti tr loro. Il polinomio crtteristico p () di un mtrice qudrt A di ordine n gode delle seguenti proprietà: p () h grdo n e il coefficiente di n è (-) n ; n n il coefficiente di è ( ) ii il termine noto è det(a), cioè n = det(a) i indicti con,,, n gli utovlori di A risult det(a) = n. 7

8 ESEMPI 3. Esistono mtrici reli che non hnno utovlori reli. Ogni mtrice rele 3 3 h lmeno un utovlore rele. Inftti se A è un mtrice rele, il suo polinomio crtteristico è coefficienti reli. Se A è dell ordine 3, il polinomio crtteristico h grdo 3 e, quindi, per il teorem di Bolzno-Weierstrss, h lmeno un rdice: l funzione rele p () ssume vlori positivi e negtivi ed è continu; quindi il suo grfico intersec l sse delle scisse. Se invece considerimo l mtrice A = e det(a - I) = p() = Il polinomio crtteristico è p () = +, che non h rdici reli, m solo le due rdici complesse i e -i.. Considerimo l mtrice un suo utovlore è: det(a - I) = 3 5 A = 3 5 = ( - ) 3 = = il polinomio crtteristico è p () = ( - ) 3 = ; esso h grdo 3 (ordine dell mtrice A) e il coefficiente di 3 è (-) 3 = - mentre il coefficiente di è (-) ( + + ) = 3 n = = det(a) essendo gli utovlori = = 3 =, det(a) = = l molteplicità lgebric m () = m () = 3 Proprietà degli utovlori Si A un mtrice qudrt di ordine n e un suo utovlore llor: A e A T (trspost di A) hnno gli stessi utovlori Se A è non singolre llor - è utovlore di A - p è utovlore di A p p N se A è ortogonle llor = = è utovlore di A det(a) = 8

9 gli utovlori di mtrici digonli e tringolri (inferiori e superiori) sono gli elementi dell digonle principle. Due mtrici qudrte A e B di ordine n si dicono simili se esiste un mtrice non singolre S tle che B = S A S - Si può dimostrre che L similitudine tr mtrici è un relzione di equivlenz. Sussiste l seguente proposizione: se A e B sono mtrici simili, llor det(a - I) = det(b - I) quindi A e B hnno gli stessi utovlori con l stess m (). Teorem Sino A e B due mtrici simili. Allor esse hnno gli stessi utovlori con l stess molteplicità lgebric e l stess molteplicità geometric. Dimostrzione Sino A e B due mtrici simili e si un utovlore di entrmbe. Fissimo un mtrice non singolre S tle che B = S A S - Se v V A (), ponimo f(v) = S - v. llor risult B f(v) = B S - v = S - S B S - v = S - A v = S - v = (S - v) = f(v) e pertnto f(v) V B (). In ltri termini bbimo definito un ppliczione linere f: V A () V B (). Anlogmente si può definire g: V B () V A () ponendo per w V B () g(w) = S w. E immedito llor che l ppliczione compost g f è l ppliczione identic su V A () e che f g è l ppliczione identic su V B (). Quindi gli spzi V A () e V B () sono isomorfi e pertnto hnno l stess dimensione, cioè l stess molteplicità lgebric e geometric. Dto un endomorfismo f : V V essso si dice digonlizzbile se è possibile trovre un bse B di V rispetto ll qule l mtrice qudrt ssocit d f è un mtrice digonle. Un mtrice qudrt A di ordine n è non singolre (o regolre) se r(a) = n, cioè se A h rngo mssimo, cioè ncor se det(a) ; in cso contrrio A si dice singolre. 9

10 Sussiste l seguente: Condizione necessri e sufficiente ffinché un endomorfismo f : V V si digonlizzbile è che esiste un bse B di V costituit d utovettori. Dimostrzione Se f : V V è digonlizzbile e A = n è l mtrice ssocit d f rispetto d un bse B = {u, u,, u n,} di V, si h: f(u ) = u, f(u ) = u,, f(u n ) = n u n cioè i vettori u, u,, u n sono gli utovettori ssociti gli utovlori,,, n. Vicevers, se B = {u, u,, u n,} è un bse di utovettori di V reltiv gli utovlori,,, n rispettivmente, llor si h f(u ) = u, f(u ) = u,, f(u n ) = n u n Quindi l mtrice ssocit d f rispetto B è proprio l mtrice digonle A. Se f è digonlizzbile llor l mtrice d ess ssocit rispetto d un bse di utovettori è un mtrice digonle l cui digonle principle è costituit dgli utovlori corrispondenti, rispettivmente, gli utovettori dell bse. Si dimostr che Se f è un endomorfismo di V in sé digonlizzbile, llor il suo polinomio crtteristico h solo rdici reli. Vle inoltre l seguente: Condizione necessri e sufficiente perché un endomorfismo f di V in sé si digonlizzbile è che. il polinomio crtteristico bbi solo rdici reli. per ogni utovlore di f risulti m () = m g (). L digonlizzbilità può essere definit nche in termini di mtrici. Un mtrice qudrt A si dice digonlizzbile se e solo se è simile d un mtrice digonle, cioè se esistono un mtrice non singolre S ed un mtrice digonle D tli che: D = S A S -

11 Si dimostr il seguente teorem: Un mtrice A è digonlizzbile se e solo se mmette n utovettori linermente indipendenti. Esempi 4. L mtrice dell esempio. è digonlizzbile. Inftti possiede tre utovettori linermente indipendenti che formno l mtrice 3 S = ponendo risult A = S D S -. D = Non tutte le mtrici sono digonlizzbili: l mtrice dell esempio 3. non lo è, non possedendo due utovettori linermente indipendenti.. Si dto l endomorfismo f : R 3 R 3 tle che: f(x, y, z) = (x y +z, y, -z) (x, y, z) R 3. ) Trovre gli utovlori e gli utovettori di f b) Stbilire se f è digonlizzbile. Soluzione ) L mtrice ssocit d f rispetto ll bse B = {u, u, u 3,} di R 3 è: A = Il det(a) = - e quindi r(a) = 3. Gli utovlori di f sono le soluzioni reli dell equzione crtteristic det(a - I) = ovvero = d cui ( - ) ( - ) ( - - ) = Essi sono =, =, 3 = -.

12 Gli utovettori corrispondenti ll utovlore = sono le soluzioni del sistem ottenuto dll (A - I) X = in cui si è posto = : -y +z = y = -z = Quindi si ottengono le infinite soluzioni k k R -{}; pertnto gli utovettori ssociti ll utovlore = sono x = k Anlogmente per = si ottiene il sistem -x y +z = = -3z = d cui si ottengono gli utovettori x = h h R - {}. Infine per 3 = - si h il sistem x y +z = 3y = = dl qule si ottengono gli utovettori x = t t R - {}. b) L endomorfismo f è digonlizzbile poiché mmette tre utovettori reli e distinti. Pertnto esiste un bse di utovettori di f rispetto ll qule l mtrice che rppresent f è un mtrice digonle.