Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA

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1 Slvtore Loris Pelell Corso di Mtemtic RCS LIBRI EDUCATION SPA

2 ISBN RCS Libri S.p.A.- Milno Prim edizione: gennio 004 Ristmpe Stmp: V. Bon, Torino Coordinmento editorile Redzione e impginzione Progetto grfico Copertin Isbell Rndone Nuov Immgine, Grvellon Toce (VB) Nuov Immgine, Grvellon Toce (VB) Michele Bsile, Wlter Pnett Editori & Comuniczione, Milno I diritti di trduzione e riproduzione, totli o przili nche d uso interno e didttico con qulsisi mezzo, sono riservti per tutti i pesi. Fotocopie per uso personle del lettore possono essere effettute nei limiti del 5% di ciscun volume dietro pgmento ll SIAE del compenso previsto dll rt. 68, comm 4, dell legge prile 94 n. 633 ovvero dell ccordo stipulto tr SIAE, AIE, SNS e CNA, CONFARTIGIANATO, CASA, CLAAI, CONFCOMMERCIO, CONFESERCENTI il 8 dicembre 000. Le riproduzioni per uso differente d quello personle potrnno vvenire, per un numero di pgine non superiore l 5% del presente volume, solo seguito di specific utorizzzione rilscit d AIDRO, vi delle Erbe n., 0 Milno, telef , e-mil idro@iol.it L relizzzione di un libro present spetti complessi e richiede prticolre ttenzione nei controlli: per questo è molto difficile evitre completmente errori e imprecisioni. L editore ringrzi sin d or chi vorrà segnlrli lle redzioni. Per segnlzioni o suggerimenti reltivi l presente volume scrivere : Direzione Editorile RCS Libri S.p.A.- Divisione Eduction - Vi Mecente, n Milno f L editore è presente su Internet ll indirizzo: Indiczioni ed ggiornmenti reltivi l presente volume srnno disponibili sul sito. Per qulsisi comuniczione ll editore trmite post elettronic scrivere infoline@rcs.it L editore è disposizione degli venti diritto con i quli non gli è stto possibile comunicre per eventuli involontrie omissioni o inesttezze nell citzione delle fonti dei brni o delle illustrzioni riprodotte nel volume. L editore si scus per i possibili errori di ttribuzione e dichir l propri disponibilità regolrizzre. Le immgini utilizzte in questo libro non vnno interprette come un scelt di merito d prte dell editore, né come invito ll cquisto di prodotti. Le illustrzioni o riproduzioni sono stte riportte scopo esclusivmente didttico.

3 Modulo Algebr linere Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte. Frzioni lgebriche. Dominio 3. Frzioni equivlenti 4.3 Semplificzione di frzioni lgebriche 6.4 Riduzione di frzioni lgebriche llo stesso denomintore 9.5 Operzioni con le frzioni lgebriche Addizione, Moltipliczione, Potenze, 4 Inverso di un frzione lgebric, 5 Divisione, 6 Frzioni termini frzionri, 7.6 Equzioni rzionli frtte 8 USIAMO DERIVE 0 Ricpitolimo ESERCIZI 330 Dominio, 330 Frzioni equivlenti, 334 Semplificzione di frzioni lgebriche, 336 Riduzione llo stesso denomintore, 337 Addizione di frzioni lgebriche, 338 Moltipliczione di frzioni lgebriche, 34 Potenze, 344 Divisione di frzioni lgebriche, 344 Equzioni rzionli frtte, 348 Soluzioni 350 Unità Equzioni di primo grdo in due o più incognite. Sistemi lineri 3. Le equzioni in due incognite 4 Il dominio di un equzione in due incognite, 5 Le soluzioni di un equzione in due incognite, 5 Form implicit, esplicit, normle, 7. I sistemi lineri 8 Gli elementi di un sistem, 30 Sistemi equivlenti. Clssificzione dei sistemi, 3.3 Risoluzione di un sistem linere 33 Metodo del confronto, 33 Metodo di sostituzione, 35 Metodo di ddizione e sottrzione o di riduzione, 37 Metodo di Crmer, 39.4 Risoluzione di un sistem di tre equzioni in tre incognite 43.5 Riconoscere un sistem non determinto 45 USIAMO DERIVE 47 Ricpitolimo 49 ESERCIZI 356 Equzioni in due incognite, 356 Equzioni equivlenti, 358 Form implicit, normle, esplicit, 359 Sistemi lineri, 360 Sistemi equivlenti, 36 Risoluzione di un sistem linere, 36 Problemi, 37 Problemi di geometri, 37 Soluzioni 375 Unità 3 Disequzioni e sistemi di disequzioni lineri Richimi sulle disuguglinze 5 3. Le disequzioni 5 Dominio di un disequzione, 53 Clssificzione delle disequzioni, 55 Strumenti per l risoluzione delle disequzioni, 55 Form normle. Grdi di un disequzione, Gli intervlli in 57 Gli intervlli sull rett, Risoluzione delle disequzioni lineri (o di primo grdo) 6 Rppresentzione grfic dell insieme soluzione, Sistemi di disequzioni lineri Disequzioni di grdo superiore l primo e disequzioni frtte 67 USIAMO DERIVE 69 Ricpitolimo 70 ESERCIZI 379 Le disequzioni e le loro soluzioni, 379 Intervlli, 38 Risoluzione delle disequzioni, 383 Sistemi di disequzioni lineri, 387 Disequzioni di grdo superiore l primo, 390 Disequzioni frtte, 39 Soluzioni 394 Indice III

4 Modulo I numeri reli Unità Numeri reli e loro rppresentzione grfic 7. L lgoritmo 73. I numeri irrzionli e i numeri reli 73 L uguglinz (m/n),74.3 Clssi seprte e contigue 76 L elemento seprtore, 77.4 I numeri reli come elementi seprtori 78.5 I numeri reli e l rett 79 Ascisse sull rett, 79.6 L errore e l pprossimzione 8 Perché l pprossimzione?, 8 Il grdo dell pprossimzione, 8.7 L rppresentzione crtesin dei numeri decimli illimitti 83 USIAMO DERIVE 85 Ricpitolimo 86 ESERCIZI 398 I numeri reli, 398 Sistem di riferimento sull rett, 398 Soluzioni 40 Unità Il pino crtesino e l rett 87. Coordinte crtesine nel pino 88. Distnz di due punti nel pino 90.3 Punto medio di un segmento 9.4 Equzione dell rett pssnte per due punti 9.5 Equzione dell rett in form esplicit 93 Il significto di m, 94 L condizione di prllelismo, 95 Equzione del fscio di rette proprio, 96 Il significto di q. Rett per l origine, 97.6 Equzione dell rett in form implicit o normle 98 Csi prticolri, 98 Condizione di prllelismo, 99.7 Rette perpendicolri 00.8 Intersezione fr rette: significto geometrico di un sistem di equzioni lineri 0.9 Il grfico di un funzione 05.0 Risoluzione grfic delle disequzioni 07 Risoluzione grfic delle disequzioni lineri, 09 USIAMO DERIVE Ricpitolimo 5 ESERCIZI 403 Coordinte crtesine nel pino, 403 Distnz e punto medio fr due punti, 404 Rett per due punti e coefficiente ngolre, 406 Equzione dell rett, 409 Rette prllele, 409 Rette perpendicolri. Asse di un segmento, 4 Intersezione fr rette, 44 Il grfico di un funzione, 45 Soluzioni 47 Unità 3 I rdicli 7 3. Richimi sulle potenze 8 3. L rdice qudrt L rdice n-sim 0 Le proprietà fondmentli dei rdicli, 3.4 Rdicli lgebrici 3.5 L rdice come potenz esponente rzionle 3 I rdicli, l clcoltrice e il computer, 3 Clcolo di m/n, Proprietà invrintiv dei rdicli Semplificzione di rdicli Riduzione di più rdicli llo stesso indice Operzioni con i rdicli 3 Moltipliczione e divisione fr rdicli con lo stesso indice, 3 Moltipliczione e divisione fr rdicli che non hnno lo stesso indice, 33 Addizione lgebric, Trsporto di un fttore fuori dl segno di rdice Trsporto di un fttore sotto il segno di rdice Rdice di un rdicle Rdicli qudrtici doppi Rzionlizzzione del denomintore di un frzione 43 Il denomintore è un solo rdicle, 43 Il denomintore è dell form æ + b æ, 47 Ricpitolimo 48 ESERCIZI 4 L rdice qudrt, 4 Approssimzione e rppresentzione crtesin di un rdice qudrt, 44 L rdice n-sim, 44 I rdicli come potenz esponente rzionle. Proprietà invrintiv dei rdicli, 45 Semplificzione di un rdicle e riduzione di rdicli llo stesso indice, 47 Moltipliczione fr rdicli, 430 L divisione, 43 L ddizione, 433 Trsporto di un fttore fuori e sotto il segno di rdice, 435 Rdici di rdici e rdicli doppi, 437 Rzionlizzzione del denomintore di un frzione, 438 Soluzioni 444 RCS LIBRI EDUCATION SPA IV Indice

5 Modulo 3 Il trinomio di secondo grdo Unità Equzioni e disequzioni di secondo grdo 50. L equzione di secondo grdo 5 Clssificzione delle equzioni di secondo grdo rispetto i coefficienti, 5. Risoluzione di un equzione di secondo grdo complet 5 L espressione b - 4c. Formul risolutiv, 55 - Osservzioni sul discriminnte D, 56 - Formul risolutiv ridott, 58 - Relzioni fr i coefficienti dell equzione e il segno delle rdici, 58.3 Equzioni incomplete 60.4 Relzione fr i coefficienti e le rdici di un equzione di secondo grdo 63.5 Scomposizione in fttori del trinomio + b + c 65.6 Equzioni coefficienti letterli 68.7 Segno del trinomio di secondo grdo 70 Studio del segno del trinomio di secondo grdo, 7.8 Disequzioni di secondo grdo 76 USIAMO DERIVE 79 Ricpitolimo 8 ESERCIZI 45 I coefficienti del trinomio di secondo grdo e il D, 45 Risoluzione di equzioni di secondo grdo, 453 Relzione fr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni, 458 Scomposizione in fttori del trinomio di secondo grdo, 459 Equzioni frtte, 46 Segno del trinomio, 46 Disequzioni di secondo grdo, 465 Soluzioni 474 Unità Il trinomio di secondo grdo e l prbol 8. L prbol 83 Crtteristiche dell prbol, 84 Le coordinte del vertice, 85. Intersezione dell prbol con l sse : l equzione + b + c Posizione dell prbol rispetto ll sse. Studio del segno del trinomio 89.4 Risoluzione grfic di disequzioni di secondo grdo 9.5 Risoluzione grfic di sistemi di disequzioni di grdo superiore l primo 9 USIAMO DERIVE 95 Ricpitolimo 96 ESERCIZI 48 L prbol e i suoi elementi, 48 L posizione dell prbol rispetto gli ssi coordinti, 483 L prbol e le disequzioni di secondo grdo, 487 Sistemi di disequzioni, 490 Soluzioni 494 Modulo 4 Complementi di lgebr Unità Equzioni di grdo superiore l secondo. Equzioni irrzionli 98. Le equzioni di grdo superiore l secondo 99 Scomposizione in fttori, 99. Equzioni biqudrtiche 0.3 Equzioni reciproche 03 Risoluzione delle equzioni reciproche di prim specie, 06 Risoluzione delle equzioni reciproche di second specie, 07.4 Equzioni rzionli frtte 09.5 Equzioni irrzionli USIAMO DERIVE 6 Ricpitolimo 7 ESERCIZI 496 Risoluzione di equzioni medinte l scomposizione in fttori, 496 Equzioni biqudrtiche, 499 Equzioni reciproche, 499 Equzioni rzionli frtte, 50 Equzioni irrzionli, 50 Soluzioni 504 Unità Sistemi di grdo superiore l primo 8. Gli elementi di un sistem di equzioni 9. Risoluzione di sistemi di grdo superiore l primo 0 Sistemi di secondo grdo in due incognite, 0 Sistemi di secondo grdo in tre incognite, Un cso prticolre, 3.3 Sistemi simmetrici 5 Ï+ y s Il sistem, 6 I sistemi Óy p Ïy p Ï+ y s e, 9 Ó + y q Ó + y q Ï+ y s Il sistem, Ó + y c USIAMO DERIVE USIAMO DERIVE 3 Ricpitolimo 3 Indice V

6 ESERCIZI 507 Sistemi di grdo superiore l primo, 507 Sistemi di secondo grdo in tre incognite, 508 Sistemi simmetrici, 508 Soluzioni 53 Modulo 5 Geometri Unità I qudrilteri 34. I qudrilteri 35. I trpezi 35.3 I prllelogrmmi 38 Prllelogrmmi prticolri, 4 Ricpitolimo 46 ESERCIZI 55 Trpezio e prllelogrmmo, 55 Soluzioni 58 Unità Similitudine ed equiestensione 47. L similitudine 48 L similitudine come relzione di equivlenz, 50. Criteri di similitudine per i tringoli. Teoremi di Euclide 50.3 Superficie delle figure pine. Equiestensione 53 Teoremi sull estensione dei prllelogrmmi,54 Teoremi sull estensione dei tringoli, 55 I teoremi di Euclide e il teorem di Pitgor, 57 Ricpitolimo 60 ESERCIZI 59 Problemi risolvibili con equzioni, 5 Soluzioni 54 Unità 3 L circonferenz 6 3. Circonferenz e cerchio 6 3. Definizioni reltive ll circonferenz Alcuni teoremi sulle corde Circonferenz per tre punti Posizioni reciproche tr rett e circonferenz Posizioni reciproche di due circonferenze Angoli ll circonferenz Poligoni inscritti e circoscritti un circonferenz 73 Ricpitolimo 76 ESERCIZI 55 Soluzioni 58 Modulo 6 Sttistic e probbilità Unità Elementi di sttistic 78. Qule voto proporre l consiglio di clsse? 79. L sttistic 80.3 Le fsi dell indgine sttistic 8 Rccolt dei dti, 8 Spoglio e trscrizione dei dti: rilevzioni semplici e ponderte, 8 I grfici, 84 Elborzione dei dti, 86 USIAMO EXCEL 95 Ricpitolimo 97 ESERCIZI 59 L medi semplice. I grfici, 59 Rilevzioni ponderte. Medi pondert, mod e medin, 530 Lo scrto dell medi, 53 Scrto qudrtico medio, 533 Soluzioni 536 Unità Cenni di probbilità 98. L evento 99 Eventi certi, possibili, impossibili, 300 Eventi e insiemi, 30. Relzioni fr eventi 30.3 Eventi composti 304 L intersezione o prodotto logico, 304 Il quoziente, 306 L unione o somm logic, L probbilità L probbilità e l percentule 30.6 L probbilità degli eventi composti 3 L probbilità contrri, 33 L probbilità dell evento intersezione, 34 L probbilità dell evento unione, 39.7 Eventi singoli ed eventi ripetibili. L frequenz 3.8 Probbilità e frequenz 33.9 L probbilità soggettiv 35 Ricpitolimo 37 ESERCIZI 537 Gli eventi, 537 Gli eventi e gli insiemi, 537 Evento contrrio. Eventi comptibili e incomptibili, 538 Operzioni sugli eventi: l intersezione e l unione, 540 L probbilità e l percentule, 54 Teoremi sull probbilità, 544 Soluzioni 549 SCHEDE DI AUTOVERIFICA 55 Soluzioni 570 VI Indice

7 Algebr linere MODULO Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte Frzioni lgebriche. Dominio Frzioni equivlenti. 3 Semplificzione di frzioni lgebriche 4 Riduzione di frzioni lgebriche llo stesso denomintore 5 Operzioni con le frzioni lgebriche 6 Equzioni rzionli frtte Unità Equzioni di primo grdo in due o più incognite. Sistemi lineri Le equzioni in due incognite I sistemi di equzioni lineri 3 Risoluzione di un sistem linere 4 Risoluzione di un sistem di tre equzioni in tre incognite 5 Riconoscere un sistem non determinto Unità 3 Disequzioni e sistemi di disequzioni lineri RCS LIBRI EDUCATION SPA Richimi sulle disuguglinze Le disequzioni 3 Intervlli 4 Risoluzione delle disequzioni lineri (o di primo grdo) 5 Sistemi di disequzioni lineri 6 Disequzioni di grdo superiore l primo e disequzioni frtte Operre con le frzioni lgebriche Risolvere equzioni frtte Risolvere disequzioni e sistemi di disequzioni Risolvere sistemi di equzioni lineri

8 Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte Operzioni con i polinomi Scomposizione in fttori Risoluzione di equzioni di I grdo Acquisire il concetto di frzione lgebric Determinre il dominio di un frzione lgebric Operre con le frzioni lgebriche Risolvere le equzioni rzionli frtte Dominio di un frzione lgebric Frzioni equivlenti Operzioni con le frzioni lgebriche Equzioni rzionli frtte

9 . Frzioni lgebriche. Dominio Abbimo definito frzione numeric il rpporto fr due numeri interi con b b π 0. Sfruttndo tle definizione dimo or quell di frzione lgebric: Si definisce frzione lgebric il rpporto A B fr due espressioni A e B, dove B è un polinomio diverso dl polinomio nullo. L espressione A (dividendo) prende il nome di numertore; il polinomio B (divisore) prende il nome di denomintore; A e B prendono il nome di termini dell frzione. Se bbimo un frzione lgebric A B, qundo dimo un vlore ciscun delle vribili che compiono in A e in B, l frzione lgebric si trsform in un frzione numeric; quest trsformzione giustific il ftto che definizioni, proprietà e operzioni reltive lle frzioni sono molto simili ( volte perfino identiche) quelle già dte per le frzioni numeriche. Inoltre, poiché il denomintore di un frzione deve essere sempre diverso d 0, possimo dire che è sempre possibile clcolre il vlore dell frzione lgebric A, trnne per quei vlori delle vribili per i quli si nnull il polinomio B. B Per le frzioni lgebriche è fondmentle, llor, l seguente definizione. Si definisce cmpo di esistenz o dominio o insieme di definizione di un frzione lgebric l insieme dei vlori che possimo ttribuire lle vribili. Il dominio coincide con l insieme dei numeri rzionli esclusi i vlori delle vribili che nnullno il denomintore. Qundo bbimo un frzione lgebric è quindi necessrio, innnzitutto, stbilirne il dominio, imponendo che le vribili non ssumno vlori per cui il denomintore risulti ugule 0. Un frzione lgebric può essere: coefficienti numerici, qundo i suoi termini non presentno ltre lettere l di fuori delle vribili; coefficienti letterli, qundo sono presenti, oltre lle vribili, ltre lettere il cui vlore è costnte. In questo cso bisogn discutere i vlori che le costnti presenti nell frzione possono ssumere. Esempio Esempio Determinimo il dominio dell frzione lgebric f ( ) -. Bisogn escludere dll insieme i vlori che nnullno il denomintore, cioè i vlori per cui risult - 0: bisogn escludere il vlore. Il dominio è, llor, - {}. Determinimo il dominio dell frzione lgebric Bisogn escludere dll insieme i vlori che nnullno il denomintore, cioè i vlori per cui risult Scomponendo in fttori bbimo: ( - )( - ) f Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte 3

10 Risolvendo, così, quest equzione di II grdo trovimo che le sue rdici sono e. Il dominio è, dunque, - {, }. Esempio Determinimo il dominio dell frzione lgebric f ( ). 4 + L equzione non mmette soluzioni perché il polinomio 4 +, essendo l somm di due numeri non negtivi (4 è un qudrto e, quindi, non è mi negtivo qulunque vlore dimo ll ), è sempre positivo e non si nnull mi. Il dominio dell frzione è. Esempio 4 Esempio 5 Esercizio 4 + y Determinimo il dominio dell frzione lgebric f (, y). -y Attenzione: vendo indicto l frzione con f (, y ), si l che l y sono stte dichirte vribili. Bisogn clcolre, dunque, il dominio sulle coppie (, y). Non potendo essere - y 0, vuol dire che deve essere π y e π-y. Quindi il dominio è {(, y) Œ con π y e π-y}. RCS LIBRI EDUCATION SPA Determinimo il dominio dell frzione lgebric f ( ). Attenzione: vendo indicto l frzione con f ( ), solo l letter è stt dichirt vribile. L letter è, quindi, un coefficiente letterle il cui vlore è costnte. Dovendo essere π 0 bisogn imporre innnzitutto che non si 0: in tl cso il denomintore dell frzione risulterebbe nullo per ogni vlore dto ll e, quindi, l frzione non vrebbe mi significto. Un volt post quest condizione sui coefficienti letterli, deve essere π 0. Il dominio è, così, - {0}. Trov il dominio delle seguenti frzioni lgebriche. - 5 y () b (y) d () + b 3 + y - 3y + - b Scrivi cinque frzioni lgebriche i cui domini sino i seguenti. - {- 3} - {5} 3 - {-, } 4 - {4}. Frzioni equivlenti Considerimo le frzioni lgebriche f Il dominio dell prim frzione è - {-, } e g. + - Il dominio dell second frzione è - {-, }. Per qulunque vlore di diverso d -, e è possibile, llor, clcolre entrmbe le frzioni e si vede che risult sempre f () g (). Vedimo lcuni esempi: 4 MOD Algebr linere

11 f () g () f ( 0) g ( 0) f g ( 4) g (- ) (- ) - 4 (- ) f (- ) (- ) - 5 (- ) (- ) - Come si può notre, qulunque vlore ssegnimo ll vribile, le frzioni f () eg () diventno frzioni numeriche equivlenti. L esempio ftto ci port dre per le frzioni lgebriche, così come per quelle numeriche, un definizione di fondmentle importnz. Due frzioni lgebriche A B e C D si dicono equivlenti, e si scrive: A C B D se ssumono ugule vlore qulunque sino i numeri che sostituimo lle vribili (esclusi quelli che nnullno lmeno uno dei due denomintori). Un importnte proprietà delle frzioni numeriche che vle nche per le frzioni lgebriche è l proprietà invrintiv. Proprietà invrintiv Dt un frzione lgebric A B, dividendo o moltiplicndo numertore e denomintore per un stess espressione lgebric o numeric E si ottiene un frzione lgebric equivlente quell dt. L espressione E non si deve nnullre nell insieme in cui è definit l frzione A B. Esempio Si dt l frzione f ( ) Poiché deve essere - π 0, il dominio dell frzione è - {} In bse ll proprietà invrintiv, possimo moltiplicre numertore e denomintore per il polinomio +. Tle polinomio, inftti, non si nnull nel dominio dell frzione f ( ). ( + 5) ( + ) Ottenimo, così, l frzione g ( ). ( -)( + ) Anche l frzione g ( ) h come dominio. Possimo vedere che, qulunque vlore dimo ll, le due frzioni ssumono lo stesso vlore e, quindi, sono fr loro equivlenti; per esempio sostituendo 3 bbimo: Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte 5

12 f llo stesso modo risult: f (0) -5 g (0) -5 f (- ) -; g (- ) - f (7) ; g (7) zione è - {-, }. 3 ( -) L frzione dt può essere scritt nche come f. In bse ll proprietà invrintiv possimo, llor, dividere i termini dell frzione per -, purché si ( -)( + ) 3 π. Ottenimo, così, g : tle frzione ssumerà gli stessi vlori di f ( ) per + ogni vlore dto ll distinto d. Inftti, se nelle due frzioni ll si ttribuisce il vlore, si h f () mentre g () per cui non risult f () g () Esempio Si dt l frzione f. Poiché deve essere - π 0, il dominio dell fr- Come si riconoscono due frzioni equivlenti? g Regol Due frzioni lgebriche A e C sono equivlenti se, qulunque vlore dimo lle vribili presenti nei polinomi, risult: B D A D B C Esempio 3 Verifichimo se le frzioni f e g sono equivlenti. Il dominio di f ( ) è - {-, }, mentre il dominio di g ( ) è - {-, 3}. Dobbimo verificre che si: ( ) ( - - 6) ( ) ( - 4) Svolgendo i due prodotti, ottenimo: I due polinomi sono identici e, pertnto, ssumernno sempre lo stesso vlore, qulunque si il vlore dto ll vribile: le due frzioni sono dunque equivlenti Esercizio.3 Verific se le seguenti coppie di frzioni f e g sono equivlenti e indic i vlori dell vribile (o delle vribili) d escludere. f () ; g () ; f () 3 - ; g () Semplificzione di frzioni lgebriche Un delle operzioni che possimo svolgere su un frzione numeric è l semplificzione. L stess operzione, in modo nlogo, si può svolgere nche con le frzioni lgebriche. L definizione di semplificzione di un frzione lgebric è nlog quell che bbimo dto per le frzioni numeriche. 6 MOD Algebr linere

13 Semplificre un frzione signific trovre, se è possibile, un frzione d ess equivlente dove numertore e denomintore sono primi fr loro. Esempio Esempio I pssggi per eseguire tle operzione sono i seguenti:. si determin il dominio dell frzione;. si scompongono il numertore e il denomintore in fttori; 3. si cercno i fttori che essi hnno in comune; 4. si dividono entrmbi i termini dell frzione per quei fttori che, eventulmente, hnno in comune, imponendo che tli fttori ssumno vlori diversi d 0. Per l proprietà invrintiv, l frzione che così ottenimo è equivlente quell dt per tutti i vlori dti lle vribili, trnne per quelli che nnullno i fttori comuni. Ricordimo nche che, se il numertore e il denomintore non hnno fttori comuni (e, quindi, sono primi fr loro), non è possibile semplificre l frzione. In questo cso l frzione stess si dice irriducibile o ridott i minimi termini. RCS LIBRI EDUCATION SPA 4 Si dt l frzione 8. Sppimo che e 8 3 ; il numertore e il denomintore hnno in comune, llor, il fttore 3 6. Dividendo entrmbi per 6 ottenimo. L fr- 4 : 6 4 zione 4 8 : 6 3 è equivlente quell dt. Poichè 4 e 3 sono primi fr loro, l frzione è ridott 3 i minimi termini. Semplifichimo l frzione lgebric f Dominio: non può essere - 4 0; essendo - 4 ( + )( - ) non può essere + 0 o - 0. Quindi - {-, }.. Scomponimo in fttori numertore e denomintore: ( + ) - 4 ( - )( + ) 3. Numertore e denomintore hnno in comune il fttore +. Imponendo che si + π 0 (e, quindi, π -), dividendo numertore e denomintore per +, bbimo: 3( + ) ( + ) 3-4 ( - ) ( + ) ( + ) ( - ) ( + ) - ( + ) 3 Quindi, per ogni π -, l frzione dt è equivlente ll frzione g. - Esempio 3 Semplifichimo l frzione f Dominio: non può essere ; essendo ( + 4) non può essere 0 o Poiché + 4 è sempre diverso d 0, deve essere solo π 0. Quindi - {0}. Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte 7

14 . Scomponimo in fttori numertore e denomintore: 4-6 ( - 4)( + 4) ( - )( + )( + 4) ( + 4) 3. Numertore e denomintore hnno in comune il fttore + 4. Possimo dividere numertore e denomintore per tle fttore perché, come bbimo detto l punto, esso è sempre diverso d 0: ( + 4) L frzione dt è, dunque, equivlente ll frzione Œ - {0}. ( - ) ( + ) per ogni NOTA BENE Generlmente, qundo si svolge l semplificzione di un frzione, si evit di dividere numertore e denomintore per gli eventuli fttori comuni, m si cncellno direttmente i fttori che numertore e denomintore hnno in comune. Attento, però, quest bitudine può essere spesso cus di equivoci ed errori. g ( - ) + Esercizio Verific l correttezz delle seguenti semplificzioni; qundo lo sono, stbilisci le condizioni ffinché le semplificzioni sino possibili y - y f () g (, y) + y Abbimo concluso l esempio con l frse: Per ogni π- l frzione 3 dt è equivlente ll frzione g (). L sottolinetur per ogni - π- non è né bnle né superflu. Provimo, inftti, sostituire il vlore - ll vribile nelle due frzioni: f (- ) ; g (- ) -. (- ) - 4 Come si vede, per - le due frzioni non ssumono lo stesso vlore, in qunto l frzione f () risult essere indetermint mentre l frzione g () ssume il vlore (- ) L errore consiste nell ver semplificto il termine 3 4 del numertore con il termine del denomintore e il termine del numertore con il termine 5 del denomintore. Il pssggio non è corretto perché si possono semplificre fr loro solo fttori che compongono il numertore con fttori che compongono il denomintore. In questo cso, invece, 3 4 e, e 5 sono ddendi e non fttori. 8 MOD Algebr linere

15 Per semplificre l frzione scomponimo in fttori il numertore e il denomintore mettendo in evidenz l : (3 3 + ) + 5 ( + 5) Adesso possimo semplificre l che compre l numertore con quell che compre l denomintore (desso sono fttori e non più ddendi): 3 () 4 + () () + 5 () () (3 3 + ) ( + 5) Se voglimo effetture un verific numeric, fissimo un qulunque vlore per l, per esempio, e sostituimolo nelle tre frzioni 4 + 3, e 3 +. Ottenimo, rispettivmente: () + Come si vede, l second frzione, quell clcolt in modo sbglito perché sono stti semplificti ddendi e non fttori, non ssume lo stesso vlore dell prim; l terz frzione, clcolt correttmente, ssume invece lo stesso vlore dell prim Riduzione di frzioni lgebriche llo stesso denomintore Sppimo che, dte più frzioni numeriche con diverso denomintore, è possibile trovre ltre frzioni d esse equivlenti che hnno tutte lo stesso denomintore. Tle operzione, che prende il nome di riduzione llo stesso denomintore, è possibile nche con le frzioni lgebriche. I pssggi necessri per quest operzione sono gli stessi di quelli per le frzioni numeriche:. si scompongono in fttori i denomintori delle frzioni; volte conviene scomporre in fttori nche i numertori per semplificre, eventulmente, le frzioni;. si trov il m.c.m. fr i denomintori (si indic con m.c.d.: minimo comune denomintore), moltiplicndo i fttori comuni e non comuni, presi un sol volt con il mssimo esponente (tr i fttori, stvolt, ci sono nche monomi e polinomi); 3. in ciscun frzione si divide il m.c.d. per il denomintore e il quoziente così ottenuto si moltiplic per il numertore dell stess frzione. Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte 9

16 Esempio Riducimo llo stesso denomintore le frzioni 3 3b,, y 0y y. In questo cso, essendo tutti monomi, bisogn scomporre in fttori solo i coefficienti numerici: 4, 0 5, 3.. Il m.c.m. fr i denomintori (m.c.d.) è 60 4 y Dividimo 60 4 y 3 per il denomintore di ogni frzione e moltiplichimo il quoziente ottenuto per il numertore; bbimo così: ( 60y ): ( 4y ) 5 ( 5 )( 3 ) y 60y 4 3 Esempio b ( 60 y ): ( 0 y ) 3y ( 3y )( 3b ) 9b y 3 0y y : y 5y 5y 5 y RCS LIBRI EDUCATION SPA Le tre frzioni ottenute sono quindi equivlenti quelle dte e hnno tutte lo stesso denomintore. Riducimo llo stesso denomintore le frzioni. Scomponimo in fttori i tre denomintori; bbimo: - ( - )( + ) + + ( + ) + ( + ) Le frzioni diventno: ( -)( + ) ( + ). Risult, llor, m.c.d. ( - )( + ). 3. Dividimo ( - )( + ) per il denomintore di ogni frzione e moltiplichimo il quoziente ottenuto per il numertore, bbimo, così: + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ,, ( )( + ) + 5 ( + ) y ( ) ( 3 + 4) ( ) ( + ) 5 ( + ) ( + ) ( + ) + 6 ( + ) + 6 9b y 60y 4 3 5y 60y 4 3 Le tre frzioni equivlenti quelle dte e venti tutte lo stesso denomintore sono, dunque: ( + ) ( + ) - ( + ) - ( + )( + ) ( -)( + ) Verific come sono cmbiti i domini delle tre frzioni di prtenz. 0 MOD Algebr linere

17 Esercizio Verific che le frzioni g 3 5 ( + )( + ) g sono l riduzione llo stesso denomintore delle frzioni: f( ) f f ( + )( + ) g ( + )( + ).5 Regol Esempio Operzioni con le frzioni lgebriche Addizione Come nel cso delle frzioni numeriche, due o più frzioni lgebriche si possono ddizionre solo se hnno lo stesso denomintore. L somm di due o più frzioni lgebriche con lo stesso denomintore è un frzione che h: per denomintore lo stesso denomintore delle frzioni ddendi; per numertore l somm dei numertori delle singole frzioni Clcolimo l somm Le frzioni hnno tutte lo stesso denomintore e, perciò, risult: + ( - ) - ( - ) Regol Per ddizionre frzioni che non hnno lo stesso denomintore: si riducono le frzioni dte llo stesso denomintore; si ddizionno le frzioni così ottenute secondo l regol dt prim. Esempio Svolgimo l seguente ddizione: y 5y Riducendo le frzioni llo stesso denomintore (m.c.d. 30 y ) bbimo: y 5y 48 50y + 5y y 5y 30y 30y 30y 30y Esempio 3 Svolgimo l seguente ddizione: Scomponimo i denomintori in fttori: ( + ) + ( - )( - ) - + ( - ) Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte

18 Riducendo le frzioni llo stesso denomintore si h m.c.d. ( - ) ( + ) ( - ) e, ddizionndo le frzioni così ottenute: ( 4-3) ( -) ( - ) ( + ) ( -) + ( + ) ( - ) ( + ) ( -) - ( + )( - ) ( - ) ( + ) ( -) ( + )( - ) ( + )( - ) (+)( ) L errore commesso è sicurmente tr i più frequenti. Scoprimo dov è. Svolgimo l espressione fcendo tutti i pssggi: ( + ) - 5 ( - ) ( + )( - ) ( + )( - ) Come si vede, nell ultim frzione dvnti l termine 5 non c è il segno negtivo m quello positivo. Questo ccde perché svolgendo il prodotto - 5 ( - ) pplichimo l proprietà distributiv e il fttore - 5 v moltiplicto per ciscuno dei termini dentro prentesi, che quindi cmbino tutti di segno. Perciò sti prticolrmente ttento: qundo svolgi un espressione e dvnti un frzione lgebric compre il segno negtivo, ricord di cmbire i segni di tutti i termini che vengono clcolti l numertore e non solo il segno del primo termine. Regol Moltipliczione Il prodotto di due o più frzioni lgebriche si clcol llo stesso modo del prodotto tr frzioni numeriche. Il prodotto di due o più frzioni lgebriche è un frzione che h: per numertore il prodotto dei numertori; per denomintore il prodotto dei denomintori: A C A C B D B D Nell moltipliczione conviene seguire i seguenti pssggi:. scomporre in fttori i numertori e i denomintori di tutte le frzioni;. semplificre, qundo è possibile, il prodotto; quest semplificzione vviene dividendo: i fttori del numertore di un frzione con i fttori del proprio denomintore; i fttori del numertore di un frzione con i fttori dei denomintori delle ltre frzioni (l cosiddett semplificzione in croce); 3. svolgere il prodotto fr i fttori rimsti: i fttori dei numertori fr loro e i fttori dei denomintori fr loro. MOD Algebr linere

19 Esempio Svolgimo l seguente moltipliczione: 4 t t t t t + t. Dominio: scomponimo in fttori i denomintori delle due frzioni: t - (t - )(t + ); t + t t (t + ) Domini: - {-, } e - {-, 0} Esempio. Scomponimo in fttori il numertore dell second frzione; ottenimo: nell prim frzione non possimo semplificre null; nell second frzione possimo semplificre (t + ) del numertore con (t + ) del denomintore t + ; rimne, così, t t ; ( t -)( t + ) + tt + t RCS LIBRI EDUCATION SPA infine possimo semplificre t 4 del numertore dell prim frzione con t del denomintore dell second e (t + ) del numertore dell second frzione con (t + ) del denomintore dell prim frzione: Queste semplificzioni, che per mggiore chirezz bbimo svolto in due momenti diversi, possono essere eseguite nche contempornemente (nzi, conviene svolgerle contempornemente). 3. Il prodotto fr le due frzioni è, llor: t il cui dominio è: - {}. t - Svolgimo l seguente moltipliczione: - b b + b. Scomponimo in fttori i termini di ogni frzione: ( + b) ( - b). Nell prim frzione possimo semplificre numertore e denomintore per ( + b): ( + ) - b b ( + b) 4 t t ( t -)( t + ) ( + ) tt ( + ) t t ( t -)( t + ) ( + ) t - + b - b Nell second frzione non possimo semplificre null. Infine possimo semplificre il numertore dell prim frzione ( - b) con il denomintore dell second ( - b) e il numertore dell second frzione ( + b) per il denomintore dell prim; rimne: ( - b) ( + b) ( + b) - b 3. Moltiplichimo i fttori rimsti; ottenimo: b + b + b + b - b + b - b t t - b + b ( + ) - b + b - b 4. Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte 3

20 4 5b 4 5b Questo è uno degli errori più bnli che si commettono: moltiplicre per il monomio si il numertore si il denomintore dell frzione. L errore può essere scoperto fcilmente in due modi: il primo è quello più semplice: dopo ver svolto il prodotto nel modo sopr indicto, bbimo l possibilità di semplificre numertore e denomintore per essendo un fttore comune, ottenendo: cioè 5b 5b 5b 5b Se così fosse, moltiplicre l frzione per significherebbe lscire inltert l frzione stess; per il secondo occorre ricordre che il prodotto di frzioni è un frzione in cui il numertore è dto dl prodotto dei numertori e il denomintore dl prodotto dei denomintori. Quello che tre in ingnno nel prodotto considerto è il ftto che non h un denomintore; bst però ricordre che qulunque espressione inter (monomio, polinomio, numero intero) può essere considert come un frzione che h l numertore l espressione stess e l denomintore. In questo cso possimo scrivere: 4 4 5b 5b che è lo svolgimento corretto. 4 5b 4 5b Potenze Sfruttndo l regol dell moltipliczione si rriv quell di potenz di frzioni lgebriche: Regol Dt un frzione lgebric A B e un numero nturle n si h: n Ê Aˆ Ë B A B n n () cioè l potenz di un frzione lgebric è dt dll potenz del numertore frtto l potenz del denomintore (llo stesso modo delle frzioni numeriche). Esempio Svolgimo l potenz Ê 3b Á Ë 4y 3 4 ˆ. Applicndo l () bbimo: Ê 3b Á Ë 4y ˆ ( 3b ) 4y 4 8 8b 56y MOD Algebr linere

21 Esempio Svolgimo l potenz Abbimo: Ê + 4bˆ Á. Ë b Ê + 4bˆ + 4b Á b Ë b b + 6b 4b Esempio 3 Ê + Svolgimo l potenz - - -ˆ Ë +. Riducimo innnzitutto le frzioni llo stesso denomintore: È ( + ) ( - )( + ) - ( -) Í ÎÍ ( -)( + ). Addizionimo le due frzioni: È ( - + ) Í ÎÍ ( -)( + ) 3. Addizionimo i termini simili l numertore: 4. Applicndo l () bbimo:. È Ê 4 ˆ Í ( -)( + ) Î Ë - ( 4 ) ( -) Inverso di un frzione lgebric Dt un frzione lgebric A B non null, si definisce invers (o reciproc) dell frzione dt, l frzione lgebric C per cui risult: D A C D B qulunque sino i vlori dti lle vribili. NOTA BENE Come nelle frzioni numeriche, l invers di un frzione lgebric si trov scmbindo fr loro il numertore e il denomintore. Esempio Determinimo l invers dell frzione f + 5 L invers dell frzione f ( ) è l frzione g. Vedimo, inftti, che risult: f ( 4) g( 4) f 4 g f g f g f ( 0) - g( 0) f 0 g Ê Ë ˆ 5 5 ( - ) Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte 5

22 NOTA BENE Nell esempio l frzione f ( ) si nnull per i vlori - e : bbimo, cioè, f () 0 e f (-) 0. Come ben sppimo, 0 non è dotto di inverso e, quindi, l frzione f ( ) mmette l funzione invers per tutti i vlori del suo dominio trnne quelli per cui risult f ( ) 0. Inftti: g - 5 g (- ) e Entrmbe le frzioni non hnno significto. - Possimo llor dire che un frzione lgebric f () mmette l invers per tutti i vlori del suo dominio esclusi quelli per cui risult f () L su invers è + g ( ) " Œ - Ï Ó 3 - b. f + Il dominio è. L frzione si nnull per il vlore. L invers è l frzione + g 3 - " Œ - { }. Esempio. f Il dominio è - {- }. L frzione si nnull per il vlore. Regol Divisione RCS LIBRI EDUCATION SPA L divisione di due frzioni lgebriche si clcol moltiplicndo l prim frzione per l inverso dell second (fcendo le eventuli possibili semplificzioni). Quest operzione è possibile solo dopo che il denomintore è stto ridotto un unic frzione. Prim di svolgere l divisione, di vlori che si possono ttribuire lle vribili si devono escludere: quelli che nnullno il denomintore del dividendo; quelli che nnullno il denomintore del divisore; quelli che nnullno il numertore del divisore possimo fre subito il prodotto del dividendo per l inverso del divisore: Esempio Nell divisione : dividendo e divisore sono già ridotti un unic frzione: ( + ) : - Come si vede, non ci sono fttori l numertore e l denomintore che si possno semplificre: l frzione rest così. 3 Esempio Nell divisione 3 + Ê ˆ il dividendo si present già come frzione, mentre il : 4 + Ë divisore è ncor un ddizione; svolgimo, llor, le operzioni necessrie per renderlo un unic frzione: Ê ˆ 3 4 Ë + + : : 6 MOD Algebr linere

23 A questo punto possimo moltiplicre l prim frzione per l inverso dell second fcendo nche le semplificzioni che sono possibili: Regol Frzioni termini frzionri Le frzioni termini frzionri sono quelle in cui si il numertore si il denomintore sono, loro volt, frzioni. Nel cso numerico un frzione termini frzionri è del tipo: b c d dove, b, c e d sono numeri interi con b, c e d diversi d 0. Un frzione di questo tipo si semplific sfruttndo il ftto che il rpporto tr A due numeri può essere considerto come il prodotto del primo numero per B l inverso del secondo: A A B B In bse ciò, ricordndo che l inverso dell frzione c è l frzione d, possimo scrivere: d c b d d c b c b c d Il rpporto di due frzioni si clcol moltiplicndo l frzione che st l numertore per l inverso dell frzione che st l denomintore. Occorre fre un osservzione fondmentle: quest operzione è possibile solo qundo il denomintore è stto ridotto un unic frzione. Bisogn quindi:. svolgere tutte le operzioni che compiono l denomintore in modo che l denomintore compi un frzione sol; per esempio: pplicre l regol precedente: moltiplicre l frzione che st l numertore per l inverso dell frzione che st l denomintore: Un procedimento del tutto nlogo si segue se l frzione termini frzionri non è numeric, m lgebric. 6 Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte 7

24 + 4 Esempio Nell frzione - + si il numertore si il denomintore non compiono come un unic frzione; svolgimo, llor, tutte le operzioni per ridurli entrmbi un sol frzione: + ( - ) ( -) ( -) ( -) ( 4-3) + 5( + ) Adesso si può moltiplicre il numertore per l inverso del denomintore: ( + ) NOTA BENE Nell esempio non bbimo svolto il prodotto ( - ) che compre l denomintore dell frzione che st l numertore: il motivo di quest scelt st nel ftto che nei pssggi successivi eventuli semplificzioni sono più fcili d riconoscere e d svolgere essendo i polinomi già scomposti in fttori..6 Equzioni rzionli frtte Si definisce equzione rzionle frtt un qulunque equzione in cui compi lmeno un frzione lgebric. Sono equzioni rzionli frtte le equzioni: Come si vede, bst che nell equzione compi nche un sol frzione lgebric perché ess si definit rzionle frtt. Se il problem che gener l equzione determin un dominio, il dominio dell equzione si ottiene eliminndo dll insieme gli eventuli vlori che nnullno i denomintori che compiono nell equzione numeri interi ( ), il dominio dell equzione si ottiene escludendo d i numeri che nnullno i denomintori, cioè e -: - {-, }. Esempio Se il dominio del problem che gener l equzione è l insieme dei Negli esempi e negli esercizi ipotizzeremo sempre che il dominio del problem coincid con l insieme :. Vedimo come si risolve un equzione rzionle frtt risolvendo, in prticolre, l equzione: si determin il dominio dell equzione escludendo d i vlori che nnullno i denomintori: -{-, }; 8 MOD Algebr linere

25 . si f in modo che tutti i termini compino l I membro: si riducono tutti i termini dell equzione llo stesso denomintore e si ddizionno le frzioni ottenute in modo d vere un equzione del tipo : P ( ) Q ( - ) -9-0 Æ 0 ( + )( - ) - 5( + ) ( + )( - ) ( + )( - ) 0 ( + ) ( - ) 4. si ugugli 0 il numertore ottenendo, così, un equzione inter in form normle P () 0 (si ricord che un frzione è null qundo è nullo il denomintore): e si risolve l equzione: 0 - RCS LIBRI EDUCATION SPA 5. si verific l pprtenenz delle soluzioni l dominio : 0 pprtiene l dominio mentre - non gli pprtiene. L insieme soluzione è, dunque, S {0} Determinimo il dominio dell equzione escludendo d i vlori che nnullno i denomintori: - {0, }; 3 5. portimo tutti i termini l I membro: ; riducimo tutti i termini dell equzione llo stesso denomintore e ddizionimo le frzioni così ottenute: Esempio Risolvimo l equzione +. Esempio 3 4. risolvimo l equzione : - 3 ; pprtiene l dominio - {0, } e, quindi, è ccettbile come soluzione: S Ï - Ó 3. Risolvimo l equzione ( - ) ( -) - ( -) Æ Determinimo il dominio dell equzione escludendo d i vlori che nnullno i denomintori: - {-, }; 3. portimo tutti i termini l I membro: ; riducimo tutti i termini dell equzione llo stesso denomintore e ddizionimo le frzioni così ottenute: 3( + ) ( -)( + ) - ( - ) ( -)( + ) 0 Æ ( + ) 0 Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte 9

26 4. risolvimo l equzione + 5 0: -5; pprtiene l dominio dell equzione - {-, } e, quindi, è ccettbile come soluzione: S {- 5}. Esempio 4 Risolvere l equzione.. Determinimo il dominio dell equzione escludendo d i vlori che nnullno i denomintori: - {-, };. portimo tutti i termini l primo membro: + ( - ) ( - )( + ) riducimo tutti i termini dell equzione llo stesso denomintore e ddizionimo le frzioni così ottenute: ( + ) ( + ) - ( + )( - ) ( + )( - ) ( - ) + 4. risolvimo l equzione 9-8 0: ; non pprtiene l dominio dell equzione - {-, } e, quindi, non è ccettbile come soluzione: S {}. 0 Æ ( + ) 0 USIAMO DERIVE Considerimo l frzione lgebric Nell brr dell espressione scrivimo: (^3 + 3^ - 0-4)/(^ - - 0) <Invio>.. Selezionimo Semplific/Sostituisci vribili e dimo ll il vlore. b. Clicchimo su <OK>: nell pgin delle espressioni compre l nostr frzione dove, però, l posto dell compre il numero. c. Clicchimo su <>(Clcol): nell pgin delle espressioni compre il numero 4. 3 Ripetimo le stesse operzioni sostituendo ll il numero 5; dopo verle svolte ppre nell pgin delle espressioni uno strno simbolo:±. Cos vuol dire? Vedimo:. nell espressione # selezionimo il numertore (bst cliccre due volte sul numertore m non velocemente) e clicchimo su <>; nell pgin compre l espressione #4: il progrmm h clcolto il numertore; b. nell espressione #4 selezionimo, stvolt, il denomintore e clicchimo su <>; nell pgin compre l frzione 6 : il numero 5 nnull il denomintore dell frzione e questo è il motivo per il qule il progrmm vev ftto comprire il simbolo ±. 0 0 MOD Algebr linere

27 Sostituimo stvolt il numero 4: nell pgin il progrmm f comprire un simbolo ncor più strno:?. Perché? Se ripetimo le stesse operzioni ftte prim, vedimo che ll fine compre l frzione 0, cioè un form 0 indetermint; è questo il motivo per il qule il progrmm h presentto il punto interrogtivo, qusi voler dire l frzione può vere qulunque vlore: qule vuoi scegliere?. Il ftto che si il numertore che il denomintore si nnullino per -4 ci dice che entrmbi sono divisibili per ( +4) e, quindi, è possibile semplificre l frzione. Vedimo come. Nell brr dell espressione scrivimo (^3 + 3^ - 0-4)/(^ - - 0)<Invio>: nell pgin compre ; il progrmm ci h semplificto immeditmente l frzione. Per cpire qulcos in più:. riscrivimo l frzione senz il segno di uguglinz; b. selezionimo il numertore e dll brr dei menu selezionimo Semplific/Fttorizz e clicchimo su <Fttorizz>: l numertore compre il prodotto ( + )( - 3)( + 4), cioè l scomposizione in fttori del numertore; c. selezionimo, desso, il denomintore e ripetimo l operzione svolt l punto b: l denomintore compre il prodotto ( + 4)( - 5); ( + )( - 3) d. infine, se clicchimo su <> compre l frzione, dove ( + )( - 3) è l scomposizione in fttori del polinomio che è il numertore dell frzione che bbimo clcolto con l prim semplificzione. M l frzione che bbimo ottenuto con l semplificzione è vermente equivlente ll frzione di prtenz? Verifichimolo. Riscrivimo nell brr dell espressione (^3 + 3^ - 0-4)/(^ - - 0) <Invio>: bbimo visto che nell pgin compre l uguglinz: sostituimo ll il numero 0: nell pgin compre ; b. selezionimo l espressione # e sostituimo ll il numero 8: nell pgin compre ; 3 3 c. selezionimo di nuovo l espressione # e sostituimo ll il numero 4: nell pgin compre di nuovo?; inftti dll prim frzione, come bbimo già visto, ottenimo l form indetermint 0 0 mentre l second frzione ssume il vlore Verific che cos ccde se ll sostituisci il vlore Unità Frzioni lgebriche. Equzioni frtte

28 Definizioni e regole Ricpitolimo Esempi L frzione lgebric è il rpporto fr due espressioni A e B dove B è un polinomio diverso dl polinomio nullo. Il dominio di un frzione lgebric è l insieme dei vlori che possono essere sostituiti ll vribile; coincide con l insieme dei numeri rzionli, esclusi gli eventuli vlori che nnullno il denomintore. Due frzioni sono equivlenti qundo ssumono sempre lo stesso vlore qulunque si il numero dei loro domini che si sostituisce ll vribile (o lle vribili) ; ; - 4b + 5b Il dominio dell frzione è - {4} Le frzioni e sono equivlenti - - nel dominio - {-, }. L proprietà invrintiv fferm che moltiplicndo o dividendo numertore e denomintore per un stess espressione lgebric che non si nnull nel dominio si ottiene un frzione equivlente ll dt. A C Due frzioni lgebriche e sono equivlenti B D se sono uguli i prodotti A D e B C. Semplificre un frzione signific trovre un frzione d ess equivlente dove numertore e denomintore, un volt scomposti in fttori, non hnno più fttori comuni. L somm di due frzioni che hnno lo stesso denomintore è un frzione che h per denomintore lo stesso denomintore e per numertore l somm dei numertori. Il prodotto di due frzioni lgebriche è un frzione che h per numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori. RCS LIBRI EDUCATION SPA Le frzioni e sono equivlenti. - - Inftti: ( + )( - ) ( - )( ) poiché i due prodotti sono uguli, le due frzioni sono equivlenti ( + )( + ) ( - )( + ) (3 + 5)( + ) ( - )( - 4) L inverso di un frzione lgebric è quell frzione che, moltiplict per l frzione dt, dà. 5 L inverso dell frzione perché è l frzione Un equzione rzionle frtt è un equzione in cui compre lmeno un frzione lgebric. ( + ) 4-0 è un equzione rzionle frtt - 5 poiché in ess compre un frzione lgebric. MOD Algebr linere

29 Unità Equzioni di primo grdo in due o più incognite. Sistemi lineri Operzioni con i polinomi Risoluzione di equzioni di I grdo Acquisire il concetto di equzioni in più vribili Sper determinre le soluzioni di un equzione in più vribili Acquisire il concetto di sistem di equzioni Sper risolvere un sistem di equzioni lineri Equzioni in due incognite Sistemi di equzioni Metodi di risoluzione di sistemi lineri

30 . Problem Problem Le equzioni in due incognite Abbimo finor considerto le equzioni di I grdo in un incognit e bbimo visto come esse possno nscere d un problem di questo tipo: Se comprimo 4 quderni e un penn d 0,50 spendendo 4,50, qunto bbimo speso per ogni quderno? Indicndo con l letter il costo del singolo quderno, l equzione che rppresent questo problem è: 4 + 0,50 4,50 l cui soluzione è. Inftti: 4 () + 0,50 4,50 Æ 4,50 4,50 Possimo, però, vere nche problemi di questo tipo: Comprimo 4 quderni e 3 penne spendendo 0: qunto bbimo speso per ogni quderno e qunto per ogni singol penn? Indicndo con il costo del quderno e con y quello dell penn, l equzione che rppresent il problem è: 4 + 3y 0 Essendo un equzione, vlgono tutte le definizioni e le regole dte finor sulle equzioni, cioè: l definizione di soluzione di un equzione; l definizione di equzioni equivlenti; i principi di equivlenz. Stvolt, però, le incognite sono due e, per dre un rispost complet ll domnd Qul è l soluzione dell equzione?, non possimo dre solo il vlore dell, m dobbimo dre necessrimente nche quello dell y. Cioè, se dicessimo: Per ogni quderno bbimo speso,50 euro, ci sentiremmo rivolgere l domnd: E qunto vete speso per ogni penn?. Questo vuol dire che le soluzioni delle equzioni in due incognite sono coppie di numeri: uno è il vlore dell, l ltro dell y. Pertnto possimo dre l seguente definizione. Si definisce soluzione di un equzione in due incognite ogni coppi ordint di numeri che, sostituiti lle incognite, fnno sì che il primo membro ssum lo stesso vlore del secondo. Mentre l coppi (, ) è un soluzione dell equzione che bbimo dto prim, l coppi (, ) non lo è. Inftti: 4 () + 3 () vero 4 () + 3 () flso 4 MOD Algebr linere

31 È questo il motivo per cui nell definizione di soluzione bbimo scritto l prol ordint: perché è importnte l ordine con cui scrivimo i due numeri. Generlmente, inftti, le coppie (, b) e (b, ) si comportno, nei confronti dell equzione, in modo diverso: l prim coppi può essere soluzione dell equzione e l second no o vicevers. Ogni soluzione di un equzione in due incognite viene rppresentt scrivendo fr prentesi i due vlori seprti d un virgol: scriveremo sempre prim il vlore dell letter che è prim nell ordine lfbetico. Nel nostro cso se scrivimo (, ) vuol dire che è il vlore dell e è il vlore dell y. Se scrivimo (, ) vuol dire che il vlore dell è, mentre il vlore dell y è. Il dominio di un equzione in due incognite RCS LIBRI EDUCATION SPA Tornimo l problem posto ll inizio del prgrfo. L equzione che rppresent il problem è: 4 + 3y 0 Fr le soluzioni dell equzione c è nche l coppi (-, 6). Inftti: 4 (- ) Æ Æ 0 0 C è, però, un obiezione d fre: il primo numero dell coppi (-, 6) rppresent il prezzo del quderno: cos signific che un quderno cost -? Poiché non h senso dire che un quderno cost -, l coppi (-, 6) non può essere ccettt come soluzione. Questo esempio mostr come nche nelle equzioni in due o più incognite è indispensbile stbilire il dominio dell equzione, cioè dobbimo fissre l insieme l qule devono pprtenere le soluzioni. NOTA BENE Poiché stimo prlndo di equzioni in due incognite, ogni soluzione, come detto, è compost d un coppi di numeri. Questo vuol dire che il dominio deve essere necessrimente il prodotto crtesino di due insiemi. Le soluzioni di un equzione in due incognite Come l solito, sorge il problem: come si trovno le soluzioni di un equzione in due incognite? Tornimo ll esempio: come possimo fre per cpire qunto cost ogni penn e ogni quderno? Possimo rgionre nel modo seguente: se ogni quderno cost,0 (se,0) llor: 4 (,0) + 3y 0 Æ 8,80 + 3y 0 Æ 3y 0-8,80 Æ 3y,0 Æ y 0,40 cioè ogni penn cost 0,40. L soluzione è llor (,0; 0,40); se ogni quderno cost,75 (se,75) llor: 4 (,75) + 3y 0 Æ 7 + 3y 0 Æ 3y 0-7 Æ 3y 3 Æ y cioè ogni penn cost. L soluzione è llor (,75; ); Unità Equzioni di primo grdo in due o più incognite. Sistemi lineri 5