Le frazioni algebriche

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1 Le frzioni lgeriche Definizione se A e B sono due polinomi e B è diverso dl polinomio nullo, B A viene dett frzione lgeric. Esempio sono esempi di frzioni lgeriche. NOTA ogni monomio o polinomio può essere considerto come un frzione lgeric il cui denomintore è il monomio. L insieme delle frzioni lgeriche è un mplimento dell insieme dei polinomi. Così come imo semplificre, sommre, moltiplicre le frzioni numeriche vedremo come si possono semplificre, sommre ecc. le frzioni lgeriche. Per prim cos però doimo studire l cosiddett condizione di esistenz (C.E.) di un frzione lgeric inftti imo detto che il denomintore deve essere un polinomio diverso d zero e doimo quindi escludere i vlori delle lettere che nnullno il denomintore dell frzione. 09

2 Condizione di esistenz di un frzione lgeric Un frzione lgeric perde significto per tutti i vlori delle lettere che nnullno il denomintore dell frzione. Determinre le condizioni di esistenz (revito con C.E.) signific individure i vlori delle lettere che nnullno il denomintore dell frzione lgeric e per determinrli è necessrio risolvere un equzione. Esempio Per determinre il cmpo di esistenz dell frzione lgeric doimo risolvere l equzione 0 ( per determinre il vlore di che nnull il denomintore). Per risolvere l equzione di primo grdo 0 si spost il termine - cmindolo di segno poiché se 0 è chiro che questo punto si divide per il coefficiente, cioè si h. Quindi il C.E. dell frzione lgeric è Esempio Per determinre il cmpo di esistenz dell frzione lgeric l equzione 0. Aimo Quindi il C.E. è doimo risolvere o direttmente ( ) Esempio Per determinre il cmpo di esistenz dell frzione lgeric doimo risolvere l equzione 0. Se l equzione è di grdo superiore l primo doimo prim di tutto scomporl in questo cso imo Quindi doimo risolvere ( )( ) 0 Sppimo che un prodotto è nullo qundo lmeno uno dei fttori è nullo e quindi In conclusione il C.E. è ±. ( ) 0 ( ) 0 0

3 Esempio Per determinre il cmpo di esistenz dell frzione lgeric l equzione 0. Anche in questo cso scomponimo (mettendo in evidenz) doimo risolvere Quindi doimo risolvere Aimo 0 ( ) ( ) 0 0 e in conclusione il C.E. è 0 Esempio Per determinre il cmpo di esistenz dell frzione lgeric l equzione 0. Scomponimo il denomintore con Ruffini ed imo ( )( ) ( )( ) 0, In conclusione C.E., doimo risolvere. Esempio Per determinre il cmpo di esistenz dell frzione lgeric l equzione 0. Poiché ( )( ) imo che ( )( ) 0 doimo risolvere (l equzione non si scompone ulteriormente e quindi non ci sono ltre soluzioni reli). Quindi C.E

4 Il clcolo con le frzioni lgeriche Semplificzione di un frzione lgeric Come per le frzioni numeriche, dividendo numertore e denomintore di un frzione lgeric per uno stesso polinomio (diverso d zero) si ottiene un frzione lgeric equivlente. Esempio ( )( ) ( ) (C.E. 0 e ) Attenzione si semplificno i fttori dell scomposizione del numertore e del denomintore e mi gli ddendi! ERRORE GRAVE! Somm lgeric Per sommre due o più frzioni lgeriche isogn prim di tutto ridurle llo stesso denomintore (come per le frzioni numeriche). Esempio? Doimo prendere come denomintore comune il m.c.m. dei denomintori, in questo cso ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Importnte per determinre il mc.m. dei denomintori delle frzioni lgeriche d sommre occorre scomporli.

5 Esempi ) ) ) )... ) / / ) )...

6 Moltipliczione Il prodotto di due o più frzioni lgeriche è un frzione lgeric che h per numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori. D B C A D C B A Esempi ) (C.E. e ) ) NOTA prim di moltiplicre conviene scomporre numertore e denomintore delle frzioni lgeriche per effetture eventuli semplificzioni. Divisione Il quoziente di due frzioni lgeriche è l frzione lgeric che si ottiene moltiplicndo l prim frzione per l reciproc dell second. C D B A D C B A ( C D B ) Esempio (C.E. ± e 0 ) / / Potenz n n n B A B A Esempio

7 Esercizi (frzioni lgeriche) I) Determin le condizioni di esistenz delle seguenti frzioni lgeriche ) ) 9 ) ) ) II) Dopo ver determinto C.E. semplific le seguenti frzioni lgeriche ) C.E. e ( ) ) ) ) ) 9 9 C.E. C.E. C.E. 0 C.E. ( )

8 ) C.E. 0 e 7) C.E. e 8) C.E. e 9) 8 C.E. 0) C.E. e 9 ) C.E. 0 e ) C.E. e ( ) ) C.E. 0 e ) 0 C.E. e ) ) 7) C.E. 0 e C.E. ( ) ( ) C.E. e 8) 8 8 C.E. e ( )

9 7 III) Esegui le seguenti somme lgeriche (supponi che sino verificte le condizioni di esistenz) ) ) ) ) 9 ) ) 7) 8) 9 9) 0) 8 ) )

10 IV) Esegui le seguenti moltipliczioni di frzioni lgeriche (supponi che sino verificte le condizioni di esistenz) ) ) ) ) ) ) 7) 8) 8 8 9) ( ) ( ) 0) ) 9 ) 8

11 V) Esegui le seguenti divisioni di frzioni lgeriche ) ) 9 C.E. ± e 0 ( ) C.E. 0, 0 e ) C.E. 0 e ( ) ) ) 9 C.E. ± e ( ) C.E. ± e ( ) VI) Potenze di frzioni lgeriche ) ) 8 ( ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) 9

12 VII) Espressioni con frzioni lgeriche ) ) ( ) ( ) ) ) ) impossiile, perché ) ( ) 7) 8) 9 9) 9 8 0) ) ) )

13 ) ) 0 7 ) 7) 8) 8 9) ) ) ) ) ) 0 ) 9 0 ) 7) 8) 8 8