{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

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1 Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto dei grdi delle equzioni che lo costituiscono: Esempio x { 3 x y=4 x 2 x y 4 y 2 =5 è un sistem di sesto grdo (il polinomio che è ssocito ll prim equzione h grdo 3 e quello ssocito ll second h grdo 2). Per desso vedremo solo il tipo di sistemi più semplici: quelli di due equzioni di primo grdo in due incognite. Sistemi di equzioni di primo grdo Considereremo, dunque, sistemi di due equzioni di primo grdo nelle due incognite x e y. Risolvere un sistem di questo tipo, llor, signific trovre, tr le infinite soluzioni delle due equzioni prese singolrmente, un soluzione (cioè un coppi di vlori x e y) che le soddisf entrmbe. Quest si dirà soluzione del sistem. Per primo, bisogn ridurre il sistem in form normle, medinte gli opportuni pssggi lgebrici, cioè mettere i termini con l x e con l y prim dell'ugule ed i termini noti dopo l'ugule. In questo modo, il sistem si present nell form: ' x b ' y=c' { Come nel cso delle equzioni, un sistem di equzioni può essere possibile, impossibile o indeterminto second dell'esistenz o meno di un o più soluzioni. Sistem possibile Il sistem è possibile se le sue equzioni sono comptibili, nel senso che non si contrddicono né si ripetono. In questo cso, esiste un ed un sol soluzione, cioè un ed un sol coppi di vlori (x, y) che soddisf entrmbe le equzioni. x y=3 { x y=1 l somm di due numeri è 3 e l loro differenz è 1. Con un po' di logic dico che i numeri sono 2 e 1: inftti = 3 e 2-1 = 1 e le due equzioni sono comptibili. Il risultto è: { x=2 y =1

2 Più in generle un sistem del tipo: { ' x b' y=c' è possibile se vle l seguente relzione tr i coefficienti dell x e dell y: ' b b ' Sistem impossibile Il sistem è impossibile se le sue equzioni si contrddicono fr di loro e, dunque, tr le infinite soluzioni dell prim e dell second equzione non ve ne è nessun in comune, che soddisf, cioè, entrmbe le equzioni. x y=3 { x y=1 l somm di due numeri è 3 e l loro somm è 1. Non è possibile che due numeri sommti vlgno un volt 3 ed un volt 1, quindi tutto il sistem è impossibile. Se si risolve il sistem con uno qulsisi dei metodi che vedremo successivmente, si ottiene un'equzione impossibile del tipo 0 = numero. Più in generle, un sistem del tipo: { ' x b' y=c' è impossibile se vle l relzione: ' = b b' c c' Sistem indeterminto Il sistem è indeterminto se le sue equzioni dicono entrmbe l stess cos, cioè le due equzioni del sistem sono equivlenti (hnno lo stesso insieme infinito di soluzioni). x y=3 { 2 x 2 y=6 l somm di due numeri è 3 e l somm del doppio dei due numeri è 6; le due equzioni dicono l stess cos, cioè forniscono l stess informzione sull coppi (x,y). Se si risolve il sistem si trov un'equzione indetermint del tipo 0=0.

3 In generle, un sistem del tipo: { ' x b' y=c' è indeterminto se vle: ' = b b' = c c' Rissumendo: Dto un sistem di due equzioni lineri in due incognite del tipo: { ' x b ' y=c ' si può dire, nche senz risolverlo, se è possibile, impossibile od indeterminto, osservndone i coefficienti: ' b b ' sistem possibile (o determinto) => esiste un ed un sol soluzione ' = b b' c c' sistem impossibile => non esiste lcun soluzione del sistem ' = b b' = c c' sistem indeterminto => esistono infinite soluzioni, quelle di ognun delle equzioni prese singolrmente Soluzione di un sistem di primo grdo di due equzioni due incognite Nelle prossime pgine vedremo l soluzione di un sistem (sempre lo stesso) con i diversi metodi noti; i più semplici per due equzioni con due incognite sono il metodo di sostituzione ed il metodo di confronto. Il metodo di Crmer, invece, decismente troppo complicto per sistemi di questo tipo, rppresent, tuttvi, il metodo principle per risolvere sistemi di più equzioni più incognite. Risolvere il sistem di equzioni: Metodo di sostituzione In entrmbe le equzioni l x e l y devono vere lo stesso vlore, llor posso ricvre d un delle due equzioni il vlore dell x (o dell y) e sostituirl ll x (o ll y) nell'ltr equzione. In questo modo si ottiene un'equzione in un sol incognit che sppimo risolvere. Sostituire x od y è indifferente e dipende dl sistem: nel nostro cso conviene ricvre l y dll second equzione e sostituirl nell prim, in modo d non vere

4 frzioni. Dunque, isolo l y nell second equzione: { y=7 3 x cmbio di segno: { y= 7 3 x sostituisco il vlore dell y nell prim equzione: 2 x x =12 { y= 7 3 x eseguo i clcoli e trovo l soluzione nell prim equzione: x=3 { y= 7 3 x Nell second equzione l posto di x sostituisco il vlore trovto: x=3 { y= e ottengo l coppi di vlori che è soluzione del sistem: { x=3 y =2 Rissumendo, per risolvere un sistem col metodo di sostituzione: ricvo l vribile d un delle due equzioni (l più semplice) e l sostituisco nell'ltr equzione quest divent d un sol incognit e l risolvo un volt trovt l'incognit l sostituisco nell prim equzione e trovo il vlore dell'ltr incognit Metodo del confronto Nel metodo di confronto ricvo d entrmbe le equzioni l x poi metto confronto i risultti. esplicito i termini con l x: { 2 x=12 3 y 3 x =7 y ricvo le x: 12 3 y {x= 2 x= 7 y 3 e poi uguglio i risultti e risolvo l'equzione in un sol incognit che ho scritto. Come second equzione posso considerre un qulsisi delle due:

5 {12 3 y = 7 y 2 3 x= 7 y 3 svolgo i pssggi lgebrici e ricvo l y dll prim equzione: { y=2 x= 7 y 3 sostituisco il vlore 2 ll y nell second equzione e ottengo l soluzione: { x=3 y =2 Rissumendo, per risolvere un sistem col metodo del confronto: ricvo d entrmbe le equzioni l x (oppure l y) come prim equzione eguglio le espressioni trovte, come second scelgo un delle due (l più semplice) risolvo l prim equzione sostituisco il risultto nell second equzione e trovo il vlore dell'ltr vribile Metodo di ddizione Nel metodo di ddizione si oper sulle equzioni in modo d rendere ugule e di segno contrrio nelle due equzioni il termine che contiene l y (successivmente frò l stess cos per l x). Per frlo, moltiplico entrmbi i membri di un'equzione per uno stesso fttore (è possibile frlo per il secondo principio di equivlenz). moltiplico l second equzione per 3 in modo d vere lo stesso termine in y m col segno cmbito: { 9 x 3 y=21 or sommo in verticle le due equzioni, termine termine; in questo modo elimino il termine in y: { 9 x 3 y= x 0=33 dll'equzione ottenut posso ricvre l x: x=3 Allo stesso modo, per trovre l y devo eliminre l x, quindi moltiplico l prim equzione per +3 e l second per -2. In questo modo le x diventno uguli e di segno contrrio:

6 { 6 x 9 y =36 6 x 2 y= 14 or sommo in verticle e sprisce il termine in x: 6 x 9 y=36 { 6 x 2 y= y=22 d cui ricvo l y: y=2 Dunque, il risultto è: { x=3 y =2 Rissumendo, per risolvere un sistem col metodo di ddizione: moltiplico un od entrmbe le equzioni per un opportuno fttore, in modo d vere i termini con l x uguli e di segno contrrio sommo le equzioni: ottengo un'equzione con l sol y e l risolvo; trovo l y moltiplico un od entrmbe le equzioni per un opportuno fttore, in modo d vere i termini con l y uguli e di segno contrrio sommo le equzioni: ottengo un'equzione con l sol x e l risolvo; trovo l x Per l su immeditezz, questo metodo è il più usto qundo le equzioni sono numeriche. Metodo di Crmer Il metodo di Crmer f uso dell notzione tipic delle mtrici e del concetto di determinnte. E' un metodo molto usto, soprttutto nei sistemi lineri di molte equzioni. come prim cos, scrivo i coefficienti del sistem in un tbell (mtrice): l prim colonn contiene i coefficienti dell x, l second i coefficienti dell y: [ ] In entrmbe le soluzioni dovrò considerre l denomintore il determinnte di quest mtrice: è un numero e per clcolrlo devo fre il prodotto fr il primo e l'ultimo termine meno il prodotto fr il secondo ed il terzo: DENOMINATORE=det[ ] = = 2 9= 11 Per clcolre, invece, i numertori dell x e dell y devo considerre i determinnti di due diverse mtrici. Al numertore dell x devo considerre il determinnte dell mtrice che

7 si ottiene d quell sopr sostituendo l posto dell colonn dei coefficienti delle x i termini noti: NUMERATORE dell x=det[ ] = = 12 21= 33 In definitiv: x= =3 Anlogmente, per clcolre il numertore dell y considero il determinnte dell mtrice che si ottiene sostituendo ll colonn dei coefficienti delle y i termini noti: NUMERATORE dell y=det[ ] = =14 36= 22 y= =2 Rissumendo, dto un sistem del tipo: { ' x b ' y=c ' possono clcolre con le seguenti espressioni:, le soluzioni del sistem si det[ c c ' x= det[ ' b'] b b'] b det[ ' y= det[ ' c'] c b'] b