a 0 n a 1 n... a n n 2a i j x i x j + 1 i<j n

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1 Coniche e qudriche Un qudric è il luogo degli zeri in E n, lo spzio euclideo di dimensione n, di un polinomio di grdo nelle vribili,, n Polinomi proporzionli dnno luogo ll stess qudric Se n = un qudric viene nche dett conic Esempi + y = 0 + y + = 0 + y + z + = 0 Per ogni polinomio di grdo in n vribili esiste un e un sol mtrice simmetric i j con indici 0 i, j n tle che il polinomio si scrive nel modo seguente n n 0 n 0 n n n n n cioè i i i + i j i j + 0 j j i n i<j n j n Esempio: L equzione + y yz z z + = 0 divent / 0 / y z / / 0 0 / 0 / y = 0 / 0 / z L proprietà di essere un qudric non dipende dl sistem di riferimento ffine scelto Denotimo con il vettore colonn delle vribili,, n, = n Se = B + c, pssndo dlle coordinte,, n lle coordinte,, n, l qudric ssocit ll mtrice simmetric A divent l qudric ssocit ll mtrice T 0 0 A = A c B c B

2 inftti = B + c 0 = c B Teorem Clssificzione delle coniche L equzione di ogni conic si può scrivere, in un opportuno sistem di riferimento crtesino, in un e un sol delle seguenti forme dette forme cnoniche + y b = 0, b > 0 ellisse rele + y b + = 0, b > 0 ellisse immginri y b = 0,, b > 0 iperbole y = 0, > 0 prbol y = 0, rette reli incidenti + y = 0, rette immginrie incidenti = 0, > 0 rette reli prllele + = 0, > 0 rette immginrie prllele = 0 rette coincidenti In generle un qudric si dice degenere se il determinnte dell su mtrice simmetric ssocit è zero Un conic è degenere se e solo se l su equzione si fttorizz coefficienti complessi Mostrimo come prtendo d un equzione generic si costruisce il cmbimento di sistem di riferimento crtesino che mette l equzione in form cnonic Si A = i j un mtrice simmetric con 0 i, j In prticolre l sottomtrice A 0 0, ottenut d A eliminndo l prim rig e l prim colonn, è simmetric Prendimo un mtrice B,, ortogonle e tle che B T A 0 0 B si digonle Ponendo A = bbimo A 0 0 digonle Abbimo due csi 0 0 B T 0 A 0 B

3 Se esiste c R tle che l sostituzione = +c elimin i termini di primo grdo, scrivimo e bbimo A digonle Or: T 0 0 A = c A I c I i se 0 0 0, bbimo un ellisse, un iperbole o due rette prllele, ii se 0 0 = 0, bbimo due rette incidenti o coincidenti b Se non esiste c R tle che l sostituzione = + c elimin i termini di primo grdo, bbimo un prbol Se c R come sopr esiste e è univocmente determinto, l conic si dice centro, e le componenti di c sono le coordinte del centro nel sistem di riferimento delle Esercizio: Mettere in form cnonic l conic di equzione y + y = 0 Risolvimo l esercizio Riscrivimo l equzione in form mtricile / y 0 / = 0 / / 0 y Considerimo l sottomtrice, ottenut eliminndo l prim rig e l prim colonn, 0 / A 0 0 = / 0 Cerchimo un mtrice B ortogonle tle che B T A 0 0 B si digonle Scrivimo il polinomio crtteristico: λ / deta 0 0 λi = det / λ Clcolimo gli utospzi: V = Spn{ V = V = λ 4 = λ }, = Spn{ } λ + 3

4 Abbimo un bse ortogonle di R digonlizznte:, Normlizzndo ottenimo un bse ortonormle:, Possimo prendere B = Utilizzimo quindi il cmbimento di coordinte = y y Sostituendo nell equzione di prtenz ottenimo + y y + + y y = 0, cioè y y = 0 Or eliminimo i termini di primo grdo, con il metodo di completmento del qudrto di un binomio Comincimo con i termini nell vribile, + = + = = + + = = + = = + 4 Anlogmente procedimo con i termini nell vribile y, y + 3 y = y 3 y = = y + y = = y 3 3 = = y

5 L equzione divent cioè y y 3 = 0 Utilizzimo quindi il cmbimento di coordinte / y = y + 3/ e ottenimo y = 0, o equivlentemente l form cnonic y = 0 = 0, Si trtt dell equzione di due rette incidenti, inftti si può nche scrivere come e l esercizio è concluso y + y = 0, Ellisse: in E, sino F e F due punti e > distf, F un numero rele Il luogo dei punti P tli che distp, F + distp, F = è un ellisse I punti F e F si dicono fuochi I numeri e b, tle che b = c dove c = distf, F, si dicono semissi Il centro dell ellisse è il punto medio tr i fuochi Un cso prticolre di ellisse è l circonferenz L ellisse è un circonferenz se e solo se F = F, se e solo se = b L equzione di un circonferenz di centro c, c y e rggio r è c + y c y = r, cioè + y c c y y + c + c y r = 0 Se l ellisse non è un circonferenz l rett pssnte per i fuochi e l su ortogonle si dicono ssi dell ellisse, le intersezioni degli ssi con l ellisse si dicono vertici Prendendo il riferimento crtesino dto di suoi ssi l equzione dell ellisse divent quell cnonic + y b = 0 In tle sistem di riferimento un prmetrizzzione dell ellisse è l seguente { = cost y = b sint 5

6 Iperbole: in E, sino F e F due punti e 0 < < distf, F un numero rele Il luogo dei punti P tli che distp, F distp, F = è un iperbole I punti F e F si dicono fuochi I numeri e b, tle che b = c dove c = distf, F, si dicono semissi Il centro dell iperbole è il punto medio tr i fuochi L rett pssnte per i fuochi e l su perpendicolre pssnte per il centro si dicono ssi dell iperbole, le intersezioni dell prim con l iperbole si dicono vertici Le due rette che pssno per il centro cui l iperbole tende ll infinito si dicono sintoti Prendendo il riferimento crtesino dto di suoi ssi l equzione dell iperbole divent quell cnonic y b = 0 Gli sintoti hnno equzione rispettivmente y b = 0, + y b = 0 In tle sistem di riferimento un prmetrizzzione dei due rmi dell iperbole è l seguente { = ± cosht y = b sinht Prbol: in E, si r un rett e F r un punto Il luogo dei punti P tli che distp, F = distp, r è un prbol Il punto F si dice fuoco L rett r si dice direttrice L rett pssnte per il fuoco e perpendicolre ll direttrice si dice sse dell prbol, l intersezione dell sse con l prbol si dice vertice Prendendo il riferimento crtesino dto dll rett prllel ll direttrice pssnte per il vertice e dll sse scegliendo il verso che v dll direttrice l fuoco l equzione dell prbol divent quell cnonic y = 0, dove = distf, r Teorem Clssificzione delle qudriche nello spzio L equzione di ogni qudric nello spzio si può scrivere, in un opportuno sistem di riferimento crtesino, in un e un sol delle seguenti forme + y b + z c = 0, b c > 0 ellissoide rele + y b + z c + = 0, b c > 0 ellissoide immginrio + y b z c + = 0, b > 0, c > 0 iperboloide ellittico + y b z c = 0, b > 0, c > 0 iperboloide iperbolico + y b z = 0, b > 0 prboloide ellittico y b z = 0, b > 0 prboloide iperbolico + y b z = 0, b > 0 cono rele 6

7 + y b + z = 0, b > 0 cono immginrio + y b = 0, b > 0 cilindro ellittico y b = 0,, b > 0 cilindro iperbolico y = 0, > 0 cilindro prbolico + y b + = 0, b > 0 cilindro immginrio y = 0, pini reli incidenti + y = 0, pini immginri incidenti = 0, > 0 pini reli prlleli + = 0, > 0 pini immginri prlleli = 0 pini coincidenti Le qudriche del pino si chimno coniche poiché si possono ottenere nello spzio come intersezione di un pino con un cono rele Se l qudric è degenere l su equzione non necessrimente si fttorizz Se l mtrice simmetric ssocit h rngo 3 bbimo un cono o un cilindro Se h rngo un coppi di pini, quindi in questo cso l equzione si fttorizz coefficienti complessi 7