METTITI ALLA PROVA. b. Posto che a, b e c siano i valori trovati al punto precedente, calcola: lim fx ( ); lim fx ( ).

Transcript

1 Mettiti ll prov METTITI ALLA PROVA Limiti e continuità b - + c e, c Si dt l funzione f ( ) se $ 0! = * sin, con b,! R, c! R + se 0 Ricv i vlori di, b e c in modo tle che: f() si continu in = 0 ; lim f ( ) = e; lim f ( ) = 0 " + " - b Posto che, b e c sino i vlori trovti l punto precedente, clcol: lim f ( ); lim f ( ) " + "- f ( ) c Stbilisci se esistono i seguenti limiti e, nel cso, clcolli: lim f; ( ) lim "- " 0 - ^-h^-bh Consider l funzione f di vribile rele definit, per! c, d f ( ) = - c, con, b, c prmetri reli, positivo Determin, b, c ffinché il grfico di f: bbi un sintoto verticle di equzione = ; pssi per il punto A(; 0); bbi un sintoto obliquo pssnte per il punto B(0; ) b Disegn il grfico di f c A prtire dl grfico di f disegn il grfico dell funzione g definit d g ( ) = mettendo in evidenz f ( ) intersezioni con gli ssi e sintoti [ ) =, b =-, c = ] - Clcol lim " 0 Sfruttndo nche il risultto ottenuto, studi i punti di discontinuità dell seguente funzione: Z - ] $ log e se 0 f ( ) = [ + + se 0 # ] + se \ Stbilisci se ci sono punti di discontinuità di terz specie e in tl cso indic come può essere elimint l discontinuità modificndo l definizione dell funzione [ = 0 disc III specie; = disc I specie] REALTÀ E MODELLI Un nuov vettur Un cs utomobilistic h progettto un vettur in cui il costo per il consumo di crburnte, espresso in euro, dipende di kilometri percorsi secondo l funzione: se # f ^ h = * b + c + 0-0, se con, b, c prmetri reli Durnte l presentzione dell vettur viene dichirto che, ll umentre dei kilometri percorsi, il costo per il consumo di crburnte tende diventre ogni 0 km Determin: i prmetri b e c; b il prmetro ffinché l funzione si continu in = ; c il numero minimo di kilometri d percorrere per vere un differenz di costi tr i vlori reli e quelli dichirti inferiore l millesimo di euro ogni 0 km : ) b =, c =- ; b) = 5 ; c) 00D Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi Rwpielcom/Shutterstock

2 Mettiti ll prov 5 REALTÀ E MODELLI Il moscerino dell frutt Un modello che rppresent l evoluzione dell popolzione del moscerino dell frutt h equzione: 00 N^th =, - t e 5 + dove N^th è il numero di moscerini e t è il tempo (misurto in giorni) Qunti sono i moscerini ll inizio dell osservzione? In qunto tempo l popolzione divent di 50 individui? b Disegn il grfico di N^th e osserv che mmette un sintoto orizzontle Che significto ssume per l popolzione di moscerini quest rett? Verific tle risultto ttrverso l definizione di limite 6 ) 0, t - giorno: b) N = 00@ Robin/Shutterstock 6 Consider l funzione: ^h = 00` -e ^ - h j Per qule vlore di l funzione si nnull? b Qunto vle ^0h? c Per qule l funzione ssume un vlore pri l 75% di ^0h? 6 ) b! D: b) ^0h - 5, 9; c) - 0, 76@ 9 0 Un tringolo h i lti che misurno rispettivmente, e 5 Si A l re del tringolo stesso, A l re del cerchio inscritto e A quell del cerchio circoscritto Clcol i seguenti limiti: A A lim " + A ; b lim A " + r 5 8) 6 ; b) B Consider l funzione f : R " R definit d 7 8 Clcolre lim ^ h 60@ " + [Liceo scientifico opzione internzionle itlo-inglese 05 - Sessione ordinri - Quesito 5] Verificre che l funzione f^h = f ( ) = ) - se!, se = con prmetro rele Determin ffinché l immgine medinte f dell intervllo I = 6 - si un intervllo chiuso b Determin gli estremi dell immgine f(i) di I 6 ) 5; b), 0@ h un discontinuità di prim specie («slto»), mentre l funzione: f^h = + h un discontinuità di terz specie («eliminbile») [Corso di ordinmento 05 - Sessione strordinri - Quesito ] Esplicit, rispetto ll vribile y, l equzione dell curv -y-- y+ = 0 Stbilisci se l curv present degli sintoti e, in cso di rispost ffermtiv, determinne le equzioni Individu il punto di intersezione C degli sintoti e verific che è centro di simmetri per l curv, scrivendo le equzioni dell simmetri centrle rispetto l punto C 6 =-, y = -; C^-; -5h@ Derivte Z + b se 0 ] sin se 0 # # Si dt l funzione f ( ) r = [, c se dove, b e c sono prmetri reli ] r \ Determin i prmetri, b, c in modo che l funzione si derivbile per ogni rele Disegn il grfico di f b L funzione f l è continu? Disegn il suo grfico L funzione f l è derivbile? Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

3 Mettiti ll prov 5 6 Consider l fmigli di funzioni di un vribile rele definit, per 0, d f( ) = + k + ln, dove k è un prmetro rele Dimostr che per ogni k $ 0 l funzione f è invertibile b Per k =, nell fmigli di funzioni dt, ottieni l funzione h Indic con g l funzione invers di h Clcol gl^ h e determin un equzione dell rett tngente l grfico di g nel suo punto di sciss 8gl( ) = ; -y- = 0B Dt nel pino Oy l curv c di equzione y =, si P un punto di c di sciss t 0 e si r l rett tngente c nel punto P Esprimi in funzione di t l re S del tringolo OPA, essendo A l intersezione di r con l sse y b Dett n l rett per P perpendicolre r, esprimi in funzione di t l re S del tringolo OPB, essendo B l intersezione di n con l sse S t c Clcol il limite lim t " + S S () t ; () ; 6 : ) = t b) S t = - 7 c) D t L funzione f è continu e indefinitmente derivbile in R Nell intervllo [; 8] h le seguenti crtteristiche: f( ) =, f( 8 ) = 5; f ( ) = 7 soltnto in = 5; f m ( ) 0 per! [ 5 ; [; fm ( 5 ) = 0 ; fm ( ) 0per! ] 58 ; ] Dimostr che esistono soltnto due punti interni ll intervllo [; 8] in cui l funzione verific il teorem di Lgrnge ESERCIZIO SVOLTO Determinimo il prmetro rele h in modo che il seguente limite bbi il vlore ssegnto: lim - h e = " ln e - h - h Qundo tende, il rpporto tende ll form e ln 0 Se h!, il limite tende llor infinito ed è diverso d e 0 Se h =, invece, il limite si present nell form indetermint del tipo 0 Verifichimo se, in questo cso, sciogliendo l form indetermint ottenimo il vlore e Applichimo De L Hospitl: - lim lim lim = e ln = e = e ln e e " " " + e ln + L form indetermint port effettivmente l vlore e, quindi il vlore cercto per h è 7 REALTÀ E MODELLI Sctto Un centometrist si st riscldndo prim dell gr Dopo uno sctto di s velocità crescente, rpidmente deceler e si ferm in s, per poi tornre i blocchi con velocità costnte L legge orri con cui si muove nell fse di ccelerzione è s^th =, t ; nell fse di decelerzione h percorso 9,6 m e qundo torn i blocchi di prtenz sono pssti in tutto 0, s Trov l legge orri s^th che descrive tutte e tre le fsi b Clcol le funzioni sl^th e sm^th e spiegne il significto fisico R Z V c Disegn sullo stesso pino i tre grfici S, t se 0# t # ] W S ) s^th = [-, t + 88, t-576, se t # 6 W S ] - t+ 08, se 6 t # 0, W T \ X Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi Jcob Lund/Shutterstock

4 Mettiti ll prov 8 ESERCIZIO SVOLTO Tuffi Aldo si tuff d un pittform lt 5 m sopr l superficie del mre I suoi tuffi possono essere descritti, nel riferimento Oy in figur, dll fmigli di prbole: m y =- + y (m) 0 + m + 5, m! R 5 Ricvimo in funzione di m l tngente dell ngolo r `0 j che le brcci di Aldo formno con l verticle nel punto di ingresso in cqu e dimostrimo che: O α C (m) 0 tn # b Determinimo il vlore positivo di m per il qule = 0 e clcolimo l distnz tr l bse dell pittform e il punto di ingresso in cqu per questo vlore di m Ricvimo l sciss C del punto in cui Aldo entr in cqu risolvendo l seguente equzione: m 0 m 5 0 m = " ^ + h -0 m - 50 = 0" = 5m! 75m m " C C è l soluzione positiv 5^ m+ m + h = + m llyy/shutterstock Clcolimo l derivt prim in C che rppresent il coefficiente ngolre dell tngente l grfico nel punto C Poiché yl^h = m, m l derivt nel punto di sciss C è: yl^ C m 5 m m = - + ^ + + h h 5 $ + m = + m -m- m + + m =- m + α C β (m) Il coefficiente ngolre è ugule nche tn b, essendo b l ngolo che l rett form con l direzione r positiv dell sse L ngolo richiesto dl problem è ugule b - Ottenimo: r tn = tn`b- j =- cot b = - = tn b m + D 0 # m + segue che 0 tn # b Clcolimo il vlore positivo di m per il qule = 0 risolvendo l seguente equzione: tn = " " m " m m + = + = = Determinimo l distnz tr l bse dell pittform e il punto di ingresso in cqu, sostituendo m = nell espressione di C : 5 + k + = 5 8, 66m C = - Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi 5

5 Mettiti ll prov 9 REALTÀ E MODELLI Circuito RC In un circuito RC, l quntità di cric Q ccumult in un condenstore in funzione del tempo t è espress dll formul: q^ th = C$ DV $ _ -e - RC i, t dove C è l cpcità del condenstore, D V l differenz di potenzile cui è sottoposto il condenstore e R l resistenz del conduttore inserito nel circuito Scrivi l funzione che esprime l intensità di corrente che scorre nel circuito ricordndo che i^th= ql^th b Scrivi l funzione che esprime l intensità di corrente reltiv un circuito con cpcità C = 5, nf, resistenz R = 00 X e differenz di potenzile D V = 0 V c Clcol l intensità di corrente mssim che può circolre nel circuito del punto precedente d Stbilisci qundo il circuito è percorso dl 70% dell corrente mssim ) i t R e t V ; ) i t 0 e t D - - RC b 50 ; c) i m 0, 05 A; d) t = = $ - : - ^ h ^ h = -, 78 $ 0 sd V R C 0 REALTÀ E MODELLI Il fiume Un geologo st studindo il territorio che circond un trtto di un fiume Tle trtto form un ns che può essere rppresentt dll curv OA del grfico di f^h= + sin^rh nell intervllo 60 Trcci l curv OA nel riferimento Oy e ricv l equzione dell rett OA b Ricv l re del prllelogrmm PQRS in cui risult inscritt l curv OA, cioè il prllelogrmm che h due lti tngenti ll curv e prlleli ll cord OA e due lti sulle rette di equzione = 0 e = c Perché è grntit l esistenz di lmeno un delle rette tngenti ll curv prllele ll cord OA? 6 ) y = ; b) A = ; c) teorem di Lgrnge@ PQRS Vldimir Melnikov/Shutterstock REALTÀ E MODELLI Intensità di corrente Si q^th =- t + t l quntità di cric in funzione del tempo che ttrvers l sezione di un conduttore Il tempo è misurto in secondi e 0 # t # Determin l intensità medi di corrente i m, ossi l vrizione dell quntità di cric in un generico intervllo di tempo 6 tt ; + h@ e nell intervllo 80; B b Determin se esiste un istnte t interno ll intervllo 80; B nel qule l intensità istntne di corrente è ugule quell medi c Determin il mssimo vlore dell intensità di corrente istntne nell intervllo ) im = A; b) t - 06, s; c) i - 5, AB Un sfer h il rggio che ument l pssre del tempo secondo un dt funzione r^th Clcolre il rggio dell sfer nell istnte in cui l velocità di crescit dell superficie sferic e l velocità di crescit del rggio sono numericmente uguli : 8 r ud [Corso di ordinmento 05 - Sessione strordinri - Quesito 8] 6 Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

6 Mettiti ll prov ESERCIZIO SVOLTO Dt l funzione y ( ) = log, determinimo l equzione dell rett tngente l suo grfico condott dl punto di coordinte (0; ) Disegnimo nche il grfico dell funzione e l tngente Si ( ; log ), con 0, un generico punto pprtenente ll curv di equzione y = log P y log α P y = log O 5 α Il coefficiente ngolre dell rett t tngente ll curv in P è dto dll derivt prim dell funzione clcolt in = : yl( ) = $ loge " yl ( ) = $ loge L equzione dell generic rett tngente t è dunque: loge y - log = $ ( - ) Per determinre l equzione di t imponimo il pssggio per il punto (0; ): loge - log = $ ( 0- ) " log = + loge " log = loge " = e L equzione dell rett tngente t cerct è pertnto: loge loge y- loge = e $ ( - e) " y = e $ + Trovre l equzione dell rett perpendicolre l grfico di f^h = -7 nel punto di sciss y- 97 = 0@ [Scuole itline ll estero (Europ) 05 - Sessione ordinri - Quesito 0] 5 REALTÀ E MODELLI Esposizione di qudri Un qudro è ppeso ll prete sopr l livello dell osservtore come indicto in figur Esprimi in funzione di l ngolo i sotteso d + b e l ngolo b sotteso d b Clcol poi: i b lim ; " + b c lim i " 0 + b b θ β + b : b) ; c) D b BestPhotoStudio/Shutterstock Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi 7

7 Mettiti ll prov 6 Dimostr che l funzione f ( ) = ln^ + + h è biunivoc Determin poi l tngente l grfico dell funzione invers nel suo punto di sciss ln 6 y = Funzioni In un pino riferito un sistem di ssi ortogonli Oy sono ssegnte le rette r: y = t e s: y = + t, con t prmetro rele Determin le coordinte del punto P intersezione delle rette r e s in funzione di t, quindi ricv l ordint di P come funzione y = f^h dell su sciss b Stbilito che l funzione richiest l punto è f ^ h = -, studil in modo esuriente, determinndo eventuli sintoti, punti di mssimo/minimo reltivi, flessi, e rppresentl grficmente c Dimostr che dl punto C(; ) non può essere condott nessun rett che si tngente l grfico di f () ;) P t t ; t t, y - - k = - ; b) v: =, o: y = +, m: (0; 0), min: (; 8), nessun flessoe Dte le funzioni f ( ) = e -, g ( ) =-- e i corrispondenti grfici { e c, determin le coordinte del punto di { che si trov ll minim distnz d c 6 ^- ln ; h@ È ssegnt l fmigli di funzioni y = ^-h e b, con, b! R Determin i vlori di e b per i quli l funzione present un minimo reltivo nel punto di sciss = e un flesso obliquo nel punto di sciss = b Ricv l equzione dell rett tngente l grfico dell funzione nel suo punto di flesso 6 h =, b = ; bh y =-e-e@ REALTÀ E MODELLI Mttoncini Un ditt produttrice di mttoncini per le costruzioni deve predisporre un sctol form di prllelepipedo, con due fcce prllele qudrte, che bbi un cpienz di cm Clcol qul è il quntittivo minimo di crtoncino d utilizzre per relizzre l sctol, supponendo che cus dei lembi di crtoncino d incollre per chiuderl occorr circ il 5% in più di crtoncino [0 080 cm ] REALTÀ E MODELLI Torte e profitti Un lbortorio di psticceri produce torte decorte d un noto cke-designer Ogni mese ne vende 50 un negozio 5 l un e le ltre le vende 50 direttmente l pubblico Il lbortorio pg un ffitto mensile di 800, sostiene un spes fiss medi di 500 per consumi e mnutenzione ttrezzture e un spes vribile direttmente proporzionle l qudrto del numero delle torte prodotte, con costnte di proporzionlità pri 0,5 Al lbortorio un tort cost in medi 5 Esprimi il profitto nnuo in funzione del numero di torte relizzte, ipotizzndo che medimente (tenendo conto nche dei periodi di chiusur) ogni mese vengno preprte lmeno 00 torte b Clcol l derivt dell funzione profitto e determin qundo si nnull c Rppresent grficmente l funzione profitto in un opportuno sistem di riferimento e interpret il significto del numero di torte per cui l derivt si nnull [ ) p ( ) =-, , con torte prodotte l mese dove $ 00; b) pl ( ) = 0 per = 0; c) profitto mssimo per = 0] Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi TorriPhoto/Shutterstock

8 Mettiti ll prov REALTÀ E MODELLI Fr Bologn e Prg Un compgni ere pinific un nuov trtt fr Bologn e Prg, di 66 km Il consumo di Jet-A (il combustibile utilizzto) è di circ, L/km e il suo costo è di circ l litro L spes orri complessiv per il personle di bordo è di circ 000 V inoltre previsto un costo vribile proporzionle l cubo dell velocità medi, con costnte di proporzionlità pri 0,00 Individu l funzione che esprime il costo totle dell trtt ere, dovuto tutti i fttori indicti, in funzione dell velocità medi v di volo e determin il punto stzionrio di tle funzione b Che significto h il punto stzionrio trovto l punto precedente, spendo che l velo- Bologn Prg cità medi del volo è di 500 km/h? v ;) cv () = 59, 6 + v ; cl ( v0) = 0 per v0 - km/h; b) v 0 è punto di minimo per c(v), m non h ttinenz con l velocità «rele» dell ereoe Consider l curv di equzione y = ^ + h e rppresentl grficmente individundo, in prticolre, i suoi sintoti e i suoi punti di flesso Determin poi l equzione dell rett t tngente ll curv nel suo punto di flesso [sintoti =-, y = - ; flesso (0; 0); tngente y = 0] Sono dte le seguenti informzioni rigurdnti l funzione f (): lim f ( ) =+, f( - ) =- 5, f( ) =, lim f ( ) =-; "- " + è derivbile su tutto R e fl ( ) 0 per! ] -; - [, ] ; + [, fl ( ) 0 per! ] - ; [, fl( - ) = fl ( ) = 0; l derivt second è continu su tutto R Determin il numero delle soluzioni dell equzione f ( ) =- [] 5 ESERCIZIO SVOLTO Filoncini sul mercto In microeconomi l funzione domnd di mercto fornisce l quntità D di un dto bene che i consumtori sono disposti d cquistre qundo il costo unitrio del bene è È dt l seguente funzione reltiv un prodotto: D^h = + c + b, con, b, c prmetri reli positivi Disegnimo il grfico qulittivo e di un interpretzione delle costnti b Spieghimo se si trtt di un bene essenzile o volutturio c In un città c è un solo fornio che vende filoncini di pne per celici L funzione domnd che esprime il numero di filoncini che vende ogni giorno è l seguente: 00 D^h = Attulmente il prezzo filoncino è di e per rgioni prtiche ogni umento deve essere un multiplo n di 0 centesimi Studimo l funzione V(n) che esprime l vrizione dell domnd in funzione di n rispetto ll domnd inizile D() L funzione D() è un funzione omogrfic e rppresent un iperbole equilter con sintoto verticle di equzione =- c e sintoto orizzontle di equzione y = b Verifichimo che l funzione D() è un funzione omogrfic scrivendol nel seguente modo: D ( ) b + bc + = + c Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi 9

9 Mettiti ll prov Osservimo che - c non è zero del numertore, inftti - bc + bc + =, dove è prmetro rele positivo L prte di grfico che costituisce il modello dell situzione è quell del primo qudrnte (deve essere $ 0) Dl grfico osservimo che l crescere del prezzo diminuisce l domnd, che rimne però sempre superiore b y = b = c y O A ( 0; + b ) c D() = + c + b Il vlore b rppresent l quntità minim che srà comunque vendut, indipendentemente dl prezzo L quntità c + b che si ottiene per = 0 corrisponde l vlore mssimo dell funzione D(), e cioè è l quntità mssim che il mercto è in grdo di ssorbire b Si trtt di un bene essenzile: inftti nche prezzi lti l domnd non si riduce 0 b corrisponde ll quntità minim necessri che viene comunque vendut perché indispensbile ll soprvvivenz (per esempio: cqu, cibo, medicine, energi) c Determinimo l funzione V(n): n 00 Vn ^ h = D` + 0 j - D^h = e n n =- o n + 0, con n! N L funzione V(n) rppresent un rco di iperbole pssnte per l origine, contenuto nel qurto qudrnte e con sintoto orizzontle y =- 00 Il grfico di V(n) mostr qunti filoncini in meno vende il fornio se decide di umentre il prezzo di ciscun filoncino di 0 centesimi Per esempio, un umento di, che corrisponde n = 0, comporterà un clo di vendite pri circ filoncini Il vlore y =- 00 rppresent il mssimo clo di vendite y O n V(n) y = REALTÀ E MODELLI In equilibrio Qundo un bene è disponibile in bbondnz, il prmetro che equilibr l domnd e l offert del bene stesso è il suo prezzo di vendit Se è il prezzo in euro unità di un bene, d^h = e - l legge dell domnd e g^h = l legge dell offert, llor: determin il prezzo di equilibrio del bene con due cifre decimli estte, ossi il prezzo per il qule domnd e offert ssumono lo stesso vlore; b trcci il grfico qulittivo dell funzione h^h= d^h-g^h, distnz tr domnd e offert; c stbilisci per qule prezzo! 6050, si ottiene l mssim distnz tr domnd e offert Che tipo di singolrità rppresent per h() il prezzo di equilibrio del punto? [),75; c) 0,50, punto ngoloso] Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

10 Mettiti ll prov 7 REALTÀ E MODELLI Conigli in pericolo Un btterio prticolrmente diffuso negli llevmenti di conigli ne cus l cecità L rpidità di diffusione dell popolzione btteric è descritt dll legge: B^th = Nln^- t + t+ h, dove N è il numero inizile di conigli presenti nell llevmento, B^th è il tsso di vrizione dell popolzione btteric e il tempo t è espresso in giorni Dopo qunti giorni si h il mssimo dell diffusione dell popolzione btteric? b Dopo qunti giorni l diffusione dell popolzione btteric si rrest? [) giorno; b) giorni] djem/shutterstock 8 REALTÀ E MODELLI Timpno umno L intensità di un suono percepito d un person, misurto in decibel, si ottiene dll P formul 0 log P k, dove P è l pressione sonor dell ond cu- 0 stic e P 0 è l minim pressione rilevbile dl nostro orecchio Un siren emette un segnle sonoro vribile nel tempo secondo l legge P^th = P0 ^ + Ate h, dove A è un costnte positiv -t e t è misurto in secondi Per qunto tempo l intensità ument? b Se un suono h un intensità superiore i 0 db si vverte dolore Qul è il mssimo vlore di A ffinché l siren non provochi dolore? c Qunto vle l intensità dell siren qundo il tempo tende ll infinito? 6 6 ) s; b) A - 8, 6$ 0 ; c) 0dB@ Luis Molinero/Shutterstock 9 ESERCIZIO SVOLTO Ari Dobbimo relizzre un condott di erzione di sezione circolre con rggio r = m L sezione è przilmente occupt d un disco concentrico ll sezione stess e d due segmenti circolri simmetrici, come in figur Detto l ngolo l centro sotteso d ciscuno dei due segmenti circolri, esprimimo in funzione di l re utile S^h, corrispondente ll prte ombreggit in figur b Ricvimo l misur in grdi, pprossimt l primo decimle, dell ngolo per il qule l re utile S^h risult mssim e determinimo l misur in metri qudrti, pprossimt l secondo decimle, di tle re mssim α L superficie utile dell condott è costituit dll differenz tr l re del cerchio di rggio r = m, che vle r, e l somm dell superficie del cerchio centrle, di rggio cos, e del doppio dell superficie di un segmento circolre che sottende un ngolo : S^h = r-rcos -^- sin cos h = rsin - + sin Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

11 Mettiti ll prov b Derivimo l funzione S^h r rispetto d, dove 0, quindi ricerchimo gli zeri dell funzione derivt: Sl^h = rsin - + cos Posto X = cos e Y = sin, ottenimo: ry- + X = 0 Sl^ h r = 0 " ( - " X = 0 X = ; X + Y = + r X = " cos = " = 0 non ccettbile; - r - r - r X = " cos = " = rccos, - rd r + r + r Il vlore trovto corrisponde l punto di mssimo cercto, come possimo verificre osservndo l ndmento del segno di Sl^ h in un intorno del vlore stesso In lterntiv, possimo nche considerre che S^h r si nnull per = 0 e per = ed è positiv ltrove, quindi in - rd, unico punto estremnte interno ll intervllo di definizione, deve ssumere il mssimo reltivo Il mssimo corrispondente è: S = S^h= r sin ^h- $ + sin^h -, m m 0 LEGGI IL GRAFICO Lo scivolo L figur finco rppresent il profilo verticle di uno scivolo lungo il qule sle un mcchinin telecomndt dll posizione inizile A Si hnno le seguenti informzioni: l mcchinin è inizilmente ferm; Dniele zion il telecomndo e l f prtire; Dniele bbndon improvvismente il gioco e l mcchinin si ferm prim di oltrepssre l sommità dello scivolo; l mcchinin inizi indietreggire m non riesce recuperre, scendendo, l su posizione inizile Nel digrmm sottostnte sono rppresentte insieme l distnz s(t) dll origine, l velocità istntne v(t) e l ccelerzione istntne (t) dell mcchinin in funzione del tempo t s(t) (m) v(t) (m/s) (t) (m/s ) A imgedbcom/shutterstock C O 0,5 C C t (s) Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

12 Mettiti ll prov Associ ciscun funzione un delle curve rppresentte, motivndo l tu rispost b In bse i dti riportti sul digrmm, quli sono l mssim distnz dll origine e l mssim velocità istntne rggiunte dll mcchinin? In quli istnti vengono rggiunti tli mssimi? c Per quli vlori dei prmetri, b, c l funzione t s^th =, con t $ 0, t + bt + c può plusibilmente dttrsi i grfici rppresentti? Qule risult l posizione finle dell mcchinin nel limite t " +? 6 ) s^th-c, v^th-c, ^th- C ; b) s ^h= m, v ^h= m/s; c) =, b =-, c = M M ESERCIZIO SVOLTO Borse termiche L dispersione di clore di un bors frigo termic dipende d vri fttori, uno dei quli è l su superficie totle Supponendo di voler produrre borse termiche dell cpcità di 7 litri form di prllelepipedo di dimensioni, e b, determinimone le dimensioni in millimetri in modo d minimizzrne l superficie Il volume di un prllelepipedo di dimensioni, e b è: V = b b Se esprimimo le misure di e b in decimetri e il volume, indifferentemente, in litri o in dm (nelle misure di cpcità, L = dm ), ottenimo: 7 b= 7 " b= L superficie totle del prllelepipedo, e quindi dell bors, è: S( ; b) = $ + $ b + $ b = + 6b Sostituendo b, ottenimo: 8 S ( ) = + Dobbimo trovre il vlore di che minimizz l superficie S() Clcolimo dunque l derivt prim e studimo il suo segno: Sl 8 ( ) = 8-, con S( ) l - " - " " - " S' S 0 + min L superficie minim si ottiene qundo = (misur espress in decimetri) Per questo vlore di le misure dell bors termic sono: = dm " - 6 mm; = dm " - mm; b = = b $ = dm " - 88 mm Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

13 Mettiti ll prov Considert l prbol di equzione y = -, nel primo qudrnte ciscun tngente ll prbol delimit con gli ssi coordinti un tringolo Determinre il punto di tngenz in modo che l re di tle tringolo si minim ; 8 ; ke [Corso di ordinmento 05 - Sessione strordinri - Questito 5] Scrivere l equzione dell circonferenz C che h il centro sull sse y ed è tngente l grfico G f di f^h = - nel suo punto di flesso 6 + y + y+ = 0@ [Corso di ordinmento 05 - Sessione strordinri - Quesito 0] Si P^h = + b+ c Si suppone che P^P^hh = P^P^hh = 0 e che P^h! P^h Clcolre P^0h 8P^0 h =- B [Scuole itline ll estero (Europ) 05 - Sessione ordinri - Quesito ] Un prticell si muove lungo un cert curv secondo le seguenti leggi: ^th= -$ cos^th, y^th= + $ sin^th Disegnre l triettori percors dll prticell per t che v d 0 r secondi e determinre l velocità di vrizione di i, l ngolo formto dll tngente ll triettori con l sse, per t = r secondi :--, rd s D [Scuole itline ll estero (Europ) 05 - Sessione ordinri - Quesito 7] Risolvere il seguente problem posto nel 57 d Ludovico Ferrri Niccolò Trtgli: «Si divid il numero 8 in numeri reli non negtivi in modo che si mssimo il prodotto di uno per l ltro e per l loro differenz» : - +, D [Scuole itline ll estero (Europ) 05 - Sessione ordinri - Quesito 9] Dt l funzione y = ( + b)ln, con e b prmetri reli diversi d zero, trov i coefficienti e b in modo tle che il grfico dell funzione bbi un flesso nel punto F(e; ) e determin poi l equzione dell tngente inflessionle : = e ; b = ; y = e - D In un sistem di ssi crtesini ortogonli Oy è dt l prbol di equzione y = - Considerto il vertice V, sino A e B due punti dell prbol tli che il tringolo AVB risulti rettngolo in V Trov il vlore minimo dell re del tringolo AVB 8 A = u B Studi l funzione y - =, evidenzindo in prticolre le sue intersezioni con gli ssi, i suoi punti di minimo e i suoi flessi Clcol poi il rpporto tr l superficie del trpezio, vente per vertici le intersezioni, diverse dll origine, dell curv con l sse delle scisse e i punti di minimo dell funzione, e l superficie del tringolo formto dlle tngenti ll curv nei suoi punti di flesso e l congiungente i punti di flesso ;intersezioni con gli ssi ^! 6; 0h, (0; 0); punti di minimo ^! ; - h; punto di mssimo (0; 0); 0 9 punti di flesso! ; - k; rpporto = 8 ^ + he Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

14 Mettiti ll prov 50 È dt un funzione f () derivbile 6! R Nell tbell sono rissunte le informzioni di cui si dispone: il segno di f l, l crescenz/decrescenz di f, lcuni vlori prticolri Si s inoltre che l derivt second è continu 6! R e che lim f ( ) =! "! 0 f'() f() ( ; π) (0; ) ( ; ) + Rispondi i seguenti quesiti dndo degut motivzione L equzione dell tngente l grfico nel punto di sciss = 0, potrebbe essere: y =, y =- +, y = +, = 0 b Puoi ffermre che l funzione: h certmente lmeno due punti di flesso; h certmente un punto di flesso; non present punti di flesso; =- e = sono punti di flesso con tngente orizzontle 8) y =- + ; b) h certmente un punto di flessob Copyright 06 Znichelli editore SpA, Bologn Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi 5