Geometria I. Prova scritta del 2 marzo 2016

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Giancarlo Bini
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1 Geometri I Anno ccdemico 0/06 Prov scritt del mrzo 06 Esercizio. Si E il pino euclideo numerico munito delle coordinte cnoniche (x, y). Si consideri il tringolo T con vertici P = (0, 0), P = (, 0), P = (u, v) in E e si e i il lto di T opposto P i. (i) Per ogni i =,,, determinre l equzione crtesin dell rett L i pssnte per P i e ortogonle e i. Chirmente P P = (, 0), P P = (u, v) e P P = (u, v). Dunque, le rette L i hnno equzioni L = {(u )x + vy = c }, L = {ux + vy = c } e L = {x = c } per opportune costnti c, c, c R. I vlori di c, c, c si trovno imponendo P i L i : ottenimo così L = {(u )x + vy = 0}, L = {ux + vy = u}, L = {x = u} (ii) Dimostrre che L L L consiste di un unico punto R (ortocentro) e determinrlo. L intersezione L L è dt dl punto R = (u, ( u)u/v). Sostituendo nell equzione di L, si ottiene che R L. (iii) Dimostrre che le tre medine di T si incontrno in un punto G (bricentro) e determinrlo. Sino {i, j, k} = {,, }. L medin M i uscente d P i è dt d M i = {t i P i + t i (P j + P k ) t i [0, ]}. Dunque un punto che si scriv come combinzione convess P + P + P pprtiene M i se e solo se j = k. Dunque M i M j è dto d un combinzione convess tle che j = k e i = k, ossi (P + P + P ). Ne segue che tle punto pprtiene nche M k e dunque G = (P + P + P ) = ( + u, v) (iv) Determinre i tringoli T per i quli il punto R coincid con il punto G. Imponimo R = G e ottenimo = u e v = u, d cui e = e = e =. Dunque i tringoli T per i quli R = G sono i tringoli equilteri.

2 Esercizio. Si E il pino euclideo numerico. Per ogni R, si consideri l ppliczione ffine S : E E definit come S (X) = M X + v, dove M = e v = 0. (i) Determinre per quli vlori di l ppliczione S si un ffinità e, per tli vlori, determinre l su invers. L ppliczione ffine S è un ffinità se e solo se è invertibile, ossi se e solo se M è invertibile. Questo ccde se e solo se det(m ) 0. Clcolimo det(m ) = det e dunque S è un ffinità se e solo se. = ( ) D ltr prte, se S è invertibile e chimimo Y = S (X), ottenimo Y = M (S (Y)) + v, ossi S Y M v dove M M = e M v =. (Y) = Concludimo che S (Y) = Y + (ii) Per ogni vlore di verificre se l ppliczione S bbi punti fissi. Un punto fisso X soddisf S (X) = X, ossi (M I)(X) = v. Dunque S h punti fissi se e solo se v è nell immgine dell ppliczione linere M I. Clcolimo M I = e dunque det(m I) = ( )( ) = ( )( + ). Ne segue che M I h rngo per. Invece, per = l ppliczione M I h rngo e l su immgine è R(, ), e dunque non contiene v. Quindi, per l ppliczione S h un unico punto fisso; per = l ppliczione S non h punti fissi. (iii) Enuncire il teorem di clssificzione delle isometrie ffini di E. Le isometrie ffini F di E sono di cinque tipi: (0) l identità (fiss tutti i punti); () le rotzioni (fissno un punto e hnno det = ); () le trslzioni (non fissno lcun punto e hnno det = );

3 () le riflessioni rispetto d un rett ffine (fissno un rett ffine e hnno det = ); (4) le glissoriflessioni rispetto d un rett ffine (non fissno lcun punto e hnno det = ). (iv) Determinre per quli vlori di R l ppliczione S si un isometri. Per tli vlori del prmetro dire di che tipo di isometri si trtti. L ppliczione ffine S è un isometri se e solo se preserv le distnze fr coppie di punti, e questo ccde se e solo se l trsformzione M è ortogonle, ossi M T M = I. Clcolimo e M T M = I =. M T M = Per =, bbimo det(m ) = e, per il punto (ii), l isometri S non h punti fissi e dunque è un glissoriflessione.

4 Esercizio. Considerimo lo spzio ffine R come incluso in P (R) trmite l ppliczione j 0 : R U 0 P (R) definit d j 0 (x, y) = [ : x : y], e con rett ll infinito H 0 = {X 0 = 0}. (i-ii) Scrivere l list delle equzioni delle coniche reli ffini in form cnonic (clssificzione meno di ffinità). Accnto ciscun conic ffine C i l punto (i), determinrne i punti ll infinito rispetto ll inclusione j 0. Per ciscuno di tli punti, esibire un successione in C i che converg verso di esso. Nome Equzione Punti impropri Successione Ellisse rele x + y = 0 Ellisse immginri x + y + = 0 Iperbole x y = 0 P ± = [0 : : ±] q ± n = ( n +, ±n) P ± Prbol x y = 0 P = [0 : 0 : ] q n = (n, n ) P Rette reli incidenti x y = 0 P ± = [0 : : ±] q ± n = (n, ±n) P ± Rette immginrie incidenti x + y = 0 Rette reli prllele x = 0 P = [0 : 0 : ] q n = (, n) P Rette immginrie prllele x + = 0 Rett doppi x = 0 P = [0 : 0 : ] q n = (0, n) P (iii) Si C R l conic ffine rele di equzione x y + xy + y = 0 e si Ĉ l su chiusur proiettiv (rispetto ll inclusione j 0 ). Trovre i punti ll infinito di C in P (R) e determinre che tipo di conic ffine si. L mtrice ssocit ll conic C = { f = 0} con f (x, y) = x y + xy + y è c Q = v v T A = 0 0 Notimo che det(a) = 4 < 0 e det(q) = 0. Dunque A e Q hnno rngo e A h segntur null. Ne segue che C consiste di due rette reli incidenti. In tl cso, l su chiusur topologic C coincide con l su chiusur proiettiv Ĉ. L equzione di Ĉ è F(X 0, X, X ) = X X + X X + X 0 X X0 = 0, ottenut omogeneizzndo l equzione di C. I punti ll infinito sono dti d Ĉ H 0 = {F = X 0 = 0}. Risolvendo il sistem X X + X X + X 0 X X0 = 0 X 0 = 0 trovimo i punti ll infinito [0 : : ] e [0 : : ]. (iv) Si consideri or l rett proiettiv H k = {X k = 0}. Per quli k = 0,, l conic ffine Ĉ \ H k è un prbol? Poiché Ĉ consiste di due rette reli incidenti, non è possibile che Ĉ \ L si un prbol per lcun rett proiettiv L, e dunque nemmeno per L = H k.

5 Esercizio 4. Si consideri lo spzio ffine rele R come incluso in modo stndrd trmite j 0 : R P (R) definit d j 0 (x, y) = [ : x : y]. Si l R l rett ffine di equzione x y + = 0 e si C R l conic ffine di equzione x y + xy + y = 0. Definimo l ppliczione f : R \ l R trmite f (x, y) := (x, y) x y + (ii) Determinre le equzioni, nelle coordinte proiettive omogenee cnoniche [X 0 : X : X ], delle chiusure proiettive l e Ĉ in P (R) di l e C. Omogeneizzndo, ottenimo Ĉ = {X X + X X + X 0 X X 0 = 0} e l = {X X + X 0 = 0}. (iii) Determinre l proiettività F : P (R) P (R) che estende f, e un mtrice che l rppresent nelle coordinte [X 0 : X : X ]. L F cerct deve soddisfre F j 0 = j 0 f e dunque F U0 \l = j 0 f j 0, ossi ( F[X 0 : X : X ] = ( j 0 f j 0 )[X X 0 : X : X ] = ( j 0 f ), X ) = X 0 X 0 ( ( X = j 0, X )) [ ] X X = :, = X /X 0 X /X 0 + X 0 X 0 X X + X 0 X X + X 0 = [X X + X 0 : X : X ] per ogni [X 0 : X : X ] U 0 \ l. Dunque l proiettività F cerct è definit dll mtrice M = (che è invertibile, in qunto det(m) = ) meno di multipli. Notimo che tle F è unic. Inftti, è sufficiente prendere un riferimento proiettivo P = {P 0, P, P, P } per P (R) con P i U 0 \ l. Dt un ltr proiettività F che estend f, vremmo che F U0 \l F U0 \l; in prticolre, F e F coinciderebbero sul riferimento P e dunque F F. (iv) Determinre le equzioni di F( l) e di F(Ĉ) nelle coordinte [X 0 : X : X ]. Inizimo notndo che, essendo F un proiettività, F( l) è un rett proiettiv e F(Ĉ) è un conic proiettiv. L rett l corrisponde d un sottospzio vettorile l R di dimensione e di equzione L(X 0, X, X ) = X 0 + X X = 0. L conic Ĉ corrisponde d un cono C R di equzione G(X 0, X, X ) = X 0 + X X + X 0X + X X = 0. Come è chiro dl seguente digrmm R M R L R poiché l = {L = 0}, l immgine M( l) h equzione L M = 0. In modo nlogo, M( C) = {G M = 0}. 4

6 Dll espressione esplicit di F, notimo che F( l) è l rett H 0 = {X 0 = 0}. Per determinre M( C), clcolimo M = e dunque l mtrice ssocit ll conic M( C) è (M ) T QM = = e dunque M( C) = {X 0 6X + X + 8X 0X + X 0 X + X X = 0}. Concludimo che F(C) = { [X 0 : X : X ] P (R) X 0 6X + X + 8X 0X + X 0 X + X X = 0 }. (i) Determinre l immgine di f. L immgine di f è dt d R \ j 0 (F(H 0)). L equzione di F(H 0 ) è dt dll prim rig di M, ossi F(H 0 ) = { 4X 0 + 8X + X = 0}, e dunque j 0 (F(H 0)) è l rett ffine di R di equzione 8x + y 4 = 0. Concludimo che l immgine di f è R \ {8x + y 4 = 0}.

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