5. Quanti blocchi ha la forma di Jordan di f(x, y, z, s, t) = (0, y + z, y + z, t, 0)?

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1 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol 1. Il rngo di è: ; d Le coordinte di 1, 1, 0 rispetto ll bse di C 3 formt d e 3, ie 2, e 1, sono: 0, i, 1 0, i,, 1, 0; d 1, i, Se {e 1, e 2, e 3 } è l bse cnonic di R 3, qule dei seguenti insiemi di vettori è un bse di R 3? {0, e 1, e 2, e 3 } {e 1 + e 2, e 1 + e 3, e 2 + e 3 } {e 1, e 2 }; d Nessun delle precedenti. 4. L dimensione di {f homr 3, R 2 f1, 1, 0 = f1, 1, 1 = 0} è: 6 1 4; d Qunti blocchi h l form di Jordn di fx, y, z, s, t = 0, y + z, y + z, t, 0? 1 2 3; d Si A M 4 4 C non digonlizzbile con utovlori 0, 1, 1. Se 0 h molteplicità lgebric 2 llor: dimker A = 1 dimker A = 2 rngoa > 3 d rngoa L mtrice di f : C C, z iz rispetto ll bse {1, i} su R è: 0 1 i 0 0 i 0 1 ; d 8. L mtrice, in bse cnonic, dell form bilinere bx 1, x 2, y 1, y 2 = x 1 y 1 2x 2 y 2 è: ; d Si b bilr 4 l form simmetric con form qudrtic 2xy + zt. L segntur n 0, n +, n di b è: 1, 2, 1 0, 2, 2 2, 1, 1; d 1, 1, Un sistem linere di 3 equzioni in 5 incognite: non h soluzione h sempre lmeno un soluzione h soluzione solo in certi csi; d h sempre un soluzione unic. 11. Quli dei seguenti vettori sono ffinemente indipendenti tr loro? 1, 0, 0, 0, 0, 1; b 1, 0, 0, 0, 1,, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1; d 2, 0, 0, 2, 1, Se f homv, W con V, W spzi vettorili di dimensione finit, llor: Imm f {0}; b dimimm f > dimker f ker f {0}; d dimimm f dimv. 13. In R 3 stndrd, il pino contenente l rett x y = 2z + 1 = 2z + x ed il punto 1, 2, 1 è: 3, 2, 1 + {x = 1} x = 3 2x + y + 2z = 2; d Tle pino non è univocmente determinto. 14. In R 3 sino v 1 = 1, 2, 3, v 2 = 4, 5, 6, v 3 = 7, 8, 9 e w 1 = 0, 1, 1, w 2 = 1, 0, 1, w 3 = 1, 1, 0. Un f EndR 3 tle che fv i = w i per ogni i: non esiste esiste ed è unic esiste m non è unic; d nessun delle ltre. 15. Dte due rette ffini in R 3, qule ffermzione è fls? se si intersecno llor sono contenute in un pino ffine se sono contenute in un pino llor si intersecno se sono sghembe generno R 3 ; d se le giciture sono uguli llor sono contenute in un pino ffine.. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

2 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod c b 4. d 5. c b 10. c d 13. d b

3 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol 1. L conic di equzione x 1 2 x y 2 1 = 0 è: un iperbole un ellisse un prbol; d un coppi di rette incidenti. 2. Le coordinte di 1 x + x 2 rispetto ll bse 1, 1 + x, x 2 di R 2 [x] sono: 1, 1, 1 2, 1, 1 0, 1, 0 2 ; d 1, 2, Qule di questi è un insieme di vettori linermente indipendenti in R[x]? x 2, x + 1 2, 2x, 1; b 1 + x 78, x x x + 1x 1, x + 1, x 1, 1, x 2 ; d nessuno. 4. Si A =. Qule di questi insiemi è un sottospzio vettorile di di M 0 i 2 2 C? {B B = A T } {B detb = deta} {B AB = 0}; d nessuno. 5. Quli sono gli utovlori dell endomorfismo di M 2 2 R definito d fx = X + X T? ±1 2 0, 2; d 1, 1, 0, Si fx, y, z = 2x, y, x + y + z. Quli dei seguenti è utovettore di f? 2, 1,, 0, 1 1, 2, 3; d Nessuno dei precedenti. 7. L mtrice ssocit fx, y = x + y, x + y rispetto ll bse v 1 = 1, 1, v 2 = 1, 1 è: ; d v 1, v 2 non è un bse. 8. Si b bilr 2 l form simmetric con form qudrtic x 2 y 2 + 2xy. L mtrice di b rispetto ll bse 1, 1, 1, 0 è: ; d Su R 1 [x] con bse 1, x, l mtrice ssocit l prodotto sclre p, q = 6 1 pxqxdx è: /3 1/ ; d /3 1/ { 10. Qunte soluzioni h in Z 2 3 x + z = 0 il sistem? 2 1 0; d 4. x + y + z = L funzione d R 3 in sé definit d fx, y, z = z, y, x è: un rotzione un riflessione un trslzione; d nessun delle precedenti. 12. L immgine di f homr 4, R 3 ssocit ll mtrice h dimensione: 0 2 4; d nessun delle precedenti. 13. Si f homm 2 2 R, R 2 dt d fa = trccia, trccia. L mtrice di f nelle bsi v 1 = 0 1, v 2 = 1 0, v 3 = 0 0, v 4 = 0 0 di M 2 2 R e w 1 = 1, 1, w 2 = 0, 1 di R 2 è: ; d f / homm R, R In R 2 sino P 1 = 1, 0, P 2 = 0, 0, P 3 = 0, 1. Esiste un isometri che mnd P 1 in P 2, P 2 in P 3 e P 3 in P 1 Esiste un ffinità che mnd P 1 in P 2, P 2 in P 3 e P 3 in P 1 ; c Esiste f EndR 2 che mnd P 1 in P 2, P 2 in P 3 e P 3 in P 1 ; d Nessun delle precedenti. 15. In R 3, l distnz tr P = 0, 1, 1 ed il pino π di equzione x y z = 1 è: -1; d 1/ 3. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

4 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod b 3. b 4. c 5. c 6. b 7. d 8. b b 12. d b 15. d

5 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol 1. L conic di equzione y 2 + 2y + 1 = x 2 è: un ellisse rele un coppi di rette incidenti un prbol; d un pino. 2. In R 4, le coordinte di 1, 0, 1, 0 nell bse v 1 = 1, 1, 1, 1, v 2 = 0, 1, 1, 1, v 3 = 0, 0, 1, 1, v 4 = 0, 0, 0, 1 sono: 1, 2, 3, 4 1, 1, 1,, 1, 1, 1; d Nessun delle ltre. 3. Si V uno spzio vettorile su un cmpo K. Qule ffermzione è necessrimente ver? V h un bse dimv < V è infinito; d V h un numero finito di vettori. 4. L dimensione di V = {f homr 3, R 3 Immf = spne 1 } è: 1 3 6; d V non è uno sottospzio di homr 3, R Gli utovlori di fx, y, z = 3z, 2x + y + 4z, z sono: 0, 1, 1 3, 2, 4 1; d 0, 1, 1, Gli utovlori dell derivt second, come endomorfismo di R 2 [x] sono,, 1, 0; d L mtrice dell rotzione in senso ntiorrio di π/4 rispetto ll bse cnonic di R 2 è: ; d L mtrice, nell bse cnonic, dell form bx, y = x 1 y 1 x 1 y 3 + 3x 2 y 1 su R 3 è: ; d k k 1 9. Per quli vlori di k l mtrice rppresent un prodotto sclre su R k 1 k? k > 0 k ]0, 1 2 [ k > 1 2 ; d k < 0 k > 1 2. { 10. In R 4 x 3y + 4z = 0 un bse delle soluzioni del sistem è: {3, 1, 0, 2, 4, 0, 1, 4}; x y + t = 0 b {3, 1, 0, 2, 2, 2, 1, 0} {2, 2, 1, 0, 4, 1, 0, 4}; d {2, 2, 1, 0, 4, 0, 1, 4}. 11. Sino A, B due mtrici 3x3 coefficienti reli. Allor detab =? det A/det B det A + det B detba; d Nessun delle precedenti. 12. L proiezione ortogonle di 3, 2, 1 lungo 1, 1, 1 è: 2, 2, 2 1, 1, 8/ 14, 12/ 14, 6/ 14; d 18/ 14, 12/ 14, 6/ Si f homm 2 2 R, R 2 dt d fa = trccia, deta. L mtrice di f nelle bsi v 1 = 0 1, v 2 = 1 0, v 3 = 0 0, v 4 = di M 2 2 R e w 1 = 1, 1, w 2 = 0, 1 di R 2 è: ; d f / homm R, R L form di Jordn dell rotzione di R 3 di ngolo π intorno ll sse Z è: ; d non esiste L distnz in R 3 tr il punto P = 1, 2, 1 ed il pino π : x + 2y + z + 2 = 0 è: 6 1/ 6 2/ 6; d Nessun delle precedenti. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

6 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod b 2. c d b 9. c c d d

7 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol 1. L conic di equzione x y 2 + 2y + 1 = 0 è: un ellisse un prbol un iperbole; d l insieme vuoto. 2. In R 2 [x], le coordinte di x + 1x + 2 rispetto ll bse {x + 1, x 2 + x, 1} sono: 1, 1, 1 1, 0, 1 2, 1, 0; d 2, 1, Si V uno spzio vettorile. Dei vettori v 1,..., v n V sono un bse di V se e solo se: dimv = n generno V sono lin. ind. e dimv = n; d nessun delle precedenti. 4. Qule di questi è un sottospzio vettorile di R 3? {xy = z} {x 2 = z} {x = y 2}; d nessuno. 5. Qule delle seguenti mtrici non è digonlizzbile? ; d Lo sono tutte le precedenti. 6. Qul è l dimensione mssim dei blocchi di Jordn nell form cnonic di fx, y, z, t = x + y z, x + y, z, t? 4 3 2; d L mtrice ssocit fx, y = x + y, x + y rispetto ll bse v 1 = 1, 1, v 2 = 1, 1 è: ; d v 1, v 2 non è un bse. 8. Si b bilr 3 l form simmetric con form qudrtic x 2 + 2xy + y 2 + 2z 2. L segntur n 0, n +, n di b è: 1, 2, 0 2, 1,, 0, 2; d 1, 1, Quli delle seguenti mtrici rppresent un form bilinere definit positiv? ; d Se A = 1 2 e b = 1 2 qunte soluzioni h in R 4 il sistem AX = b? ; d. 11. Quli delle seguenti espressioni per bx, y, x, y definisce un ppliczione bilinere? x + y 2 + x + y 2 xx + 2xy + yy x 2 + 2xy + y 2 ; d x y. 12. Si V uno spzio vettorile di dimensione finit e si f EndV. se ker f = 0 llor f è suriettiv V = ker f Imm f ker f = Imm f; d Nessun delle precedenti. 13. L form di Jordn dell rotzione di R 3 di ngolo α = π/3 intorno ll sse Z è: cos α sin α 0 sin α cos α 0 cos α sin α ; d non esiste Si A M 2 2 R con un utovlore rele λ. Allor sicurmente: A è digonlizzbile A è tringolbile m λ = 1; d m g λ = m λ. 15. In R 2 col prod. scl. stndrd, l distnz tr 1, 2 ed l rett rt = t, t + 1 è: 2/3 2/3 0; d 1/3. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

8 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod b 2. c 3. c 4. d 5. d 6. c 7. d b 10. d 11. b d 14. b 15. c

9 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol Qul è il rngo di A = su R? ; d Le coordinte di 0, 1, 1 rispetto ll bse {1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1} di Z 3 2 sono: 1,0,,1,0 0,0,0; d 0,0,1. 3. Qule dei seguenti insiemi costituisce un bse per R 2 [x]? 0, 1, x x 2 + 2x + 1, x + 1, xx + 1 0, 1, x, x 2 ; d x 2 1, x 1, x In R 4 l dimensione di spn{x + y = 1, z + 2 = x, t = 3} è: 1 2 3; d Si f EndR 3 tle che f 2 = Id. Allor: 1 è un utovlore di f un tle f non esiste ker f {0} ; d f è digonlizzbile. 6. Gli utovlori di fx, y, z = y, 2x z, y sono: 1, 0, 2 1,, 1, 0; d 1, Si f : R 3 [x] R 3 [x] dt d fp = xp x. L su mtrice rispetto ll bse cnonic è: ; d nessun delle precedenti Si b bilr 3 l form simmetric con form qudrtic x 2 + 2xy + y 2 + 2z 2. L segntur n 0, n +, n di b è: 1, 2, 0 2, 1,, 0, 2; d 1, 1, 1. k 1 k 9. Per quli vlori di k l mtrice rppresent un prodotto sclre su R k k 1 2? Per nessun vlore di k k ]0, 1 2 [ k > 1 2 ; d k < 0 k > Un bse dello spzio delle soluzioni del sistem AX = 0 con A = è: 0 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1; d Nessun delle ltre. 11. Qunte ffinità di R 2 esistono che mndno e 1, e 1 + e 2, 0 in e 2, 0, e 1? 0 infinite 1; d nessun delle precedenti 12. Un ppliczione linere d M 7 5 K K 42 [x] non può: esistere essere iniettiv essere suriettiv; d nessun delle ltre. 13. In R 3 sino v 1 = 1, 2, 3, v 2 = 4, 5, 6, v 3 = 7, 9, 8 w 1 = 0, 1, 1, w 2 = 1, 1, 0, w 3 = 1, 0, 1. Un f EndR 3 tle che fv i = w i per ogni i: non esiste esiste ed è unic esiste m non è unic; d nessun delle ltre. 14. In R 3 sino v 1 = 0, 1, 1, v 2 = 1, 1, 0, v 3 = 1, 0, 1 e w 1 = 1, 2, 3, w 2 = 4, 5, 6, w 3 = 7, 8, 9. Un f EndR 3 tle che fv i = w i per ogni i: non esiste esiste ed è unic esiste m non è unic; d nessun delle ltre. 15. L rett ffine di R 3 pssnte per 1, 3, 6 e prllel st = t + 1, 2t + 2, 3t + 3 è: t, 2t+1, 3t x+y = z 2, y = 2x+1 x y = 2, y = 2x; d t, 2t 1, 3t+3. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

10 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod c 2. b 3. d 4. b 5. b 6. c c 12. c 13. b 14. b 15. b

11 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol 1. L conic x 1 2 x y 2 x = 0 è un: prbol ellisse iperbole; d rett Le coordinte di rispetto ll bse,,, di M R sono: 1, 0, 1, 1 1, 0, 1,, 0, 0, 2; d 1, 1, 1, Qule di queste è un bse di C 2 [x]? i, x + i, x 2 + x + i, x i x i 2, x, x 2 ix 1; c i, x + i, x 2 + 2x + 2i; d x 2 ix, 2x, 2x 2 3ix. 4. Sino V = {x, y, z, t R 4 x = 0, y = z t} e W = spn{0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1}. Qul è l dimensione di V W? 2; d Qul è l dimensione mssim dei blocchi di Jordn nell form cnonic di fx, y, z, t = x y + z, x y + z, x y + z, t? 4 3 2; d Gli utovlori di fx, y, z = x + 2z, y + z, z sono: 1, 2, 3 ±1 ±1, 3; d ± L mtrice ssocit fx, y = 2x + y, y x nell bse di R 2 formt d v 1 = e 2, v 2 = e 1 è: ; d Nell bse v 1 = 0, 1, v 2 = 1, 0 di R 2, l mtrice dell form bilinere simmetric con form qudrtic x 2 2xy + 3y 2 è: ; d x 9. L form bilinere ssocit è definit positiv: x 1 mi sempre solo se x > 0; d solo se x 0. { x z = Qunte soluzioni h il sistem x + y = 1 su Z 2? 0 4 2; d infinite Qule mtrice commut con A =? A ; d In R 4 l ortogonle di V = {x, y, z, t R 4 x = y, z = t} è: {x, y, z, t R 4 x = y}; b spn{e 1 +e 2 +e 3, e 3 e 1 } {x, y, z, t R 4 x y = 0, z +t = 0}; d spn{e 1 e 2, e 3 +e 4 }. 13. In R 3 stndrd, il pino ortogonle ll rett x + y = z + 1 = z + x e pssnte per 0, 1, 0 è: z + y = 1 y = z + 1, x = 0 y + z = 0; d x + y + z = In R 4 col prodotto sclre stndrd sino W = {t + s, t, s, s t : s, t R} e v = 1, 1, 1, 1. L proiezione π W v di v lungo W è: 4, 7, 1, 1 2, 2, 4, 6 4, 1, 1, 2 ; d 6, 3, 5, In R 3 l distnz di 1, 1, 1 dl pino y + z = 0 è: 1 π 2; d 2 2. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

12 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod c c 4. c 5. d 6. b 7. d 8. d c 11. b 12. d c 15. c

13 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol 1. Il rngo dell mtrice A = 2 1 è: 1 2 3; d In R 2 [x], le coordinte di x + 1x + 2 rispetto ll bse {x + 1, x 2 + x, 1} sono: 1, 1, 1 1, 0, 1 2, 1, 0; d 2, 1, Qule dei seguenti insiemi di vettori gener R 2 [x]? tutti 1, x, x 2, 45x 71x 2 x 2, x + 1 2, 114x, 65 ; d x, x + 1 2, x 4x L dimensione di {f EndR 3 fe 1 = fe 3 } è: 6 4 3; d Se 1 è utovlore per un endomorfismo f : R 3 R 3 llor: fx = 1 xfx = x fx = λx; d nessun delle precedenti. 6. Gli utovlori di fx, y, z = x + z, y + z, x + z sono: 0, 1, 2 0, 1, 2 0, 1; d 0, 1, L mtrice ssocit fx, y = 2x, y rispetto ll bse 0, 1, 2, 1 è: ; d Si b bilr 2 l form simmetric con form qudrtic x 2 y 2 + 2xy. L mtrice di b rispetto ll bse 1, 1, 1, 0 è: ; d L form bilinere su R 2 [x] definit d bp, q = p1q1 è: simmetric ntisimmetric un prodotto sclre; d definit positiv Un bse dello spzio delle soluzioni del sistem AX = 0 con A = è: 0 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1; d Nessun delle ltre L invers di è:. 1 1 ; d L proiezione ortogonle di 3, 2, 1 lungo 1, 1, 1 è: 2, 2, 2 1, 1, 8/ 14, 12/ 14, 6/ 14; d 18/ 14, 12/ 14, 6/ In R 3 sino v 1 = 0, 1, 1,, v 2 = 1, 1, 0, v 3 = 1, 0, 1 e w 1 = 1, 2, 3, w 2 = 4, 5, 6, w 3 = 7, 9, 8. Un f EndR 3 tle che fv i = w i per ogni i: non esiste esiste ed è unic esiste m non è unic; d nessun delle ltre. 14. Si A = 0 c d b tle che b si utovlore di A. Allor sicurmente: 0 è utovlore di A; b c è utovlore di A d è utovlore di A; d nessun delle precedenti. 15. In R 3, l distnz tr P = 1, 1, 0 ed l sse Y è: -1; d 2. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

14 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod c 2. c d 6. b b d 11. b b 14. d 15. b

15 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol Si A = i i 1 + i Qul è il rngo di A? 1 2 3; d 4. i 0 i 2. Le coordinte di 1, 2, 3 rispetto ll bse e 3, e 2, e 1 sono: 1, 2, 3 3, 2, 1 1, 2, 3; d 1, 1, Qule insieme gener M 2 2 Z 2?,, c,,, ; d,, , 0 0, Sino dti in R 3 i sottospzi W = {x, y, z R 3 x 2y = 0, x y + z = 0} e V = spn{e 1 + e 2, 2e 1 e 3 }. L dimensione di V W è: infinit 2 1; d Gli utovlori di f EndR 3 definit d fx, y, z = x, z, 0 sono: 0, 1 0, 1,, 2; d 0, Se A M n n R con A ij = i j l tvol pitgoric, llor: A è invertibile; b dimker A = 1 A h n utovlori distinti; d R n h un bse di utovettori di A. 7. L mtrice ssocit fx, y = 2x + y, y x nell bse di R 2 formt d v 1 = e 2, v 2 = e 1 è: ; d L mtrice dell form bx, y = 2x 1 y 1 3x 1 y 2 rispetto ll bse {2, 1, 3, 2} di R 2 è: ; d Si b bilr 3 l form simmetric con form qudrtic 4x 2 + 3y 2 + 2z 2 + 2xy + 2yz. L segntur n 0, n +, n di b è: 3, 0, 0 2, 1, 0 0, 3, 0; d 1, 2, 0. { x y z = Qunte soluzioni h il sistem su C? 4 2; d 0. x + 3iz = i In M 2 2 Z 2, l invers di A = è: ; d A non è invertibile. 12. Un ppliczione linere d M 2 15 K K 28 [x] non può: esistere essere iniettiv essere suriettiv; d nessun delle ltre. 13. In R 3 sino v 1 = 1, 1, 1, v 2 = 1, 1, 1, v 3 = 1, 0, 1 e w 1 = 1, 1, 1, w 2 = 1, 2, 1, w 3 = 2, 0, 2. Un f EndR 3 tle che fv i = w i per ogni i: non esiste esiste ed è unic esiste m non è unic; d nessun delle ltre. 14. Se dv, w è l distnz indott d un prodotto sclre, su V llor: dv, v = 0; b dv, w dv, u + du, w dv, w dv, u du, w; d tutte le precedenti. 15. L equzione dell rett ffine pssnte per 1, 0, 0 e 1, 1, 1 è: ; { x + y + z = 0 x + y = 0 b { x y z = 0 y = 1 { y z = 0 x = 1. ; d { x + z = 0 z y = 1. ; Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

16 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod d 2. b 3. c 4. d d 7. d 8. d 9. c d 12. b d 15. c

17 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol 1. L conic di equzione x y 1 2 4x 2y 1 = 0 è: un prbol un ellisse un coppi di rett incidenti; d un iperbole. 2. Le coordinte di 1, 1, 2 rispetto ll bse {1, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 1} di R 3 sono: 0,0,0 3, 1, 1 3,1,-1; d 1,-1, Qule di questi elementi complet {x 2 2ix 1, 2ix} d un bse di C 2 [x]? x x i 2 ix + 1x 1; d 3i. 4. Qule di questi è un sottospzio vettorile di di R 2? {x + y = 1} {x + y 2 = 1} {x 2 + y 2 = 1}; d nessuno. 5. L form di Jordn di fx, y = 2x, 3x 6y è: ; d nessun delle precedenti Gli utovlori di fx, y, z = x + z, y + z, x + z sono: 0, 1, 2 0, 1, 2 0, 1; d 0, 1, Si f : R 3 [x] R 1 [x] l derivt second. L su mtrice nelle bsi cnoniche è: ; d nessun delle precedenti Si b bilr 3 l form simmetric ssocit ll form qudrtic qx, y, z = x 2 +z 2 +4xy+2xz. L mtrice di b rispetto ll bse cnonic è: ; d L segntur di 0 0 è: 0, 1, 2 1, 1, 1 2, 0, 1; d 0, 2, Qunte soluzioni h in Z 2 3 il sistem { x + z = 0 x + y + z = 0? 2 1 0; d Due mtrici A, B si dicono simili se: AB = BA esiste N t.c. A = N 1 BN; c esiste N t.c. t NAN = B; d Sono entrmbe digonli. 12. L ortogonle di 1, 1, 0 rispetto bx, y = x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + 3x 2 y 3 + 3x 3 y 2 h equzione: x 2y 3z = 0 3x + 3y + 2z = 0 x + y = 0; d x + y = 2z. 13. Si f homr 3 [x], R 2 [x] l derivt. L mtrice di f nelle bsi 1, x, x 2, x 3 e x 2, 1 + x, x è: ; d Si V < M 2 2 C lo spzio generto dlle mtrici ssocite lle rotzioni di R 2 rispetto ll bse cnonic. dim C V = 1 dim C V = 2 dim C V = 4; d dim C V = In R 3, l distnz tr P = 1, 0, 1 ed il pino π di equzione x y z = 1 è: 1/ 3; d 2. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

18 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod d 2. b 3. d 4. d 5. d 6. b 7. b 8. d 9. d b b 15. c

19 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Nome Cognome Mtricol 1. L conic di equzione x 1 2 x y 2 1 = 0 è: un iperbole un ellisse un prbol; d un coppi di rette incidenti. 2. Le coordinte di 1 x 2 in R 2 [x] sono: 1,-2,1 dipende dll bse scelt 1, 1 2 ; d nessun delle precedenti. 3. Sino v 1,..., v k vettori linermente indipendeti di R n, llor: generno k = n k n; d k > n. 4. L dimensione di {f homr 2, R 3 fe 2 spn1, 2, 3} è: 1 2 3; d Si A M 2 2 R digonlizzbile. L endomorfismo di M 2 2 R definito d fm = AM è: suriettivo digonlizzbile iniettivo; d nessun delle precedenti. 6. Qunti utovlori semplici h fx, y, z = x y + 7z, 4x 3y 6z, 3z? 2; d L mtrice di f : C C, z iz rispetto ll bse {1, i} su R è: 0 1 i 0 0 i 0 1 ; d 8. L mtrice dell form bx, y = x 1 y 1 2x 3 y 2 + 4x 2 y 3 su R 3 rispetto ll bse e 1 + e 2, e 1 e 2, 2e 3 è: ; d Se A = M T BM con A, B M n n R simmetriche e M invertibile: det A = 0 det B = 0; b rngo A = rngo B A e B hnno l stess segntur; d tutte le precedenti sono vere. 10. Un sistem linere di 3 equzioni in 5 incognite: non h soluzione h sempre lmeno un soluzione h soluzione solo in certi csi; d h sempre un soluzione unic. 11. Quli dei seguenti vettori sono ffinemente indipendenti tr loro? 1, 0, 0, 0, 0, 1; b 1, 0, 0, 0, 1,, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1; d 2, 0, 0, 2, 1, Qule delle seguenti espressioni per fx rpprensent un isometri di R 2 che mnd 1, 0 in 1, 1 e 0, 0 in 0, 0? 1 X X + X; d Nessun delle precedenti Sino A, B, C tre mtrici tli che AB = C. Allor BA = C C 1 = B 1 A 1 C 1 = A 1 B 1 ; d Nessun delle precedenti. 14. Si f EndM 2 2 R dto d fx = X 1 1. Qul è l dimensione mssim dei blocchi dell form di Jordn di f? 4 3 2; d { L equzione dell rett ffine { di R 3 pssnte per { 1, 0, 0 e 1, 1, 1 { è: x + y + z = 0 x y z = 0 x + z = 0 y + z = 0 ; d. x + y = 0 y = 1 z y = 1 x = 1. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. Telefoni, tblet, smrtwtch, etc... devono essere spenti. Sul tvolo si possono tenere solo i fogli forniti, un penn, libretto e/o documenti. Non si può usre l clcoltrice. Ricordrsi di nnotre le risposte dte sull pposito foglio. Rispost estt 2 punti, errt -1, non dt 0. Si è mmessi ll orle con 18. V consegnto SOLO questo foglio.

20 Ing. erospzile e meccnic. Geometri e lgebr T. Prov del 24/01/2018 cod Risposte estte Cod b 3. c 4. d 5. b 6. b c 9. d 10. c d 13. d 14. c 15. d