Compito di matematica Classe III ASA 26 marzo 2015

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1 Compito di mtemtic Clsse III ASA 6 mrzo 05 Quesiti. Per quli vlori di l espressione può rppresentre l eccentricità di un ellisse? Dovrà risultre 0 < e <, ovvero: 0 < < = < < = < < [Nei csi limiti = prbol]. e = l curv divent rispettivmente un circonferenz e un. Determinre e b in modo che l iperbole di equzione y = x + bx C(; ). bbi centro nel punto Dovrà essere b = 0 e b =, d cui si h immeditmente b = e =. non rppresent un iperbole? Che cos rppre-. Per quli vlori di k l equzione y = x + k x + sent in quel cso? Si osserv immeditmente che per k = 6 l equzione divent y = x + 6 (x + ) = x + x +. In questo cso l equzione stess rppresent l rett y = privt del suo punto di sciss (in qunto ovvimente per x = il denomintore si nnull e l frzione perde significto).. A fferm: Se due iperboli hnno gli stessi sintoti, llor devono vere nche l stess eccentricità. B replic: Ti sti sbglindo: l tu ffermzione è ver se si considerno due iperboli entrmbe venti i fuochi sull sse x oppure due iperboli entrmbe venti i fuochi sull sse y, ltrimenti è fls. C, infine, è convinto che si A si B si stino sbglindo. Chi h rgione? Giustificre degutmente l rispost. Considerndo per semplicità il cso di iperboli centrte nell origine (il cso generle si ricv operndo un semplice trslzione degli ssi nel modo consueto), l equzione cnonic è dt

2 d x y = ± second che i fuochi si trovino sull sse x oppure sull sse y. Nel b primo cso risult e = c ( ) = + b b = +, mentre nel secondo cso risult e = c b = + b ( ). = + b b Dl momento che in entrmbi i csi le equzioni degli sintoti sono dte d y = ± b x, è evidente che il vlore di e non vri se si mntiene costnte il rpporto b (e quindi nche b ), mentre in generle si vrà e e prte il cso prticolre dell iperbole equilter che, come è noto, h e = indipendentemente dll posizione dei fuochi. In definitiv, l ffermzione corrett è quell di B. Problemi. Determinre le equzioni delle tngenti ll ellisse di equzione x + y = 5 nei suoi punti P e P di ordint. Detto A il punto d intersezione di tli rette, determinre l re del qudriltero OP AP. I punti dell ellisse di ordint si trovno ponendo sistem l equzione dell ellisse con quell dell rett y = : x + y = 5 y = = x + = 5 y = = x = ± y = e pertnto P (; ) e P ( ; ). L tngente t in P si può trovre nel modo più rpido medinte l formul di sdoppimento: x x P + y y P = 5 = x + y = 5 = y = x + 5 In lterntiv, occorre imporre che si nullo il discriminnte dell equzione ottenut dl sistem tr l equzione dell ellisse e l equzione dell rett generic pssnte per P (fscio proprio di centro P ): x + y = 5 y = m(x ) y = mx + m

3 x + (mx + m) = 5 ( + m )x 8m(m )x + m 8m = 0 = 0 = 6m (m ) ( + m )(m 8m ) = 0 6m m + 6m m + 8m + 6m + m + m = 0 6m + 8m + = 0 (m + ) = 0 m = e infine l equzione dell tngente t cerct risult y = x + 5 ricvto in modo lqunto più sbrigtivo. come già in precedenz Per l simmetri dell figur (in prticolre rispetto ll sse y), l tngente t nel punto P vrà coefficiente ngolre opposto quello di t ed intersecherà t sull sse y. l su equzione è quindi dt d y = x + 5. ( Per qunto ppen detto risult A 0; 5 ) d: A OP AP = A OP A = ya x P ed infine l re del qudriltero OP AP è dt = 5 = 5 Per disegnre l ellisse, può essere utile riscriverne l equzione in form cnonic: x + y = 5 x 5 + y 5 = L sse mggiore h come estremi i vertici (± ( 5; 0) e l sse minore 0; ± 5 ).. Rppresentre le seguenti curve (ellisse e iperbole trslte) determinndo centro, vertici, fuochi, eccentricità ed sintoti nel cso dell iperbole: x + y 6x + y + 6 = 0 x y + x = 0 Operndo il completmento del qudrto per evidenzire il centro delle due coniche, le equzioni si trsformno nel modo seguente: x + y 6x + y + 6 = 0 x y + x = 0 (x x + ) + y + y + = x + x + y = (x ) + (y + ) = (x + ) y = (x ) + (y + ) = (x + ) L prim equzione rppresent un ellisse con centro C(; ), semisse mggiore (prllelo ll sse y) di lunghezz ( b = e semisse minore di lunghezz =. I vertici sono pertnto situti nei punti V ; ) (, V 5 ; ), V (; 0), V (; ). L semidistnz focle è dt d y =

4 c = b = F (; = e pertnto i fuochi sono situti nei punti F ( ). Infine, l eccentricità risult e = c b =. ; + ) e L second equzione rppresent un iperbole con centro C( ; 0), semisse trsverso (prllelo ll sse x) di lunghezz = e semisse non trsverso di lunghezz b =. I ( ) vertici sono pertnto situti nei punti V, ± ; 0. L semidistnz focle è dt d c = ( + b = + = 5 e pertnto i fuochi sono situti nei punti F 5, ± ). ; 0 Gli sintoti sono le rette di coefficiente ngolre m = ± b = ± pssnti per il centro C, ovvero le rette di equzione y = ± (x + ). Infine, l eccentricità risult e = c = 5 = 5.. Determinre l equzione dell iperbole equilter vente come sintoti gli ssi crtesini e tngente ll rett r di equzione y = x+. Si P il punto di conttto tr l rett r e l iperbole, e si Q il punto dell iperbole di sciss. Determinre l equzione dell circonferenz tngente r in P e pssnte per Q. Indicto con R l ulteriore punto di intersezione dell iperbole con l circonferenz, clcolre l re del tringolo P QR. L equzione cerct è del tipo xy = k e l condizione di tngenz richiede che si nullo il discriminnte dell equzione ottenut dl sistem fr l equzione dell iperbole e quell dell rett r: xy = k x(x + ) = k x + x k = 0 y = x + = 0 = + k = 0 k = e l equzione dell iperbole risult pertnto xy =.

5 Per tle vlore di k l equzione ottenut dl sistem precedente divent x + x + = 0 ovvero (x + ) = 0 e pertnto il punto di tngenz è P ( ; ). Sostituendo poi l ordint di Q nell equzione dell iperbole xy = si ottiene immeditmente Q(; ). Il punto P si trov sull bisettrice del secondo e qurto qudrnte, che è nche sse trsverso (contenente i fuochi) dell iperbole. Per l simmetri dell figur, il centro C dell circonferenz deve pertnto pprtenere nch esso ll medesim bisettrice; l equzione dell circonferenz si può llor determinre prtire dll equzione cnonic x +y +x+by+c = 0 imponendo le condizioni di pprtenenz di P e Q e l ulteriore condizione y C = x C, ovvero = b. Si h: ( ) + + b + c = 0 ( + ) + b + c = 0 = b b c = 8 b + c = 7 = b e l equzione dell circonferenz risult pertnto x + y x + y = 0. = b = c = Per l simmetri già in precedenz evidenzit, il punto R srà simmetrico di Q rispetto ll medesim bisettrice, ovvero si h immeditmente R( ; ). L re del tringolo P RQ (isoscele sull bse RQ per l solit simmetri) può essere clcolt come RQ P H, essendo P H l ltezz (che è nche medin) reltiv ll bse RQ. Considerto che P H gice sull bisettrice ( del secondo e qurto qudrnte e che RQ è prllelo xr + x Q ll ltr bisettrice, ed essendo H ; y ) ( ) R + y Q 5 = ; 5 il punto medio di RQ, si h immeditmente: RQ = (x Q x R ) = P H = (xh x P ) = 9 ed infine A P RQ = 9 7 = 8. Un qudrto con i lti prlleli gli ssi crtesini h i vertici sull iperbole di equzione x y = 9. Determinre i vertici del qudrto. Esiste un qudrto con i lti prlleli gli ssi crtesini, i cui vertici pprtengono ll iperbole di equzione x y = 9? Giustificre l rispost. Dl momento che l equzione x y = 9 rppresent un iperbole con centro nell origine (e fuochi sull sse x, nche se questo non è prticolrmente rilevnte i fini del problem), l simmetri dell figur rispetto ll origine implic che i vertici del qudrto giccino sulle bisettrici dei qudrnti. Si h pertnto immeditmente: x y = 9 x = 9 x = ± x = ± y = ± y = 5

6 e pertnto i vertici del qudrto sono i punti A(; ), B( ; ), C( ; ) e D(; ). Nel secondo cso, con nloghe considerzioni, si vrebbe: x y = 9 x = 9 che ovvimente non mmette soluzioni reli. Il qudrto pertnto non esiste. 5. Determinre l equzione dell ellisse vente centro nell origine e un vertice in V (0; ), spendo che l rett di equzione y = stcc sull ellisse un cord di lunghezz. Determinre poi l re del poligono vente come vertici i fuochi dell ellisse ed i punti dell ellisse stess venti distnz dll origine. L equzione cnonic dell ellisse con centro nell origine è dell form x + y =. Dl ftto b che un vertice si il punto V (0; ) si ricv immeditmente b =. Inoltre, l simmetri dell figur rispetto ll sse y implic che l metà dell cord compres nel primo qudrnte bbi lunghezz e pertnto il punto P ( ; ) deve pprtenere ll ellisse. Imponendo quest condizione (ossi sostituendo le coordinte di P nell equzione), si h: ( ) + = = = 6 e l equzione cerct è pertnto x 6 + y = ovvero x + y = 6. I vertici si trovno nei punti V (0; ), V (0; ), V ( 6; 0) e V ( 6; 0). Dll relzione c = b che esprime l semidistnz focle si ricv poi c = 6 = e pertnto i fuochi (che si trovno sull sse x in qunto > b) sono i punti F (; 0) e F ( ; 0). 6

7 Per determinre i punti dell ellisse venti distnz dll origine bst risolvere il sistem: x + y = 6 x + y = x = ± x = ± x + y = y = y = ± y = [Più brevemente, si potev osservre che il punto P ( ; ) h distnz dll origine ed è quindi esso stesso uno dei punti cercti; i rimnenti tre sono i simmetrici di P rispetto gli ssi e ll origine.] Per l simmetri dell figur, l re del poligono (esgono) d considerre è pri volte l re del trpezio rettngolo OH P F (essendo H l proiezione di P sull sse y). Si h pertnto: A esgono = A OH P F = (H P + OF ) OH = y P (x P +x F ) = ( +) = + 7