Lezione 7: Rette e piani nello spazio
|
|
- Dante Gianni
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Lezione 7: Rette e pini nello spzio In quest lezione i metteremo in un riferimento rtesino ortonormle dello spzio. I primi oggetti geometrii he individuimo sono le rette e i pini. Per qunto rigurd le rette e l loro rppresentzione prmetri l situzione non è molto divers d quell vist per le rette dello spzio. Bisogn solo fmilirizzre on il ftto he poihè simo nello spzio bbimo bisogno di tre oordinte (x, y, z) per individure i punti, m per il resto non è niente di nuovo: fissimo un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e un direzione (un vettore dello spzio) u. Esiste un sol rett he pss per P 0 e prllel u. Anhe in questo so i punti P dell rett r sono quei punti per ui il segmento P 0 P è prllelo l vettore u (ioè il vettore P 0 P è multiplo del vettore u), ossi r = {P R 3 : P 0 P = λu, per qulhe λ R}. u 1 x x 0 Se u = u 2, visto he il vettore P 0 P è ugule y y 0, l ondizione di u 3 z z 0 pprtenenz ll rett può essere sritt equivlentemente ome x = x 0 + λu 1 y = y 0 + λu 2 z = z 0 + λu 3 he rppresentno le equzioni prmetrihe dell rett pssnte per il punto P 0 e di direzione prllel l vettore u, nello spzio. Esempio 56 Determinimo l rett pssnte per il punto (1, 2, 3) e prllel l vettore 1 3. Anhe qui non è molto d fre, bst pplire l formul ppen vist e 5 ottenimo x = 1 t y = 2 + 3t z = 3 5t...ome spete ho un legger preferenz per il prmetro t piuttosto he λ. Oppure potremmo domndri: quli sono le equzioni prmetri dell rett sempre pssnte per il punto (1, 2, 3), m ortogonle l pino xy?... Qui bbimo il punto e i serve l direzione. Abbimo visto he dte due direzioni nello spzio bbimo uno strumento per determinre un direzione ortogonle d esse (il prodotto vettorile). Però in questo so è piuttosto file, si vede ohio: l direzione ortogonle l pino xy è quell dell sse z, ioè 0. Allor le equzioni prmetrihe dell rett in
2 Lezione 7 64 questione srnno x = 1 y = 2 z = 3 + t. Anhe in questo so non è nessun diffioltà determinre le equzioni prmetrihe dell rett pssnte per due punti, per esempio P 1 = (2, 0, 4) e P 2 = (1, 2, 3). Inftti i due punti i bstno per individure l direzione dell rett e poi possimo imporle di pssre per uno dei due. Allor l direzione srà prllel l vettore P 1 P 2 = x 2 x 1 y 2 y 1 = z 2 z e quindi imponendo ll rett di pssre per P 1 bbimo x = 2 t y = 2t z = 4 7t. 1 = 2 7 Inutile dirlo, nhe in questo so non i possimo spettre un solo modo di rppresentre prmetrimente un rett dello spzio (qui vrei potuto segliere il punto P 2 d ui prtire piuttosto he P 1 e vrei ottenuto delle equzioni diverse). Adesso provimo prtire dlle equzioni prmetrihe dell rett he bbimo ppen trovto e, osì ome vevmo ftto per le rette del pino, provimo erre delle relzioni he oinvolgno solo x, y e z eliminndo il prmetro t. Possimo espliitre il prmetro nell prim equzione e sostituirlo lle ltre equzioni t = 2 x y = 2t z = 4 7t t = 2 x y = 4 + 2x z = 3 + 7x = { y 2x + 4 = 0 7x z 3 = 0. Che os rppresentno le ultime due equzioni trovte? Per esempio, he insieme è l insieme dei punti dello spzio he verifino y 2x + 4 = 0? Se quest fosse un equzione nel pino, srebbe un rett y x Figur 47: L insieme dei punti (x, y, 0) he soddisfno y 2x + 4 = 0 m noi stimo erndo i punti dello spzio (x, y, z) he verifino l equzione e il ftto he non ompi l vribile z nell equzione i die solo he non stimo imponendo
3 Lezione 7 65 Figur 48: È un pino! lun vinolo su z. Cioè se prendo un punto (x 0, y 0, 0) he st sull rett del pino xy ppen disegnt (per ui y 0 2x = 0), qulunque ltr tern (x 0, y 0, z) ontinu verifire l equzione e osì, quindi, tutti i punti dell rett ortogonle l pino xy he pss per il punto (x 0, y 0, 0) Esttmente! Ottenimo il pino ortogonle l pino xy he interse il pino xy nell rett he bbimo disegnto nell Figur 47. Anlogmente per iò he rigurd l equzione 7x z 3 = 0, è l equzione di un pino ortogonle l pino xz. In onlusione per desrivere un rett nello spzio senz fr uso di un prmetro devo neessrimente usre due equzioni rtesine e metterle sistem, in ltre prole devo ottenere l rett ome intersezione di due pini. Attenzione! Anhe se in un equzione non i sono espliitmente tutte le vribili, per poterl interpretre geometrimente, bisogn sempre tener onto di qul è l mbiente in ui simo (rett, pino, spzio,...). Più è grnde il nostro mbiente più libertà di movimento bbimo.
4 Lezione 7 66 Esempio 57 L equzione x = 3 può essere interprett in diversi modi: 1. In R è un punto Figur 49: È un punto! 2. In R 2 è un rett Figur 50: È un rett! 3. In R 3 è un pino Figur 51: È un pino! Teorem 58 Al vrire di,b, e d in R, on l ondizione he, b e non sino tutti nulli, le equzioni rppresentno tutti i pini di R 3. x + by + z + d = 0 (3)
5 Lezione Inftti fissimo,b, e d in R, on b 0, e prendimo un punto P 0 = 0 (x 0, y 0, z 0 ) he verifi l equzione (3). Abbimo già potuto osservre he un equzione linere di un sol inognit h un sol soluzione, mentre non ppen le inognite sono più di un è molto file trovre molte soluzioni, nzi infinite. In questo so he i sono 3 inognite, bst dre due vlori rbitrri due di esse e si trov di onseguenz l terz in modo he l equzione si verifit. Allor, visto he P 0 è soluzione, questo signifi he x 0 + by 0 + z 0 + d = 0 d = (x 0 + by 0 + z 0 ). Se quindi sostituimo d nell equzione si h equivlentemente x x 0 x+by+z+d = 0 (x x 0 )+b(y y 0 )+(z z 0 ) = 0 b, y y 0 = 0. z z 0 In onlusione l equzione (3) è sempliemente l ondizione he il vettore P 0 P si ortogonle l vettore b. Ossi non è ltro he l equzione rtesin del pino pssnte per il punto P 0 e ortogonle l vettore Allor sppimo determinre l equzione rtesin di un pino ogni volt he onosimo un vettore d esso ortogonle e un punto per ui deve pssre. Esempio 59 Determinimo l equzione rtesin del pino pssnte per il punto 2 P 0 = (0, 1, 0) e ortogonle l vettore 5. Le omponenti del vettore ortogonle 1 i determinno i oeffiienti di x, y e z e poi gli imponimo di pssre per il punto P 0 : b. 2x 5(y 1) + z = 0 2x 5y + z + 5 = 0. Attenzione: L uni direzione he determin univomente un pino è quell d esso ortogonle. Mentre, ovvimente, se prendimo un direzione prllel un pino e fissimo un punto di questo pino, i sono infiniti ltri pini he pssno per questo punto e prlleli quest direzione, tutti i pini he hnno in omune un rett. Per l stess rgione è nhe hiro he se devo dire qul è l ngolo tr due pini, l os più semplie è quell di gurdre l ngolo tr i due vettori d essi ortogonli. Domnd: Come fio stbilire se due pino sono prlleli?...m è hiro, bst he bbino l stess direzione ortogonle. Essenzilmente bst he i oeffiienti delle vribili x, y e z nelle due equzioni sino proporzionli. Per esempio i pini di equzioni rtesine 2x y+z+1 = 0 e 6x+3y 3z+5 = 0 sono pini prlleli. M sono solo prlleli o sono ddirittur oinidenti?... È file vedere he sono prlleli (ossi hnno l stess direzione ortogonle), m non sono oinidenti! Per esempio il punto (0, 1, 0) pprtiene l primo pino, m non l seondo. Allor? Come dovrebbero essere i termini noti perhé le due equzioni i dino lo stesso pino?...i due termini noti devono essere proporzionli on l stess ostnte di
6 Lezione 7 68 proporzionlità he è tr i oeffiienti! Per esempio le due equzioni 2x y+z+1 = 0 e 6x + 3y 3z 3 = 0 rppresentno lo stesso pino ( 6x + 3y 3z 3 = 3(2x y + z + 1) = 0). Not: Così ome per l equzione rtesin di un rett nel pino, nhe nel so dei pini dello spzio, l equzione rtesin è uni meno di un fttore di proporzionlità. Eserizio 60 Dto il pino π di equzione rtesin x y + 3 = 0 determinre il vlore del prmetro α in modo he il pino π di equzione rtesin si ortogonle π. αx + 2y + 10z = 0 Chirmente il modo più effiiente di imporre l ortogonlità tr π e π è quello di imporl sulle rispettive direzioni ortogonli. 1 α V bene, quindi bst imporre he i vettori 1 e 2 sino ortogonli e 0 10 questo, ovvimente, lo fimo imponendo he si zero il loro prodotto slre: 1 α 1, 2 = α 2 = d ui segue he α deve essere 2. E se io vi domndssi se è un vlore di α per ui il pino di equzione rtesin è ortogonle l pino x + 2y + αz + 3 = 0 (4) x y + 3 = 0? L rispost è NO! Inftti il prodotto slre tr i due vettori ortogonli i pini 1 1 ( 2 e 1 ) è ugule 1 qulunque si α, quindi non è lun vlore di α per α 0 ui i due vettori ortogonli i pini sino tr di loro ortogonli e quindi i due pini non sono mi ortogonli qulunque si l selt di α he fimo. Eserizio 61 Determinre le equzione prmetrihe dell rett r pssnte per i punti P 1 = (1, 2, 5) e P 2 = (2, 3, 4). Quindi determinre il punto di intersezione tr l rett e il pino π di equzione x + y + 3z 2 = 0. Quest domnd in termini meno formli vrei potuto frl nhe nel seguente modo: se nel punto P 1 è un fretto e nel punto P 2 è un oggetto, determintemi il punto in ui questo proiett l ombr sul pino π. Comunque: dobbimo determinre le equzioni prmetrihe dell rett per P 1 e P 2, e questo lo sppimo fre. L direzione dell rett srà P 1 P 2 = 3 2 =
7 Lezione 7 69 e quindi le equzioni prmetrihe srnno x = 1 + t y = 2 + t z = 5 t. Quindi rimne solo d intersere l rett on il pino. Le equzioni prmetrihe dell rett i diono he, qulsisi si il vlore del prmetro t, le terne (1 + t, 2 + t, 5 t) pprtengono ll rett, quindi dobbimo vedere se è, e qul è, un tern osì he pprtiene nhe l pino. L sostituimo x, y e z nell equzione del pino e bbimo (1 + t) + (2 + t) + 3(5 t) 2 = 0 t = 16, ioè solo in orrispondenz di tle vlore l rett to il pino e il punto di intersezione lo trovimo erndo il punto dell rett orrispondente l vlore del prmetro ugule 16, ossi il punto (17, 19, 11) ottenuto sostituendo t = 16 nelle equzioni dell rett. Il seguente eserizio è un buon pplizione del prodotto vettorile ll geometri nliti. Eserizio 62 Determinre l equzione rtesin del pino pssnte per i punti P 1 = (2, 1, 0), P 2 = ( 3, 2, 1) e P 3 = (4, 6, 2). Svolgimento: Sppimo he per tre punti non llineti pss un solo pino. Quindi l domnd è post bene e srà possibile trovre l soluzione. Noi bbimo pito he è un metodo piuttosto rpido ed effiiente he i permette di dedurre l equzione rtesin di un pino un volt he onosimo il vettore d esso ortogonle e un punto per ui questo pss. L prim informzione in questo so non i viene dt espliitmente, quindi dovremo fre un pio di pssggi per dedurl. È presto ftto. Il vettore b ortogonle l pino srà ovvimente ortogolle tutte le direzioni prllele l pino. In prtiolre se onosimo un segmento sul pino questo strà su un direzione ortogonle b. M noi onosimo dei segmenti pprtenenti l pino: i segmenti he unisono i tre punti P 1, P 2 e P 3. Allor bst determinre, per esempio i due vettori P 1 P 2 e P 1 P 3 e erre un vettore d essi ortogonle. Riordimoi he dti due punti (dello spzio) possimo determinre il vettore prllelo l segmento he li unise sempliemente fendo l differenz delle oordinte dei due punti In questo so prtiolre bbimo P 1 P 2 = = P 1 P 2 = x 2 x 1 y 2 y 1. z 2 z P 1 P 3 = 6 1 = Come dievmo questi due vettori sono prlleli l pino. Non rimne he pplire il prodotto vettorile per ottenere un vettore he si ortogonle entrmbi, d segliere
8 Lezione 7 70 quindi ome vettore b. P 1 P 2 P 1 P 3 = = = A questo punto l direzione ortogonle l pino è trovt e bst usrl imponendo nhe il pssggio per uno dei tre punti (per esempio P 1 ) 7(x 2) + 8(y 1) 27z = 0 7x + 8y 27z 22 = 0 quest è l equzione del pino he stvmo erndo!
La parabola. Fuoco. Direttrice y
L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino
DettagliVERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte
Dettagli01 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 6 La retta 1
Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett Unità didtti N 6 L rett rtesin ) Equzione vettorile dell rett 2) Equzioni prmetrihe dell rett 3) Equzione dell rett pssnte per due punti 4) Equzione dell rett pssnte
DettagliEsercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE
Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz
Dettagli13. EQUAZIONI ALGEBRICHE
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più
DettagliFUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo:
FUNZIONI MATEMATICHE Le relzioni mtemtihe utilizzte per desrivere fenomeni nturli, in iologi ome in ltre sienze, possono ovvimente essere le più svrite. Per lo più si trtt di equzioni lineri, qudrtihe,
DettagliEllisse ed iperbole. Osservazione. Considereremo sempre ellissi della forma + = 1 le quali hanno tutte centro nell origine degli
Ellisse ed iperole Ellisse Definizione: si definise ellisse il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l somm delle distnze d due punti fissi F e F detti fuohi. L equzione noni dell ellisse
DettagliSiano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).
OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll
Dettagli8 Equazioni parametriche di II grado
Equzioni prmetrihe di II grdo Un equzione he oltre ll inognit (o lle inognite) ontiene ltre lettere (un o più) si die letterri o prmetri e le lettere sono himte, nhe, prmetri; si suppong he l equzione
Dettagli+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p =
5. Rette e piani in R 3 ; sfere. In questo paragrafo studiamo le rette, i piani e le sfere in R 3. Ci sono due modi per desrivere piani e rette in R 3 : mediante equazioni artesiane oppure mediante equazioni
DettagliIl lemma di ricoprimento di Vitali
Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per
DettagliProva scritta di Algebra lineare e Geometria- 22 Gennaio 2018 = L (( 3, 2, 6)) = L ( 3, 2, 6, 5).
Corso di Lure in Ingegneri Informti (A-Co, J-Pr) - Ingegneri Elettroni (A-Co, J-Pr) - Ingegneri Industrile (F-O) - Ingegneri Gestionle - Ingegneri Elettri - Ingegneri Meni - Ingegneri REA Prov sritt di
DettagliL ELLISSE 1. L'ellisse come luogo geometrico ellisse fuochi. centro
L ELLISSE 1. L ellisse ome luogo geometrio.. Equzione dell ellisse on i fuohi sull sse. 3. Le proprietà dell ellisse.. Clolo dei semissi, dei vertii, dei fuohi e rppresentzione grfi. 5. Equzione dell ellisse
DettagliA.A.2009/10 Fisica 1 1
Mhine termihe e frigoriferi Un mhin termi è un mhin he, grzie un sequenz i trsformzioni termoinmihe i un t sostnz, proue lvoro he può essere utilizzto. Un mhin solitmente lvor su i un ilo i trsformzioni
DettagliIntegrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.
Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione
DettagliAUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.
AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert
DettagliGeometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi
Geometri Anliti Domnde, Risposte & Eserizi L ironferenz. Dre l definizione di ironferenz ome luogo di punti. L ironferenz è un luogo di punti, è ioè un insieme di punti del pino le ui distnze d un punto
DettagliLa rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione
RELAZIONI E FUNZIONI Relzioni inrie Dti ue insiemi non vuoti e (he possono eventulmente oiniere), si ie relzione tr e un qulsisi legge he ssoi elementi elementi. L insieme A è etto insieme i prtenz. L
DettagliRelazioni e funzioni. Relazioni
Relzioni e unzioni Relzioni Deinizione: dti due insiemi A e B, si deinise un relzione R tr A e B un orrispondenz stilit d un proposizione tr un elemento A e B, in tl so si die he è in relzione on e si
DettagliEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equzioni di seondo grdo in un inognit sono uguglinze di due polinomi di ui lmeno uno è di seondo grdo e l ltro è di grdo minore o ugule due.
Dettagli= det b, a, b, c R 3. In quest ottica, il determinante del terzo ordine e caratterizzato dalle seguenti proprieta : a a. c c
Determinnti n = 3. Propriet Possimo rigurdre il determinnte di un mtrie del terzo ordine ome un funzione delle sue olonne: det b = det [, b,,, b, R 3. In quest otti, il determinnte del terzo ordine e rtterizzto
DettagliEsercizi sulle curve in forma parametrica
Esercizi sulle curve in form prmetric Esercizio. L Elic Cilindric. Dt l curv di equzioni prmetriche: xt cos t yt sin t t 0 T ] > 0 b IR zt bt trovre: versore tngente normle binormle vettore curvtur rggio
Dettagli3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)
. Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y
DettagliUnità Didattica N 08 I sistemi di primo grado a due incognite U.D. N 08 I sistemi di primo grado a due incognite
66 Unità idtti N 08 I sistemi di primo grdo due inognite U.. N 08 I sistemi di primo grdo due inognite 01) Coordinte rtesine 0) I sistemi di primo grdo due inognite 0) Metodo di sostituzione 04) Metodo
Dettagli] + [ ] [ ] def. ] e [ ], si ha subito:
OPE OPERAZIONI BINARIE Definizione di operzione inri Dto un insieme A non vuoto, si him operzione (inri) su A ogni pplizione di A in A In generle, un'operzione su A viene indit on il simolo Se (x, y) è
DettagliAppunti di Algebra Lineare. Mappe Lineari. 10 maggio 2013
Appunti di Algebr Linere Mppe Lineri 0 mggio 203 Indie Ripsso di Teori 2. Cos è un mpp linere.................................. 2.2 Aluni ftti importnti................................... 3 2 Eserizi 4
DettagliFormule di Gauss Green
Formule di Guss Green In queste lezioni voglimo studire il legme esistente tr integrli in domini bidimensionli ed integrli urvilinei sull frontier di questi. In seguito i ouperemo del problem nlogo nello
DettagliIng. Alessandro Pochì
Dispense di Mtemti lsse terz Prol ed ellisse Quest oper è distriuit on: Lienz Cretive Commons Attriuzione - Non ommerile - Non opere derivte 3.0 Itli Ing. Alessndro Pohì ( Appunti di lezione svolti ll
DettagliNome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica
Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione
Dettagliriferimento (assi coordinati) monodimensionale (retta orientata, x), bidimensionale (piano, xy) tridimensionale (spazio tridim.
I vettori rppresentti come segmenti orientti (rppresentzione geometric) si intendono con l origine coincidente con l origine del sistem di riferimento (ssi coordinti) eccetto nei csi in cui si prli di
DettagliVerifica di matematica
Nome Cognome. Clsse D 7 Mrzo Verifi di mtemti ) Dt l equzione: (punti ) k ) Srivi per quli vlori di k rppresent un ellisse, preisndo per quli vlori è un ironferenz b) Srivi per quli vlori di k rppresent
DettagliVettori - Definizione
Vettori - Definizione z Verso Origine Modulo Direzione V y Form geometri x Form nliti Un vettore è un ente geometrio definito d: - Direzione: rett sull qule gie il vettore, he ne indi l orientmento nello
DettagliAPPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA
Prof. Luigi Ci 1 nno solstio 13-14 PPUNTI DI GEOMETRI NLITIC Rett orientt Un rett r si die orientt qundo: 1. È fissto un punto di riferimento, detto origine;. Dei due possiili versi in ui un punto si può
Dettaglisi definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x
Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in
Dettaglioperazioni con vettori
omposizione e somposizione + = operzioni on vettori = + = + Se un vettore può essere dto dll omposizione di due o più vettori, questi vettori omponenti possono essere selti lungo direzioni ortogonli fr
Dettagli( ) 1. Scrivi l equazione della parabola ad asse verticale passante per il punto ( ) P e con vertice. Soluzione Dall equazione generica della parabola
. Srivi l euzione dell prol d sse vertile pssnte per il punto ( ) ; P e on vertie ( ) ; V. Dll euzione generi dell prol e dll onosenze del vertie, le ui oordinte generihe sono V ; possimo srivere sostituendo
DettagliEquivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali
Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt
DettagliUnità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di
DettagliEs1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot
Ottore lsse E Verifi sommtiv Cognome Nome rgomenti: onihe, funzione esponenzile e grfii derivti Tempo disposizione: ore Voto Es Es Es Es Es tot.... Considert l ellisse vente ome sse fole l sse, eentriità
DettagliUnità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di seondo
DettagliVERIFICA DI UN CIRCUITO RESISTIVO CONTENENTE PIÙ GENERATORI CON UN TERMINALE COMUNE E SENZA TERMINALE COMUNE.
FCA D UN CCUTO SSTO CONTNNT PÙ GNATO CON UN TMNAL COMUN SNZA TMNAL COMUN. Si verifino quttro iruiti on due genertori: genertori on polrità onorde e un terminle omune genertori on polrità disorde e un terminle
DettagliGeometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi
Geometri Anliti Domnde, Risposte & Eserizi L ellisse. Dre l definizione di ellisse ome luogo di punti. L ellisse è un luogo di punti, è ioè un insieme di punti del pino le ui distnze d due punti fissi
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE
APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE Dt un ppliczione f: V W con V e W spzi vettorili si dice che f è un ppliczione linere o omomorfismo f(v + v 2 ) = f(v ) + f(v 2 ) v, v 2 V f(αv) = α f(v) v V e
Dettaglilim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)
Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)
Dettagli1. Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della famiglia.
. Dt l'equzione: rppresentt in un sistem di oordinte rtesine ortogonli d prbole on sse prllelo ll'sse, determinre -in funzione del oeffiiente - i oeffiienti b e he individuno l fmigli delle prbole pssnti
DettagliLe equazioni di secondo grado
Le equzioni di seondo grdo Un equzione è di seondo grdo se, dopo ver pplito i prinipi di equivlenz, si può srivere nell form on 0,, R Not: è nhe detto termine noto. Esempio Sviluppimo l seguente equzione:
Dettaglicalcolare la ragione q. Possiamo risolvere facilmente il problema ricordando la formula che dà il termine n-esimo di una progressione geometrica:
PROGRESSIONI ) Di un progressione geometric si conosce: 9 9 clcolre l rgione q. Possimo risolvere fcilmente il problem ricordndo l formul ce dà il termine n-esimo di un progressione geometric: n q n Applicimol
DettagliIl piano cartesiano e la retta
Cpitolo Eserizi Il pino rtesino e l rett Teori p. Coorinte rtesine nel pino Stilisi ove si trov isuno ei punti ti. (I I qurnte, II II qurnte, III III qurnte, IV IV qurnte, x sse x, y sse y) A(0, 8) B(,
DettagliParabola Materia: Matematica Autore: Mario De Leo
Prol Definizioni Prol on sse prllelo ll sse Prol on sse prllelo ll sse Prole prtiolri Rppresentzione grfi Esepi di eserizi Rett tngente d un prol Eserizi Mteri: Mteti Autore: Mrio De Leo Definizioni Luogo
Dettagli, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri
DettagliAnno 2. Triangoli rettangoli e teorema delle corde
Anno Tringoli rettngoli e teorem delle orde 1 Introduzione In quest lezione impreri d pplire i teoremi di Eulide e di Pitgor e sopriri quli prtiolrità nsondono i tringoli rettngoli on ngoli prtiolri. Infine,
DettagliArgomento 10 Integrali impropri
Premess Argomento Integrli impropri Nell Arg. 9 è stt introdott l nozione di integrle definito f() d per funzioni ontinue f : [, b] R. Un derog ll ontinuità di f è nhe stt introdott, m solo per onsiderre
DettagliDefinizione. Si chiama similitudine una corrispondenza biunivoca dal piano in sé tale che,
CAPITOLO 6 LE SIMILITUDINI 6 Rihimi i teori Definizione Si him similituine un orrisponenz iunivo l pino in sé tle he presi ue punti qulunque A B el pino e etti A B i loro orrisponenti si h he esiste un
DettagliΔlessio abelli. Studente di Matematica Sapienza - Università di Roma. Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo
Δlessio elli Studente di Mtemti Spienz - Università di Rom Diprtimento di Mtemti Guido Cstelnuovo we-site: www.selli87.ltervist.org EQUAZIONI DI II GRADO. DEFINIZIONI Si die equzione di seondo grdo nell
DettagliINTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma
INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente
DettagliFacoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.
Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione
DettagliGeometria. Domande introduttive
PT, 695 noio Geometri si di mtemti per l MPT 3 Tringoli L pdronnz delle rtteristihe e delle proprietà dei tringoli è fondmentle per pire il pitolo dell trigonometri, uno dei pitoli di geometri non trttto
DettagliGeometria analitica +l piano cartesiano Le funzioni retta, parabola, iperbole Le trasformazioni sul piano cartesiano
Geometri nliti +l pino rtesino Le funzioni rett, prol, iperole Le trsformzioni sul pino rtesino SEZ. P +l pino rtesino Osserv le oorinte ei seguenti punti: (, 0), (, ), C(, +), D + +, E(+, 9)., Che os
DettagliLe equazioni di secondo grado. Appunti delle lezioni di Armando Pisani A.S Liceo Classico Dante Alighieri (GO)
Le equzioni di seondo grdo Appunti delle lezioni di Armndo Pisni A.S. 3- Lieo Clssio Dnte Alighieri (GO) Not Questi ppunti sono d intendere ome guid llo studio e ome rissunto di qunto illustrto durnte
DettagliVerifica per la classe seconda COGNOME... NOME... Classe... Data...
L rett Cpitolo Rett erifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt............................... Rett Rette
DettagliLa risoluzione di una disequazione di secondo grado
L risoluzione di un disequzione di seondo grdo Quest nno le disequzioni srnno importntissime. Non si prlerà però proprimente di disequzioni m di studire il segno di un funzione. In effetti un numero può
DettagliCurve parametriche. April 26, Esercizi sulle curve scritte in forma parametrica. x(t) = a cos t. y(t) = a sin t t [0, T ], a > 0, b R
Curve prmetriche April 6, 01 Esercizi sulle curve scritte in form prmetric. 1. Elic cilindric Dt l curv di equzioni prmetriche r(t) x(t) = cos t y(t) = sin t t [0, T ], > 0, b R z(t) = bt (0.1) clcolre
DettagliFormule di Gauss Green
Formule di Guss Green In queste lezioni voglimo studire il legme esistente tr integrli in domini bidimensionli ed integrli urvilinei sull frontier di questi. In seguito i ouperemo del problem nlogo nello
DettagliITIS GALILEO FERRARIS
ITIS GLILEO FERRRIS Sn Giovnni Vldrno rezzo lunno: Giusti ndre Clsse: IV specilizzzione elettronic e telecomuniczioni L dimostrzione è nelle pgine che seguono Il prolem di Dicemre 3 Si consideri un generic
DettagliMetodologie informatiche per la chimica
Metodologie informtihe per l himi Dr. Sergio Brutti Mtrii Determinnti: metodo dei minori Dt un mtrie n n on elementi ij Il suo erminnte srà dto dll somm dei erminnti di tutti i suoi minori (n-) (n-) ottenuti
Dettagli1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli
INEGRALI DOPPI L prim motivzione per lo studio degli integrli di funzioni di due vribili è il lolo di volumi, in nlogi on l pplizione degli integrli di funzioni di un vribile l lolo di ree. L proedur di
DettagliEsercizi sulle serie di Fourier
Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre
Dettaglij Verso la scuola superiore +l calcolo letterale Monomi Polinomi e prodotti notevoli Equazioni
j Verso l suol superiore +l lolo letterle Monomi Polinomi e prodotti notevoli Equzioni Monomi Il monomio x 4 y è simile : x 4 y 5 +x 4 y x y Due monomi sono simili se hnno l prte letterle ugule e, siome
DettagliEsercizi di Geometria - Foglio 2 Corso di Laurea in Matematica
Esercizi di Geometri - Foglio Corso di Lure in Mtemtic A. Sottospzi ffini. Esercizio A.1 Esempi e non-esempi di sottospzi ffini Determinre quli dei seguenti insiemi sono sottospzi ffini (precisndo di qule
DettagliDisequazioni di secondo grado
Disequzioni i seono gro Cpitolo Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
DettagliStabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità
DettagliLiceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003
Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ
DettagliDeterminanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler
Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte
DettagliDisequazioni di primo grado
Cpitolo Disequzioni i primo gro Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
DettagliCorso di ELETTRONICA INDUSTRIALE
0. Corso di LRONCA NDUSRAL 1 MODULAZON ORAL. CONROLLO D CORRN D NROR A NSON MPRSSA 0. 0. 4 Rppresentzione vettorile Rppresentzione vettorile rsformzioni dirett ed invers 0. 0. 5 6 Rppresentzione vettorile
DettagliKIT ESTIVO MATEMATICA A.S. 2015/16 CLASSI SECONDE IeFP OPERATORE GRAFICO
ZENALE e BUTIINONE KIT ESTIVO MATEMATICA A.S. 0/ CLASSI SECONDE IeFP OPERATORE GRAFICO Al fine di tenere in llenmento le ilità mtemtihe propedeutihe ll lsse terz, onsiglimo lo svolgimento piere di eserizi
DettagliGrafici elementari 1 - geometria analitica
Grfii elementri - geometri nliti Un equzione rppresent un funzione se è possiile metterl in form espliit (rivre l y) ottenendo un sol espressione. Un urv rppresent un funzione se, preso un qulsisi punto
DettagliL IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
prof.ss Cterin Vespi 1 Appunti di geometri nliti L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Sino F1 e F i
Dettagli4^C - MATEMATICA compito n
4^C - MATEMATICA compito n 6-2017-18 Dti i punti A 2,0, 1, B 0,1,3, C 5, 2,0, determin: le equzioni dell rett AB; b l'equzione del pino pssnte per A, B, C; c l'equzione del pino b pssnte per P 1,2, 1 e
DettagliMetodologie informatiche per la chimica
Metodologie informtihe per l himi Dr. Sergio Brutti Alger linere e moleole Rppresentione di speie himihe Speie himihe?? Strumenti informtii etone Mno lier D 3D Moleulr drwing tool Disposiione nello spio
DettagliMomento di una forza rispettto ad un punto
Momento di un fo ispettto d un punto Rihimimo lune delle definiioni e popietà sui vettoi già disusse ll iniio del oso Podotto vettoile: ϑ ϑ sin sin θ Il vettoe è dietto lungo l pependiole l pino individuto
Dettagli1. Ma per t = 0 si ha che A(0) è la matrice nulla che è già diagonale e, quindi, è 3 anche diagonalizzabile.
Esercizio (). Il polinomio crtteristico dell mtrice A(t) è p(λ) λ (TrA)λ + deta ovvero p(λ) λ tλ t t il cui discriminnte è 6(t+)t. Sppimo che un mtrice A di ordine due non digonle è digonlizzbile se e
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 13
Geometri BAER Cnle I Esercizi Alcuni di questi esercizi forse sono un po difficili visto che bbimo ftto quest prte un po in frett, m si può sempre provre. Esercizio. Si scrivno le equzioni delle prbole
Dettagli11. Rango di una matrice.
Rngo di un mtrice Considerimo un mtrice di tipo m n d elementi reli rppresentt nel modo seguente: A = (m-) m (m-) m (m-) m (m-) m (n-) (n-) (n-) (m-),(n-) m(n-) n n n (m-)n mn Per ogni i =,,,, (m-), m,
DettagliRendite (2) (con rendite perpetue)
Rendite (2) (con rendite perpetue) Esercizio n. Un ziend industrile viene vlutt ttulizzndo i redditi futuri dell gestione l tsso del 9% con inflzione null. I redditi prospettici vengono stimnti nell misur
Dettaglij Verso la scuola superiore Verso l algebra astratta
j erso l suol superiore erso l lger strtt +nsiemi unzioni Operzioni inrie e strutture lgerihe Relzioni Logi Proilità +nsiemi ndividu l rispost estt. Un insieme è finito se: è formto d pohi elementi. è
DettagliI S I E. Fermi - Lucca Istituto Tecnico settore Tecnologico
I S I E. Fermi - Lu Istituto Tenio settore Tenologio nno solstio / Progrmm di MTEMTI lsse I Insegnnte Podestà Tizin Gli insiemi numerii I numeri nturli, i numeri interi, i numeri rzionli. ddizione, sottrzione,
DettagliEquazioni di secondo grado Capitolo
Equzioni i seono gro Cpitolo Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................
DettagliMATRICI E DETERMINANTI
MTRICI E DETERMINNTI di vinenzo sudero 1 DEFINIZIONI Per mtrie si intende un tell di elementi ordinti per righe e per olonne Di un mtrie oorre speifire il numero di righe, di olonne e l insieme ui pprtengono
DettagliDefinizioni fondamentali
Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d
Dettaglidr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche
1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici
DettagliNumeri nello spazio n dimensionale
Numeri nello spzio n dimensionle Niol D Alfonso Riertore indipendente niol.dlfonso@hotmil.om Sommrio Questo pper introdue i numeri nello spzio n dimensionle. Vle dire, se nell prim dimensione bbimo i numeri
DettagliAnalisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del quinto appello, 3 luglio 2017 Testi 1
nlisi Mtemti I per Ingegneri Gestionle,.. 6-7 Sritto el quinto ppello, 3 luglio 7 Testi Prim prte, gruppo.. Dire per quli R l funzione f() := sin( 3 ) + 3 è resente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni
DettagliUnità Didattica N 32E Le trasformazioni geometriche. Le isometrie
33 possono essere introdotte in diverse mniere. Prim definizione di isometri Dicesi isometri un similitudine vente come rpporto di similitudine l unità, cioè vente k det A. Questo ci induce d ffermre che
DettagliGeometria I. Prova scritta del 2 marzo 2016
Geometri I Anno ccdemico 0/06 Prov scritt del mrzo 06 Esercizio. Si E il pino euclideo numerico munito delle coordinte cnoniche (x, y). Si consideri il tringolo T con vertici P = (0, 0), P = (, 0), P =
Dettagli11. Rango di una matrice.
Rngo di un mtrice Considerimo un mtrice di tipo m n d elementi reli rppresentt nel modo seguente: A = (m-) m (m-) m (m-) m (m-) m (n-) (n-) (n-) (m-),(n-) m(n-) n n n (m-)n mn Per ogni i =,,,, (m-), m,
Dettagli1 Espressioni polinomiali
1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Lure in Scienze e Tecnologie Agrrie Corso Integrto: Mtemtic e Sttistic Modulo: Mtemtic (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitzioni) Corso di Lure in Tutel e Gestione del territorio e del Pesggio
Dettagli] a; b [, esiste almeno un punto x 0
Anlisi Limiti notevoli sen lim = ( lim + = e Un funzione si die ontinu in qundo, + lim f( = lim f(. + sintoti vertili: se lim f ( = ± oppure lim f ( = ± sintoti orizzontli: se sintoti oliqui: l'equzione
Dettagli