MATRICI E DETERMINANTI

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1 MTRICI E DETERMINNTI di vinenzo sudero 1 DEFINIZIONI Per mtrie si intende un tell di elementi ordinti per righe e per olonne Di un mtrie oorre speifire il numero di righe, di olonne e l insieme ui pprtengono gli elementi L mtrie seguente è formt d 3 righe e 2 olonne di numeri reli, si die llor he è un mtrie 3x2 su R (e si indi on R 3,2 ) = L mtrie si indi on un letter miusol dell lfeto ltino (, B, X, et), l elemento generio dell mtrie è indito on l orrispondente letter minusol seguit d due indii he ne individuno l posizione ll interno dell mtrie, il primo indie rppresent l rig, il seondo l olonn Così nell mtrie sopr indit =3 e 32=-1 Un generi mtrie di m righe ed n olonne srà indit nel modo seguente: = 21 m1 m2 1 n 2n mn Un mtrie si die rettngolre se il numero m di righe differise dl numero n di olonne (m n) Un mtrie si die qudrt se il numero di righe è ugule l numero di olonne, ovvero se m=n; in tl so l mtrie si die di ordine n In un mtrie si him line indifferentemente un rig o un olonn e on linee prllele si intendono due o più righe, o olonne Un line si die identimente null se tli sono tutti i suoi elementi In un mtrie qudrt si definise digonle priniple l digonle he ontiene tutti gli elementi on indii uguli (,,, nn) L seond digonle, quell ontenente gli elementi ( 1n, 2n-1,, n1) si him digonle seondri Un mtrie qudrt si die identi, indit on I, se gli elementi dell digonle priniple sono pri 1 e tutti gli ltri elementi sono nulli Un mtrie qudrt si die simmetri se rimne ugule smindo le righe on le olonne Un mtrie qudrt si die mtrie digonle se tutti gli elementi he non stnno sull digonle priniple sono nulli, ovvero se ij=0 per i j Un mtrie digonle vente tutti gli elementi dell digonle prinipli ugule 1 si die mtrie identi d ogni mtrie se ne può ssoire un ltr, indit on T, ottenut smindo le righe on le olonne Tle mtrie è dett trspost Risult evidente he un mtrie è simmetri se oinide on l su trspost 2 OPERZIONI CON LE MTRICI SOMM DI DUE MTRICI Sino e B due mtrii rettngolri m n: 1n 21 2n = m m mn 1 2 B = 1 2 1n 21 2n m m mn Si definise somm delle due mtrii dte l mtrie C vente per elementi l somm degli elementi orrispondenti delle due mtrii:

2 C = n 1n n 2n m m m m mn mn = + ij ij ij PRODOTTO DI UN NUMERO RELE PER UN MTRICE Il prodotto di un numero rele k per un mtrie è un mtrie vente per elementi il prodotto di k per isun elemento di : = 1 2 1n 21 2n m m mn k R B = k = k k k k k k k 1 k 2 k 1n 21 2n m m mn ij = k ij PRODOTTO RIG PER COLONN Il prodotto rig per olonn di due mtrii e B di ordine rispettivmente m n ed n p è un mtrie C di ordine m p vente per elemento ij l somm dei prodotti degli elementi dell i-esim rig di per i orrispondenti elementi dell j-esim olonn di B: = ij i1 1 j i2 2 j in nj Per poter effetture il prodotto rig per olonn tr due mtrii è ssolutmente neessrio he il numero di olonne dell prim mtrie si ugule l numero di righe dell seond mtrie Per tle motivo il prodotto rig per olonn tr due mtrii è ommuttivo se e solo se le mtrii sono entrme qudrte e dello stesso ordine Esempio Determinre l mtrie prodotto rig per olonn di = R B R = , 3 3, 4 L mtrie C srà un mtrie di ordine 2x4 (due righe e qutto olonne), gli emlementi srnno: = = = = = 7 2 = 9 = = 21 1 = 20 ( ) = = = = = 13 = = = 8 = = = 5 ( ) = = = 2 C = DETERMINNTI DETERMINNTE DI UN MTRICE QUDRT DI SECONDO ORDINE Considert un mtrie qudrt di seondo ordine si him determinnte del seondo ordine il numero = V Sudero Mtrii e determinnti 2

3 det = 21 = 21 PROPRIETÀ Per i determinnti vlgono le seguenti proprietà: 1 Un determinnte non mi, se si smino ordintmente le righe on le olonne; 2 Il determinnte è nullo se sono nulli tutti gli elementi di un line; 3 Il determinnte è nullo se due linee prllele sono proporzionli (e quindi nhe uguli); 4 Se si smino due linee tr loro il determinnte mi di segno; 5 Se si moltiplino gli elementi di un line per un numero k, il determinnte rest moltiplito per k; 6 d un line se ne può ggiungere un ltr, nhe moltiplit per un numero k, senz lterre il determinnte Tli proprietà sono vlide nhe per i determinnti di mtrii qudrte di ordine superiore l seondo DETERMINNTE DI UN MTRICE ORDINE QULSISI Si un mtrie qudrt di ordine 3 Si definise omplemento lgerio dell elemento ij e si indi on ij il determinnte di seondo ordine he si riv dll mtrie privt dell i-esim rig e dell j-esim olonn, on segno mito se l somm di i e j è dispri = = 23 = Se si fiss un rig o un olonn si possono lolre i tre omplementi lgerii dei tre elementi dell line onsidert Si definise determinnte dell mtrie l somm lgeri dei prodotti di isun elemento dell line fisst per il proprio omplemento lgerio Fisst l rig i, il determinnte dell mtrie srà: 3 ij ij i1 i1 i2 i2 i3 i3 j = 1 det = = + + esempio si = 2 1 3, e fissimo l prim rig Il determinnte si lol sommndo lgerimente gli elementi dell prim rig per i rispettivi omplementi lgerii; il termine reltivo ll posizione rig=1 e olonn=2 vrà segno negtivo: = 1 3 = ( 1) = 5 6 = 2 5 = 2 3 = [ ( 2) = 10 3] = ( 13) = = 2 1 = ( 2) 2 ( 1) 1 = = det = + + = = + 39 = Si può generlizzre il proedimento desritto per un mtrie di ordine 3 d un mtrie qulsisi di ordine n: il omplemento lgerio dell elemento ij srà il determinnte di ordine n-1 rivto dll mtrie originri privt dell i-esim rig e dell j-esim olonn Per V Sudero Mtrii e determinnti 3

4 lolre un determinnte di ordine n isognerà quindi lolre n determinnti di ordine n-1, e ioè n( n-1) determinnti di ordine n-2, et, fino d rrivre n! determinnti di seondo ordine 2 REGOL DI SRRUS PER I DETERMINNTI DI TERZO ORDINE Per lolre il determinnte di un mtrie di ordine 3 è possiile riorrere ll seguente regol (di Srrus): dt l mtrie 13 = si riopino le prime due olonne di seguito ll terz, = si lolno i tre prodotti segnti dlle linee digonli = e gli ltri tre prodotti segnti dlle seguenti linee digonli = il determinnte dell mtrie è pri ll somm di questi sei prodotti, i primi tre ol proprio segno, i seondi tre on il segno mito Esempio Rilolimo, on il metodo di Srrus, il determinnte dell mtrie = = [ ] [ ] ( ) det = = = = = 16 V Sudero Mtrii e determinnti 4

5 4 RISOLUZIONE DI SISTEMI LINERI - METODO DI CRMER Desrivimo revemente, omettendo le dimostrzioni, il metodo di risoluzione di sistemi lineri di Crmer onsiderndo inizilmente un sistem linere di due equzioni in due inognite: x + y = x + y = Considerimo l mtrie (dett dei oeffiienti, o mtrie inomplet) di seondo ordine formt di oeffiienti dell prim equzione (prim rig) e di oeffiienti dell seond equzione (seond rig), = 21 Notimo he in tle mtrie l prim olonn è formt di oeffiienti di x delle due equzioni e l seond olonn di oeffiienti di y Clolto il determinnte di, si h: det = 0 il sistem non è risolviile (impossiile o indeterminto) det 0 il sistem è determinto Se il determinnte, quindi, non è nullo è possiile risolvere il sistem Il proedimento per pervenire ll soluzione è il seguente: Si onsider un nuov mtrie X rivt dll mtrie sostituendo l posto dell prim olonn (reltiv ll inognit x) l olonn dei termini noti e se ne lol il determinnte: X = det X = = nlogmente si ostruise l mtrie Y sostituendo l seond olonn on l olonn dei termini noti, e se ne lol il determinnte: Y = det Y = = L soluzione del sistem dto è l seguente: det X x = y = det det det Y Esempio Si dto il sistem 6x y = 4 2x + 3y = 1 = det = = 20 0 il sistem è risolviile X = 4 1 det X = + 1 = Y = det X = 6 8 = 2 L soluzione è, pertnto: V Sudero Mtrii e determinnti 5

6 X x = det Y y = 13 = det = 2 det 20 det 20 = 1 10 nlogo proedimento per un sistem linere di terzo ordine: individut l mtrie dei oeffiienti delle inognite x,y e z, se il determinnte di è diverso d zero si lolno i determinnti delle mtrii X, Y e Z formte, rispettivmente, sostituendo l prim, l seond e l terz olonn di on l olonn dei termini noti L soluzione del sistem è dt d: det X det Y x = y = z = det det Chirmente il metodo di Crmer può essere utilizzto per qulunque sistem linere di n equzioni in n inognite det det Z V Sudero Mtrii e determinnti 6

7 5 VETTORI Un vettore v del pino può essere rppresentto medinte i suoi omponenti v x e v y, un volt stilito un sistem di riferimento rtesino I vettori omponenti sono i due vettori (unimente determinti) seondo le due direzioni ssegnte (nel riferimento rtesino gli ssi x e y) l ui somm è v P P v y v O v x P ssegnti i versori i e j (il versore - vettore di modulo unitrio - individu un direzione orientt) è possiile risrivere i omponenti di v: v x = v xi v y = v yj on v x = OP' on v y = OP" e quindi v = v x + v y = v xi + v yj I numeri reli v x e v y si diono le omponenti del vettore v Le onsiderzioni preedenti i permettono di identifire un vettore del pino on un oppi ordint (v x, v y) di numeri reli Se v (v x, v y) e w(w x, w y) sono due vettori del pino, il vettore somm vrà per omponenti l somm delle omponenti dei due vettori (v x +w x, v y+w y) Se k è u numero rele, il vettore kv prodotto tr lo slre k e il vettore v (v x, v y) h per omponenti (kv x, kv y) Estendendo i risultti preedenti, se un oppi ordint (x, y) di numeri reli individu un vettore del pino, un tern ordint (x, y, z) di numeri reli rppresent un vettore nello spzio, un qudrupl ordint individu un vettore dello spzio quttro dimensioni (spzio non erto immginile!), e, più in generle, un n-pl (ennupl) di numeri reli rppresent un vettore nello spzio n dimensioni (he si indi on R n ) Esempi L insieme di numeri reli (3, -2, 1, 0, 6) rppresent un vettore di R 5 I due vettori di R 6 v(4, -1, -1, 3, 2, 0) e w(-2, 3, 5, -7, 0,1) sommti dnno il vettore z=v+w he h ome omponenti (2, 2, 4, -4, 2, 1) L insieme R n dei vettori n-dimensionli, nel qule sono definite le operzioni di somm e di moltiplizione per uno slre viene detto spzio vettorile (seondo l definizione di spzio he viene dto in lger) L indie n N è dett dimensione dello spzio vettorile R n DIPENDENZ E INDIPENDENZ LINERE Dti m vettori di R n v 1, v 2, v 3,, v m i numeri reli k 1, k 2, k 3,, k m, si die ominzione linere di tli vettori seondo gli slri dti il vettore di R n : v = k 1v 1+k 2 v 2+k 3 v 3++k mv m se k 1, k 2, k 3,, k m sono tutti nulli, il vettore v è il vettore nullo O(0,0,0,,0), m è possiile ottenere il vettore nullo nhe on un ominzione linere dei vettori ssegnti on numeri reli non tutti nulli: dti i vettori v 1(2, -6, -4) e v 2(-3, 9, 6) e i numeri reli k 1=3 e k 2=2 ottenimo ome ominzione linere 3 (2, -6, -4) + 2 (-3, 9, 6) = (6, -18, -) + (-6, 18, ) = (6-6, , -+) = (0, 0, 0) Vi sono dei vettori, tuttvi, per ui è impossiile ottenere il vettore nullo utilizzndo slri diversi d zero Per tli vettori si d l seguente definizione: Gli m vettori di R n v 1, v 2, v 3,, v m si diono linermente indipendenti (li) se e solo se l loro ominzione linere è il vettore nullo soltnto on slri tutti nulli Se iò non de i vettori si diono linermente dipendenti (ld) Esempio V Sudero Mtrii e determinnti 7

8 Sino v 1(2, 5) e v 2(4, -3) due vettori di R 2 Considerti e numeri reli un loro ominzione linere srà espress d v = v 1 + v 2 = (2, 5) + (4, -3) = (2+4, 5-3) ffinhé il vettore v poss essere il vettore nullo deve essere ontempornemente 2+4=0 e 5-3=0, ovvero = 0 = 2 * = = 0 13 = 0 = 0 = 0 ioè v è il vettore nullo se e solo se e sono entrmi nulli, quindi i due vettori sono li Se il numero dei vettori super l dimensione dello spzio ui pprtengono (es tre vettori di R 2, sette vettori di R 5, et) llor i vettori sono siurmente ld Se onsiderimo in R 2 i versori direzionli i(1, 0) e j(0, 1), è file vedere he tli vettori sono li Ne segue he qulunque vettore del pino può essere onsiderto un ominzione linere dei vettori i e j Es v(3, -2) (3, -2) = (3+0, 0-2) = (3, 0) + (0, -2) = 3(1, 0) -2(0, 1) 3i -2j Si die, in questo so, he i vettori unitri i e j formno un se di R 2 Più in generle l n-pl dei vettori di R n 1(1,0,0,,0), 2(0,1,0,,0), 3(0,0,1,,0), n(0,0,0,,1) formno un se di R n Es v R 5, v(5, -2, 0, 1, -3) = V Sudero Mtrii e determinnti 8