1. Ma per t = 0 si ha che A(0) è la matrice nulla che è già diagonale e, quindi, è 3 anche diagonalizzabile.

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1 Esercizio (). Il polinomio crtteristico dell mtrice A(t) è p(λ) λ (TrA)λ + deta ovvero p(λ) λ tλ t t il cui discriminnte è 6(t+)t. Sppimo che un mtrice A di ordine due non digonle è digonlizzbile se e solo >. Per cui se A(t) non è già digonle è digonlizzbile se e solo se 6(t+)t > ovvero t e t >. M per t si h che A() è l mtrice null che è già digonle e, quindi, è nche digonlizzbile. Per cui l mtrice A(t) è digonlizzbile se e solo se t > Per t si h A() 6 utovlori sono λ 5 e λ.. e p(λ) λ λ 5 (λ 5)(λ + ). Quindi, gli Gli utovettori reltivi ll utovlore λ 5 sono tutte e sole le utosoluzioni del sistem linere omogeneo (A 5I)X ovvero 6 x. Quindi, tutti e 6 y soli i vettori non nulli per i quli è x y. Un utovettore è quindi (, ). Gli utovettori reltivi ll utovlore λ sono tutte e sole le utosoluzioni del sistem linere omogeneo (A +I)X ovvero 6 6 x. Quindi, tutti e soli i y vettori non nulli per i quli è x + y. Un utovettore è quindi (, ). Infine, un bse di R formt d utovettori di A() è B {(, ), (, )}.

2 Esercizio (). Un tern di prmetri direttori dell rett r è dt dlle componenti del vettore u (,, ). Un tern di prmetri direttori dell rett s è dt dlle componenti del vettore v (, 4, ). Siccome i vettori u e v non sono prlleli, le rette r e s non sono prllele. L distnz tr le due rette è ugule ll distnz dell origine O pprtenente ll rett s dl pino π pssnte per l rett r e prllelo ll rett s. Il pino π pprtiene l fscio di pini pssnti per r per cui l su equzione si ottiene combinndo linermente α(5x + y + ) + β(x + z) le equzioni di r. Quindi, π h un equzione del (5α+β)x + αy + βz + α con (α, β) (, ). Il vettore w (, b, c) (5α+β, α, β) è ortogonle l pino π. L rett s è prllel l vettore v (, 4, ) (l, m, n). Il pino π è prllelo ll rett r se e solo se w v cioè w v ovvero l m +cn. D quest ultim ottenimo (5α+β) 4α + 4β. Infine si h α + β. Un su utosoluzione è dt d (α, β) (, ). Per cui un equzione del pino π è x + y z +. Infine, l distnz dell origine O(,, ) dl pino π è d( O, π ) x y z + d () + () () ( ) Quindi, l distnz tr le due rette è.

3 Esercizio (). L re del tringolo richiesto è ugule ll metà dell re del prllelogrmmo vente i segmenti AB e A come lti. Se indichimo con u [AB] (, 5) e con v [A] (6, 4, 6) llor sppimo che l re del prllelogrmmo è ugule l modulo (lunghezz) del vettore w u v ( indic il prodotto vettorile). i Siccome w u v det 6 j 4 k 5 si h che w (,, 6) (, 6, ). 6 Poiché il modulo di w è 46, l re del tringolo è 46. Il vettore (, 6, ), essendo prllelo l vettore w, è ortogonle l pino cercto. Siccome A è un punto del pino si h subito che un equzione del pino è dt d (x ) + 6(y ) + [z ( 6)] ovvero x + 6y + z. Esercizio (4). Le equzioni dell rett r (prllel ll'sse Z) sono x 4 y. Un pino contenente r h un'equzione del tipo (x 4 ) (y ) (, b) (, ). Un tern di prmetri direttori dell'sse X è dt d (l, m, n) (,, ). Utilizzndo l formul per il clcolo del seno dell'ngolo rett-pino si ottiene sinϑ l m n l + m + n d cui, con semplici clcoli, b. Scelto b si h che / ±. L soluzione (, b) (, ) fornisce il pino π : x + y 4. L soluzione (, b) (, ) fornisce il pino π : x y.

4 Esercizio (5). A λ et λ 4 λ p A (λ) det(a λi) ) λ 6λ + 8 (λ )(λ 4) x y x y x y Quindi, gli utovettori reltivi λ sono tutte e sole le coppie α(, ) α R {}. Di conseguenz, gli utovettori reltivi λ 4 sono tutte e sole le coppie β(, ) β R {}. Prendendo gli utoversori u (, ) e u (, ) (che si ottengono con α β ) si h che l mtrice [u u ] è un mtrice ortogonle con det. Effettundo l rotzione x x' y y' si ottiene λ (x ) + λ (y ) + d x + e y + 7 dove [d e ] [ 6] [ 4 ] (x ) + 4(y ) x 4 y + 7 (x ) + 4(y ) + 7 (x ) + 4(y ) + 4 (x ) + (y ) Effettundo l trslzione X x' Y y' si ottiene l equzione cnonic X + Y (ellisse immginri)

5 Esercizio (6). Siccome il centro dell sfer si trov sull rett r le sue coordinte sono (x,, 5). Imponendo che l distnz del centro dl pino π tngente si ugule l rggio si h d(, π ) x y z + d x ( ) + (5) 5 + ( ) + d cui si ottiene x + 6 ovvero x ± 6. Per cui i due centri sono (,, 5) e ( 5,, 5). Infine le due sfere sono dte d S : (x +) + (y + ) + (z 5) 4 e S : (x +5) + (y + ) + (z 5) 4.