Struttura dello spazio della geometria euclidea e della fisica classica. Spazio affine euclideo

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1 Struttur dello spzio dell geometri euclide e dell fisic clssic. Spzio ffine euclideo Descrizione dell struttur del pino E 2 (e dello spzio E 3 ) dell geometri e dell fisic clssic come Spzio Affine Euclideo. Ci sono due tipi di enti: i punti e i vettori. Il pino E 2 (lo spzio E 3 ) è costituito d punti, denotti con lettere miuscole come A, B, C,... ecceter: E 2 R Q Figur : Il pino E 2 come insieme di punti. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 1/14 I vettori che si possono pensre come lunghezze orientte, o segmenti orientti costituiscono uno spzio vettorile (detto nche spzio vettorile delle trslzioni di E 2 ). Denotimo i vettori con lettere minuscole:, b, c... ecceter. c b Figur : orientte). Lo spzio vettorile costituito di vettori (lunghezze Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 2/14

2 È definit l somm di vettori e l moltipliczione di un numero per un vettore: 0 0 b + b λ roprietà 1 + b = b + 2 ( + b) + c = + (b + c) = 4 + ( ) = 0. 5 (λ + µ) = λ + µ 6 λ ( + b) = λ + λ b 7 λ (µ ) = (λµ) 8 1 = per ogni, b, c, λ, µ R. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 3/14 A ogni coppi ordint di punti, Q in E 2 è ssocito uno e un solo vettore, denotto nche Q oppure Q Se Q =, si scrive nche: Q = + E 2 Q Q Q Figur : Il vettore Q (denotto nche Q ) è il vettore d Q, ossi il vettore che rppresent l trslzione che port in Q. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 4/14

3 Rissumendo, usimo queste due notzioni: 1 L differenz di due punti, Q è un vettore: unto unto = ettore Q = ettore d Q 2 L somm di un punto e di un vettore è un punto: unto + ettore = unto + = unto ottenuto d con l trslzione Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 5/14 (Identità di Chsles). er ogni, Q, R in E 2, Q + QR = R E 2 Q R Q R QR Q + QR = R Figur : Identità di Chsles. L trslzione d Q, seguit d quell d Q R, è ugule ll trslzione d R. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 6/14

4 È definit l lunghezz di ogni vettore: > 0, se 0. Se ϑ è l ngolo tr e un ltro vettore b, si definisce il prodotto sclre o prodotto interno b trmite l formul: b = b cos ϑ (1) Allor: 1) Il prodotto sclre di un vettore con se stesso è ugule l qudrto dell su lunghezz: = 2 (Qudrto dell lunghezz) 2) Due vettori e b sono ortogonli se, e solo se, b = 0. Il prodotto sclre è bilinere e simmetrico: b = b (2) (λ) b = λ ( b) (3) ( ) b = 1 b + 2 b (4) Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 7/14 L lunghezz dei vettori permette di definire l distnz tr punti: dist(, Q) = Q In questo modo, il pino ffine E 2 (lo spzio ffine E 3 ) divent uno spzio metrico. (otremo llor prlre di ree, volumi, rotzioni, riflessioni, distnz tr rette sghembe ecceter). FINE dell descrizione dello spzio E 3 (e del pino E 2 ) dell geometri e dell fisic clssic come Spzio Affine Euclideo. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 8/14

5 Osservzione sul prodotto sclre In geometri elementre (in dimensione due e tre), si prte dl concetto di lunghezz e poi si definisce il prodoto sclre. Invece, in un contesto più strtto (d esempio, in dimensione rbitrri) prim si definisce il prodotto sclre come un qulunque ppliczione bilinere simmetric definit positiv (cioè, con > 0 per ogni 0), e poi si definisce l lunghezz come = e si definisce l ngolo ϑ tr due vettori ttrverso l formul cos ϑ = b b Quest definizione h senso perché 1 < b b Disuguglinz di Schwrz: < 1 per l: b b Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 9/14 L scelt di un punto origine identific i punti con i vettori O O E 2 L scelt di un punto O in E 2 come origine, identific ogni punto E 2 con il vettore di posizione O d O. Intuitivmente: Il punto è l punt del vettore di posizione O. In termini rigorosi: Fissto un punto O come origine, l ppliczione E 2, O, è biunivoc e vettorilizz lo spzio ffine E 2, cioè lo f diventre uno spzio vettorile (isomorfo ). Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 10/14

6 roiezione di un vettore lungo un ltro Teorem (roiezione di un vettore lungo un ltro) Si b, b 0. Ogni si scrive in modo unico come b = + (5) con prllelo (cioè, multiplo di) b e ortogonle b. Il vettore b = si chim proiezione di lungo (l rett di) b. Si h: ( ) b = b (6) b b In prticolre, se u = 1, u = ( u) u (Se u = 1). Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 11/14 Dimostrzione (roiezione di un vettore su un ltro) Si deve vere b = tb, per un opportuno sclre t R. Il vettore b = tb è ortogonle b se e solo se ossi (per bilinerità) ( tb) (b) = 0 b t(b b) = 0 Quest è un equzione di primo grdo in t. oiché b b 0 (perché b 0), h un unic soluzione t = b b b Dunque, l proiezione ortogonle di lungo b è ( ) b b = b (7) b b Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 12/14

7 Come si introducono le coordinte crtesine ortogonli u 1 u 3 E 3 O u 2 R 3 O = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 (x 1, x 2, x 3 ) 1 Si fiss un punto origine O. 2 Si fiss un bse ortonormle di vettori B = (u 1, u 2, u 3 ). (ettori due due ortogonli, ciscuno di lunghezz 1). 3 Ogni punto E 3 si identific con il vettore O, che si scrive, in modo unico, come (x 1 u 1 = u1 ( O) ecceter): O = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 4 L tern (x 1, x 2, x 3 ) R 3 dà le coordinte crtesine ortogonli del punto. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 13/14 Il prodotto sclre in coordinte crtesine Teorem In coordinte crtesine ortogonli, il prodotto sclre di due vettori = ( 1, 2, 3 ) e b = (b 1, b 2, b 3 ) è dto d b = 1 b b b 3 Si (u 1, u 2, u 3 ) un bse ortonormle: u i u j = δ ij (δ di Kronecker) vle 0 se i j, e vle 1 se i = j. Allor: b = ( 1 u u u 3 ) (b 1 u 1 + b 2 u 2 + b 3 u 3 ) 3 = i b j u i u j = i,j=1 3 i,j=1 i b j δ ij = 3 i b i = 1 b b b 3 i=1 Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Geometri (rte 1) 14/14