Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata. Università di Salerno. Lezione n 3

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1 Lezioni di Ricerc Opertiv Corso di Lure in Informtic ed Informtic pplict Richimi di lgebr vettorile: - Mtrici ed Operzioni tr mtrici - Invers di un mtrice Lezione n - Risoluzione di un sistem di equzioni lineri - Metodo di Guss- Jordn Università di Slerno Prof. Cerulli Dott.ss Gentili Dott. Crrbs

2 Mtrici Definizione (Mtrice): Prende il nome di mtrice di ordine mn un tbell di elementi ordintmente disposti su m righe ed n colonne. Notzione: Indicheremo le mtrici con lettere miuscole, B,. o per esteso con l seguente notzione:

3 Mtrici: Notzione 7 è un mtrice () generico elemento ij dell mtrice nell rig num. di righe num. di colonne { } i e nell colonn j ij mn

4 7 Mtrici: Notzione Oppure come insieme di vettori colonn: (,,, ) si può indicre nche come insieme di vettori rig:

5 Mtrici Se m n l mtrice si dice rettngolre; si dice qudrt se mn. In un mtrice qudrt di ordine n gli elementi ii (i, n) costituiscono l digonle principle. 7 7 B mtrice rettngolre mtrice qudrt

6 Moltipliczione per uno sclre { } ij mn k sclre { } k ij k mtrice (mn) 7 k * k Esempio

7 ddizione tr mtrici mn { } { } B b ij mn { } + B C C c ij mn c ij ij + b ij i,,m j,,n ij Condizione necessri: le mtrici devono vere le stesse dimensioni Esempio: B + B

8 Moltipliczione tr mtrici { } { } B b ij mn ij np i Condizione necessri c ij,,m n k j ik b kj,,p Ciscun elemento di C è il prodotto interno di un rig di ed un colonn di B

9 Moltipliczione tr mtrici - - B Esempio 9 B C

10 D ricordre: Moltipliczione tr mtrici mn { } { } B b ij. Il prodotto B è definito solo se nq. B è llor un mtrice mp. Il prodotto B è definito solo se mp. B è llor un mtrice qn ij. NON necessrimente vle l proprietà COMMUTTIV qp B B B

11 lcune mtrici prticolri. nn I Mtrice Identit I I mm mn nn mn. nn n n n nn Mtrice Tringolre superiore

12 Trspost di un mtrice Dt un mtrice { ij } (mn), l su mtrice TRSPOST t è un mtrice (nm) ottenut invertendo le righe con le colonne: T

13 Proprietà Trspost di un mtrice. ( T ) T T T ( + B) + B T. (qundo l somm è definit) ( T B ) B T T. (qundo il prodotto è definito)

14 Mtrici prtizionte Un mtrice (mn) possimo nche vederl prtiziont in sottomtrici. hnno dimensione hnno dimensione

15 Operzioni elementri Dt un mtrice (mn) è possibile definire lcune operzioni sulle righe e sulle colonne utili risolvere un sistem di equzioni lineri. Operzioni elementri sulle righe (colonne) di un mtrice sono: - SCMBIO: scmbio dell rig i con l rig j - MOLTIPLICZIONE: moltipliczione di un rig per uno sclre (diverso d zero). - SOSTITUZIONE: sostituzione dell rig i con l somm dell rig i e dell rig j moltiplict per uno sclre

16 Invers di un mtrice Si un mtrice qudrt, se esiste B nn nn B I B I mtrice qudrt tle che B è dett mtrice invers di Ricord: - l invers di un mtrice (se esiste) è UNIC ed è indict con - - se un mtrice mmette l invers llor è dett mtrice NON SINGOLRE - un mtrice è non singolre se e solo se le rige sono linermente indipendenti o equivlentemente se e solo se le colonne sono linermente indipendenti

17 Clcolo dell invers di un mtrice L invers di un mtrice qudrt può essere clcolt ttrverso un numero finito di operzioni elementri nel seguente modo:. Si consider l nuov mtrice (,I). Si effettuno un serie di operzioni elementri sulle righe e sulle colonne di quest nuov mtrice in modo tle che: divent l mtrice identità I I divent l mtrice invers -

18 Considero l nuov mtrice Divido l prim rig per. ggiungo l nuov rig ottenut ll second. Sottrggo l rig ottenut dll terz Clcolo dell invers di un mtrice esempio (/)

19 Clcolo dell invers di un mtrice esempio (/) - - Moltiplico l second rig per /. Moltiplico l nuov rig ottenut per -/ e l ggiungo ll prim rig. Moltiplico l nuov rig ottenut per / e l ggiungo ll terz rig. - -

20 Moltiplico l terz rig per /. Moltiplico l nuov rig ottenut per -/ e l ggiungo ll second rig. Moltiplico l nuov rig ottenut per -/ e l ggiungo ll prim rig. Quindi l invers in questo cso esiste Clcolo dell invers di un mtrice Esempio (/)

21 Clcolo dell invers di un mtrice metodo lterntivo Il determinnte di un mtrice qudrt è uno sclre che ne sintetizz lcune proprietà lgebriche. Viene denotto con det() e si clcol con l seguente formul: fisst un rig i - -

22 Clcolo dell invers di un mtrice metodo lterntivo Il determinnte di un mtrice qudrt è uno sclre che ne sintetizz lcune proprietà lgebriche. Viene denotto con det() e si clcol con l seguente formul: fisst un rig i - -

23 Clcolo dell invers di un mtrice metodo lterntivo Il determinnte di un mtrice qudrt è uno sclre che ne sintetizz lcune proprietà lgebriche. Viene denotto con det() e si clcol con l seguente formul: fisst un rig i - -

24 Clcolo dell invers di un mtrice metodo lterntivo - - Mtrice trspost dei cofttori

25 Clcolo dell invers di un mtrice metodo lterntivo - -

26 Clcolo dell invers di un mtrice metodo lterntivo - -

27 Clcolo dell invers di un mtrice metodo lterntivo - -

28 Clcolo dell invers di un mtrice metodo lterntivo - - -

29 Rngo di un mtrice Rngo di rig: numero mssimo di righe lin. indipendenti Rngo di colonn: numero mssimo di colonne lin. indipendenti Teorem: Rngo di rig Rngo di colonn Rngo () min (m,n) Se rngo () min (m,n) è un mtrice rngo pieno

30 Rngo di un mtrice e sistem di equzioni lineri (/) Cercre un soluzione d un sistem di equzioni lineri mn Signific cercre quei vlori,,, n tli che il vettore b può essere espresso come combinzione linere delle colonne dell mtrice. b Per l soluzione di un sistem di equzioni lineri vlgono le seguenti:. Rngo(,b) > Rngo() il sistem non h soluzione. Rngo(,b) Rngo() il sistem h soluzione

31 Rngo di un mtrice e sistem di equzioni lineri (/) Rngo(,b) Rngo() m>n : Rngo() min(m,n) Rngo() n <m Se Rngo() n Se Rngo() < n il sistem h soluzione unic il sistem h infinite soluzioni m<n : Rngo() min(m,n) Rngo() m <n Se Rngo() m Se Rngo() < m il sistem h infinite soluzioni il sistem h infinite soluzioni m n : Rngo() min(m,n) Rngo() n m Se Rngo() n Se Rngo() < n il sistem h soluzione unic il sistem h infinite soluzioni

32 Risolvere un sistem di equz. Lineri ttrverso operzioni elementri Dto un sistem di m equzioni lineri ed n incognite mtrice dei coefficienti di dimensione (mn) b Vettore delle incognite di dimensione (n) vettore dei termini noti di dimensione (m) è equivlente l sistem: ' b' dove l mtrice ( ', b' ) è ottenut d (, b) ttrverso un numero finito di operzioni elementri

33 Risolvere un sistem di equzioni lineri L mtrice dei coefficienti h rngo < il sistem h infinite soluzioni Metodo di Guss-Jordn: ridurre l mtrice dei coefficienti d un mtrice tringolre superiore ttrverso un numero finito di operzioni elementri

34 Risolvere un sistem di equzioni lineri Metodo di Guss-Jordn ggiungi l prim rig ll second rig. Dividi l second rig per. Sottri l nuov rig ottenut ll terz rig

35 Risolvere un sistem di equzioni lineri Metodo di Guss-Jordn λ + λ + λ + λ λ infinite soluzioni l sistem:

36 ESERCIZI. Dti i seguenti vettori (,,), B(7, -8, ), C(,, ) determinre un nuovo vettore D che risulti combinzione linere dei tre vettori dti.. Dre l definizione di linere indipendenz e linere dipendenz tr vettori in R n. Fornire un esempio di vettori in R linermente indipendenti e vettori in R linermente dipendenti.. Dti i seguenti vettori in R : (,, - ), B (,, ), C ( ): - Si verifichi se i vettori dti costituiscono un bse per lo spzio; - Si determini un nuovo vettore ottenuto come combinzione convess dei tre vettori dti.