17.2. Esempio. Consideriamo il sistema lineare di 3 equazioni nelle 4 incognite (w, x, y, z)

Transcript

1 Sistemi lineri Ricordimo che se p N llor col simolo I p indichimo l insieme {,,,,, p} Definizione Diremo sistem linere di m equzioni in n incognite un insieme di m equzioni lineri (cioè di o grdo) del tipo (eq ) n n (eq ) n n (eq ) n n (eq ) n n (eq m ) m m m m mn n m dove (,,,,, n ) è l n-upl delle incognite Per ogni i I m il numero rele i si dice termine noto dell i-esim equzione Per ogni coppi di indici (i, j) I m I n il numero rele ij si dice coefficiente dell incognit j nell i-esim equzione Esempio Considerimo il sistem linere di equzioni nelle incognite (w,,, z) 6 z w z w 5 z w E fcile rendersi conto che è possiile rppresentre tle sistem nche nei due modi seguenti: (I) z w 6 5 (II) w z 6 5 Si noti, inoltre, che,, e sono proprio le colonne dell mtrice Or, generlizzimo qunto visto nell Esempio

2 Con riferimento qunto visto nell Definizione definimo tre mtrici A, X e B come segue A : mn m m m m n n n n X : n B : m Le colonne di A sono A m, A m, A m, A m,, A n mn n n n n E fcile convincersi che il sistem linere dell definizione si può rppresentre nei seguenti modi (I) mn m m m m n n n n n m ovvero AX B (II) m m m m mn n n n n n m ovvero A A A A A n n B Definizione Qundo useremo l rppresentzione (I) diremo che il sistem è scritto in form mtricile mentre qundo useremo l (II) diremo che il sistem è scritto per colonne

3 Si C : [A B] l mtrice di tipo m (n) che si ottiene ffincndo l colonn B ll mtrice A C [A B] m mn m m m m n n n n Definizione Per un sistem linere AX B diremo che A è l mtrice dei coefficienti o mtrice incomplet del sistem; X è l (mtrice) colonn delle incognite; B è l (mtrice) colonn dei termini noti; C [A B] è l mtrice complet del sistem 5Osservzione Per il Teorem 9, lo spzio <A, A, A, A,, A n > generto dlle colonne di A è un sottospzio dello spzio <A, A, A, A,, A n, B> delle colonne di C Per cui si h che 5 V A V C 5 dimv A dimv C ovvero rg(a) rg(c) (per l Osservzione ) 5 V A V C dimv A dimv C (per l Osservzione ) 6 Esempio Considerimo il sistem linere di equzioni nelle incognite (w,,, z) 6 z w z w 5 z w A X z w B 6 5 C [A B] 6 5 <,,, > è sottospzio di <,,,, 6 5 >

4 Definizione Dto un sistem linere AX B nelle incognite (,,,,, n ) diremo che l n-upl ordint di numeri reli (α, α, α, α,, α n ) è UNA soluzione del sistem se sostituendo ordintmente i numeri reli α, α, α, α,, α n lle incognite,,,,, n in ognun delle equzioni si ottengono sempre delle identità 8 Esempio Considerimo il sistem linere di equzioni nelle incognite (w,,, z) w z 5 w z w z 6 È fcile verificre che l qutern ordint (w,,, z) (9,,, 9) è un soluzione del sistem Rigurdo ll esistenz di soluzioni di un sistem linere imo il seguente: 9 TEOREMA (Rouché - Cpelli) Un sistem linere h lmeno un soluzione se e solo se il rngo dell su mtrice incomplet è ugule l rngo dell su mtrice complet Dimostrzione Si A A A A A n n B e C : [A B] Il sistem h lmeno un soluzione (α, α, α, α,, α n ) R n A α A α A α A α A n α n B B è un cominzione linere delle colonne di A B <A, A, A, A,, A n > <A, A, A, A,, A n > <A, A, A, A,, A n, B> V A V C dimv A dimv C rg(a) rg(c) Esempio Considerimo il sistem linere di equzioni nelle incognite (w,,, z) w z 5 w z w z 6 Aimo visto che tle sistem h lmeno un soluzione Fccimo vedere che rg(a) rg(c) Il determinnte dell sottomtrice formt dll prim, terz e qurt colonn di A è non nullo (è ugule ) Quindi, rg(a) D rg(a) rg(c) si h che rg(c)

5 Definizione Un sistem linere AX B si dice normle se rg(a) numero righe di A 5 Esempio Considerimo il sistem linere di equzioni nelle incognite (w,,, z) w z 5 w z w z 6 Aimo visto che rg(a) numero righe di A Quindi, questo sistem linere è normle Lemm In un sistem linere normle il numero delle equzioni è minore o ugule l numero delle incognite Dimostrzione Se AX B è un sistem linere normle con A di tipo m n, llor rg(a) m D m rg(a) min{m, n} si h che m n Corollrio Un sistem linere normle h sempre lmeno un soluzione Dimostrzione Se AX B è un sistem linere normle con A di tipo m n, llor m n Quindi, m < (n) d cui m min{m, (n)} Poiché m rg(a) rg(c) min{m, (n)} m si h che rg(a) rg(c) m Per il Teorem di Rouché - Cpelli il sistem h lmeno un soluzione 5 Definizione Un sistem linere AX B normle con A qudrt si dice sistem di Crmer 6 Esempio Considerimo il sistem linere di equzioni nelle incognite (,, z) Si h che A 5 z 5 z Poichè deta è rg(a) Quindi, il sistem è normle Poiché A è un mtrice qudrt, questo sistem linere è un sistem di Crmer

6 6 Teorem (Crmer) Un sistem di Crmer h un unic soluzione Dimostrzione Se AX B è un sistem di Crmer llor, per definizione, A è qudrt di rngo mssimo Per cui A è non singolre (cioè deta ) e, quindi, invertiile E fcile verificre che l colonn Y : A - B è un soluzione del sistem AX B Inftti, moltiplicndo l mtrice A per l colonn Y : A - B si ottiene AY A(A - B) (AA - )B IB B Quindi, sostituendo l colonn X con l colonn Y : A - B si ottiene l identità B B Per cui, l colonn Y è un soluzione del sistem AX B Provimo che tle soluzione Y è unic Se Z fosse un ltr soluzione del sistem AX B, llor si vree l identità AZ B D cui si vree A - (AZ) A - B Cioè (A - A)Z Y ovvero IZ Y e, infine Z Y 8 Esempio Considerimo il sistem linere di equzioni nelle incognite (,, z) z 5 z Aimo già visto che questo è un sistem di Crmer Si h che A 5 e B Inoltre, A Quindi, l unic soluzione del sistem è l colonn Y A - B Ovvero, l tern (,, z) (,, ) è l unic soluzione del sistem Si noti che tle sistem h UNA unic soluzione dt dll tern (,, ) NON è corretto dire che, e z sono TRE soluzioni del sistem

7 9 Teorem Un sistem linere normle non di Crmer h infinite soluzioni Dimostrzione Se AX B è un sistem linere non normle di Crmer llor rg(a) m < n Quindi, tr le n colonne di A ne esistono m linermente indipendenti che fomno un se di V A Per comodità supponimo che sino le ultime (n m) Rppresentimo il sistem per colonne ( ) A A A A m m A m m A m m A n n B Or, sceglimo picere un (n m)-upl ordint di numeri reli (β m, β m, β m,, β n ) Sostituendo in tutte le equzioni del sistem i numeri reli β m, β m, β m,, β n ordintmente lle incognite m, m, m,, n ottenimo A A A A m m A m β m A m β m A n β n B ovvero A A A A A m m B (A m β m A m β m A n β n ) Ponendo A * : [A A A A A m ] (cioè A* è l sottomtrice di A ottenut cncellndo d A le sue ultime (n m) colonne) B * : B (A m β m A m β m A n β n ) si ottiene un nuovo sistem linere di m equzioni nelle m incognite (,,,,, m ) ( ) A A A A A m m B * L mtrice incomplet di questo sistem è l mtrice qudrt A * : [A A A A A m ] formt dlle prime m colonne dell mtrice A Poiché tli colonne sono linermente indipendenti l mtrice A * h rngo mssimo m Quindi, il sistem ( ) è un sistem di Crmer Si (α, α, α, α,, α m ) l unic soluzione del sistem ( ), cioè si h l seguente A α A α A α A α A m α m B * E immedito verificre che l n-upl (α, α, α, α,, α m, β m, β m, β m,, β n ) è un soluzione del sistem inizile ( ) Inftti, sostituendol ll n-upl delle incognite si h A α A α A α A m α m A m β m A m β m A n β n B * A m β m A m β m A n β n [B (A m β m A m β m A n β n )] A m β m A m β m A n β n B Quindi, per ogni scelt dell (n m)-upl (β m, β m, β m,, β n ), si ottiene un unic soluzione del sistem linere ( ) Di conseguenz, il sistem linere ( ) h infinite soluzioni

8 8 Definizione Nel Teorem imo visto che un sistem linere può vere infinite soluzioni che dipendono dll scelt di un (n m)-upl di numeri reli In tl cso diremo che il sistem h (n-m) soluzioni Esempio Considerimo il sistem linere di equzioni nelle incognite (w,,, z) w z 5 w z w z 6 Si h che A, X w e B z 5 6 Aimo già visto che il determinnte dell sottomtrice A formt dll prim, terz e qurt colonn di A è ugule Per cui, l prime, terz e qurt colonn di A sono linermente indipendenti Quindi, sceglimo l second incognit, ponimol ugule β e portimol secondo memro Si ottiene il seguente nuovo sistem nelle tre incognite (w,, z) w z 5 β w z w z 6 β Tle sistem è un sistem di Crmer w Si h che A, X, B z Quindi, l unic soluzione di tle sistem è 5 β 6 β e (A ) - (/) β (A ) - B (/) β β β Per cui, l unic soluzione è l tern (w,, z) (β,, β) A questo punto è immedito rendersi conto che l qutern (w,,, z) (β, β,, β) è un soluzione del sistem inizile Essendo infiniti i possiili vlori di β, si h che il sistem inizile h infinite soluzioni dipendenti dl prmetro β

9 9 Definizione Dti due sistemi lineri AX B e AX B con A di tipo m n, A di tipo m n, diremo che sono equivlenti se hnno le stesse soluzioni Si noti che ffinché due sistemi sino equivlenti è necessrio che ino lo stesso numero di incognite mentre, in generle, non è necessrio i due sistemi ino lo stesso numero di equzioni Definizione Dto un sistem linere le seguenti zioni: () scmire due equzioni tr loro; () moltiplicre un equzione per un numero rele c ; () ggiungere d un equzione un ltr equzione moltiplict per un numero rele qulsisi; si dicono operzioni elementri sulle equzioni del sistem Osservzione Considerimo le seguenti due equzioni lineri (I) n n (II) c c c c c n n c con c Si noti che l equzione (II) si può scrivere nche nel modo seguente c( n n ) c cioè l equzione (II) è stt ottenut dll equzione (I) con l operzione elementre () Si vede suito che un n-upl (α, α, α, α,, α n ) è un soluzione dell equzione (I) se e solo se l n-upl (α, α, α, α,, α n ) è un soluzione dell equzione (II) Quindi, le equzioni (I) e (II) hnno le stesse soluzioni Osservzione Considerimo le seguenti tre equzioni lineri (I) n n r (II) (III) n n s ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( 5 d 5 ) n r ds Si noti che l equzione (III) si può scrivere nche nel modo seguente ( n n ) d( n n ) r ds cioè l equzione (III) è stt ottenut dlle equzioni (I) e (II) con l operzione elementre () Si vede suito che se l n-upl (α, α, α, α,, α n ) è soluzione delle equzioni (I) e (II) llor tle n-upl è nche soluzione dell equzione (III) Inoltre, se l n-upl (β, β, β, β,, β n ) è soluzione delle equzioni (II) e (III) llor tle n-upl è nche soluzione dell equzione (I) Quindi, se (I) e (II) sono due equzioni di un sistem linere AX B llor esso è equivlente l sistem linere AX B che si ottiene sostituendo l equzione (I) con l equzione (III)

10 Tenendo conto delle Osservzioni e si h suito il seguente 5 Lemm Si AX B un sistem linere Se gimo su di esso con un numero finito di operzioni elementri, llor ottenimo un sistem linere AX B equivlente quello inizile 6 Osservzione Si AX B un sistem linere Se un equzione del sistem è cominzione linere di ltre s equzioni del sistem, llor possimo supporre che si l ultim equzione (se così non fosse possimo effetture uno scmio di equzioni) A questo punto, trmite s operzioni elementri del tipo () si può ottenere un sistem AX B (equivlente quello dto per il Lemm precedente) che h come ultim equzione l identità Tenendo conto dell Osservzione 6 si h suito il seguente Corollrio Se un equzione di un sistem linere è cominzione linere di ltre equzioni del sistem, llor eliminndo tle equzione si ottiene un sistem equivlente l sistem dto 8 Osservzione Si noti che ogni operzione elementre sulle righe di un sistem corrisponde d un operzione elementre sull mtrice C [A B] complet del sistem, e vicevers 9 Corollrio Si AX B un sistem linere Si C [A B] l mtrice complet del sistem Se l mtrice C [A B] è stt ottenut dll mtrice C con un numero finito di operzioni elementri sulle sue righe, llor il sistem linere AX B è equivlente l sistem inizile TEOREMA Si AX B un sistem linere NON normle Se tle sistem h lmeno un soluzione, llor esso è equivlente d un sistem linere normle Dimostrzione Si AX B un sistem linere non normle con A di tipo m n e si C [A B] Se esso h lmeno un soluzione llor (per il Teorem di Rouchè-Cpelli) rg(c) r rg(a) < m Quindi, tr le m righe di C ve ne sono r linermente indipendenti Tli r righe sono un se dello spzio delle righe di C Per cui ognun delle ltre (m r) si può scrivere come loro cominzione linere Si C [A B] l mtrice che si ottiene d C cncellndo queste (m r) Il sistem linere AX B (cioè quello ottenuto d quello inizile eliminndo le equzioni che sono cominzioni lineri di ltre equzioni) è equivlente, per il Corollrio, l sistem inizile Inoltre, si h che numero righe di A r rg(a) Quindi, AX B è un sistem linere normle

11 8 Sistemi lineri omogenei 8 Definizione Si AX B un sistem linere di m equzioni in n incognite Se l (mtrice) colonn B dei termini noti è l colonn null, ovvero sono nulli tutti i termini noti (eq ) n n (eq ) n n (eq ) n n (eq ) n n (eq m ) m m m m mn n llor diremo che il sistem è omogeneo e scriveremo AX 8 Osservzione E immedito verificre che ogni sistem linere omogeneo in n incognite h lmeno un soluzione Inftti, l n-upl null (,,,,, ), cioè l colonn, è un soluzione del sistem linere omogeneo AX 8 Definizione Si AX un sistem linere omogeneo in n incognit L su soluzione dt dll n-upl null (,,,,, ) viene dett soluzione nle Ogni ltr su soluzione (quindi divers d quell nle) viene dett utosoluzione 8 Esempio Si consideri il seguente sistem linere omogeneo di equzioni in incognite A E fcile verificre che l soluzione nle (,, ) è l su unic soluzione 85 Esempio Si consideri il seguente sistem linere omogeneo di equzioni in incognite A L qutern (,,, ) è l soluzione nle L qutern (,,, ) è un utosoluzione

12 86 Teorem Un sistem linere omogeneo AX in n incognite h utosoluzioni se e solo se il rngo dell su mtrice incomplet A è minore del numero n delle incognite Dimostrzione Si A A A A A n n Il sistem h lmeno un utosoluzione (α, α, α, α,, α n ) (,,,,, ) A α A α A α A α A n α n le n colonne di A sono linermente dipendenti A h s < n colonne linermente indipendenti rg(a) dimv A s < n rg(a) < n 8 Esempio Si consideri il sistem linere omogeneo dell Esempio 8 Esso vev solo l soluzione nle Verifichimo che il rngo dell su mtrice complet è ugule l numero delle sue incognite Si h che deta e, quindi, rg(a) numero incognite 88 Esempio Si consideri il sistem linere omogeneo dell Esempio 85 Esso vev lmeno un utosoluzione Verifichimo che il rngo dell su mtrice complet è minore del numero delle sue incognite Col metodo di Guss-Jordn pplicto ll mtrice A si trov un mtrice sclino A vente un rig null Quindi, rg (A) rg(a ) < numero incognite Tenendo conto che se A è di tipo m n, llor rg(a) min{m, n} si h il seguente 89 Corollrio Se in un sistem linere omogeneo il numero delle equzioni è minore del numero delle incognite, llor esso h sicurmente utosoluzioni 8 Esempio Si consideri il seguente sistem linere omogeneo di equzioni in 5 incognite A Poiché il numero delle equzioni è minore del numero delle incognite, tle sistem h utosoluzioni Inftti, si può verificre che (,,,, ), (8,,,, ) e (,,,, ) sono utosoluzioni Poiché un mtrice qudrt h rngo mssimo se e solo se è non singolre si h il seguente 8 Corollrio Un sistem linere omogeneo qudrto (cioè con tnte equzioni qunte incognite) h utosoluzioni se e solo se l su mtrice incomplet è singolre

13 8 Esempio Si consideri il seguente sistem linere omogeneo di equzioni in incognite A E fcile verificre che deta e l tern (,, ) è un su utosoluzione 8 Tell Si AX un sistem linere omogeneo con A di tipo m n Si h che: m < n nrg(a) soluzioni det(a) l soluzione nle è l'unic soluzione m n nrg(a) det(a) soluzioni n rg(a) l soluzione nle è l'unic soluzione m > n nrg(a) n > rg(a) soluzioni 8 Definizione Con f AB indicheremo l insieme delle soluzioni del sistem linere AX B Se il sistem h n incognite, llor f AB è un sottoinsieme (nche vuoto) di R n 85 Teorem Se AX un sistem linere omogeneo in n incognite, llor f A R n Dimostrzione L insieme f A è non vuoto poiché l n-upl null è un soluzione di AX Provimo or che f A è chiuso rispetto ll somm di due n-uple, cioè che se Y e Z sono due n- uple di f A llor nche (YZ) è un n-upl di f A Se Y e Z sono due n-uple di f A llor AY e AZ sono due identità Sommndole memro memro si ottiene l identità AYAZ d cui l identità A(YZ) Per cui (YZ) è un soluzione di AX e, quindi, (YZ) è un n-upl di f A Infine, provimo che f A è chiuso rispetto l prodotto di un numero rele (sclre) per un n-upl, cioè se α è un numero rele e Y è un n-upl di di f A llor nche (αy) è un n-upl di f A Se Y è un n-upl di di f A llor AY è un identità Moltiplicndo entrme i memri di tle identità per α si ottiene l identità α(ay) α d cui l identità A(αY) Per cui αy è un soluzione di AX e, quindi, (αy) è un n-upl di f A

14 Omettimo l dimostrzione del seguente 86 Teorem Se AX è un sistem linere omogeneo in n incognite, llor dimf A n rg(a) Vedimo qunto ffermto nel Teorem 86 con lcuni esempi 8 Esempio Si consideri il sistem linere omogeneo dell Esempio 85 ( ) A Applicndo il metodo di riduzione di Guss-Jordn ll mtrice A si ottiene l mtrice sclino H 8 Quindi, rg(a) rg (H) Inoltre, il sistem linere omogeneo inizile ( ) è equivlente l sistem linere omogeneo ( ) 8 A 8 Poiché le prime tre colonne di A sono sicurmente linermente indipendenti, portndo l incognit secondo memro e ponendo β, ottenimo il seguente sistem di Crmer ( ) β β β 8 A 8 L unic soluzione di ( ) è l tern (,, ) (β, β, β) Per cui, per ogni vlore rele di β l qutern (,,, ) (β, β, β, β) è un soluzione del sistem ( ) e, quindi, del sistem ( ) Per cui il sottospzio delle soluzioni di ( ) è f A {(β, β, β, β) R β R} Inoltre, poiché (β, β, β, β) β(,,, ), l qutern (,,, ) è un genertore del sottospzio f A Essendo (,,, ) nche linermente indipendente (è divers dll qutern null) si h che l qutern (,,, ) è un se di f A Per cui dimf A n rg(a)

15 88 Esempio Si consideri il sistem linere omogeneo dell Esempio 8 5 ( ) A Applicndo il metodo di riduzione di Guss-Jordn ll mtrice A si ottiene l mtrice sclino H Quindi, rg(a) rg (H) Inoltre, il sistem linere omogeneo inizile ( ) è equivlente l sistem linere omogeneo 5 5 ( ) 5 A 5 Poiché le prim, l second e l quint colonn di A sono sicurmente linermente indipendenti, portndo le incognite e secondo memro e ponendo α e β, ottenimo il seguente sistem di Crmer ( ) 5 α 5 α β 5 A L unic soluzione di ( ) è l tern (,, ) (α8β, αβ, ) Per cui, per ogni vlore rele di α e β l 5-upl (,,,, 5 ) (α8β, αβ, α, β, ) è un soluzione del sistem ( ) e, quindi, del sistem ( ) Per cui il sottospzio delle soluzioni di ( ) è f A {(α8β, αβ, α, β, ) R 5 α,β R} Inoltre, poiché (α8β, αβ, α, β, ) α(,,,, ) β(8,,,, ), le 5-uple (,,, ) e (8,,,, ) sono genertori del sottospzio f A Essendo (,,, ) e (8,,,, ) nche linermente indipendenti (si verific suito che non sono proporzionli tr loro) si h che B ((,,, ), (8,,,, )) è un se di f A Per cui dimf A 5 n rg(a)

16 89 Esempio Si consideri il sistem linere omogeneo seguente ( ) A Applicndo il metodo di riduzione di Guss-Jordn ll mtrice A si ottiene l mtrice sclino H Quindi, rg(a) rg (H) Inoltre, il sistem linere omogeneo inizile ( ) è equivlente l sistem linere omogeneo 6 ( ) A 9 8 Poiché le prim e l second colonn di A sono linermente indipendenti, portndo le incognite, e 5 secondo memro e ponendo α, β e 5 γ, ottenimo il sistem di Crmer 6α 6β γ ( ) α 9β 6γ A L unic soluzione di ( ) è l coppi (, ) (αβγ, α9β6γ) Per cui, per ogni vlore rele di α, β e γ l 5-upl (,,,, 5 ) (αβγ, α9β6γ, α, β, γ) è un soluzione del sistem ( ) e, quindi, del sistem ( ) Per cui il sottospzio delle soluzioni di ( ) è f A {(αβγ, α9β6γ, α, β, γ) R 5 α,β,γ R} Inoltre, poiché (αβγ, α9β6γ, α, β, γ) α(,,,, ) β(, 9,,, ) γ(, 6,,, ) le 5-uple (,,,, ), (, 9,,, ) e (, 6,,, ) sono genertori del sottospzio f A Inoltre, l mtrice 9 che h come righe quelle tre 5-uple h sicurmente 6 rngo poiché contiene come sottomtrice l mtrice unitri di ordine Quindi, quelle tre 5-uple sono linermente indipendenti e formno un se di f A Per cui dimf A 5 n rg(a)

17 L proprietà vist nel Teorem 85 non vle per i sistemi lineri non omogenei Inftti, 8 Osservzione L insieme delle soluzioni di un sistem linere non omogeneo AX B in n incognite non è un sottospzio di R n Dimostrzione Se AX B è un sistem linere non omogeneo, llor B Poiché A B, l n-upl null non è un soluzione del sistem e, quindi, non pprtiene f AB Poiché l elemento neutro rispetto ll somm non pprtiene f AB, esso non è un sottospzio R n 88 Definizione Se AX B è un sistem linere non omogeneo (cioè B ), llor il sistem linere omogeneo AX (cioè vente l stess mtrice A dei coefficienti) viene detto sistem omogeneo ssocito l sistem linere AX B 89 Teorem Si AX B un sistem linere non omogeneo in n incognite vente lmeno un soluzione e si Y p un qulunque di esse, ovvero AY p B è un identità Un n-upl Z R n è un soluzione del sistem AX B se e solo se Esiste un n-upl X R n soluzione del sistem omogeneo ssocito AX tle che Z Y p X Dimostrzione ( ) Supponimo che l n-upl Z R n si un soluzione del sistem AX B Per cui AZ B è un identità Sottrendo memro memro d tle identità l identità AY p B ottenimo l identità AZAY p BB d cui l identità A(ZY p ) Quindi, l n-upl (ZY p ) è un soluzione del sistem omogeneo ssocito AX Ponendo X (ZY p ), imo che esiste un n-upl X soluzione del sistem linere omogeneo ssocito tle che Z Y p X ( ) Supponimo or che esist un n-upl di R n del tipo Z Y p X dove X è un soluzione del sistem omogeneo ssocito AX Per cui AX è un identità Sommndo memro memro tle identità l identità AY p B ottenimo l identità AX AY p B d cui l identità A(Y p X ) B Quindi, l n-upl Z (Y p X ) è un soluzione del sistem AX B

18 9 Autovlori e utovettori di un mtrice qudrt 8 9 Osservzione Se A è un mtrice qudrt d elementi reli di ordine n e H è un mtrice (colonn) d elementi reli di tipo n (cioè un n-upl ordint di numeri reli), llor l mtrice AH è un mtrice (colonn) d elementi reli di tipo n, cioè AH è dello stesso tipo di H 9 Esempio Se A è qudrt di ordine e H è di tipo llor AH è di tipo A H AH 6 K 6 AK Si osservi che non esiste un numero rele β tle che AH βh, mentre AK K 9 Osservzione Se A è un mtrice qudrt d elementi reli di ordine n e se è l mtrice (colonn) null di tipo n llor per ogni numero rele β si h che A β 9 Definizione Si A un mtrice qudrt d elementi reli di ordine n Se esistono un numero rele β e un mtrice (colonn) d elementi reli non null H di tipo n tli che AH βh llor diremo che β è un utovlore di A e che H è un utovettore di A reltivo ll utovlore β Quindi, H è un utovettore di A se e solo se AH è un multiplo di H 95 Esempio Considerimo ncor l mtrice dell Esempio 9 e i seguenti vettori colonn K H H Aimo già visto che AK K Inoltre, è fcile verificre che AH H e AH H Quindi, - K è un utovettore di A reltivo ll utovlore β ; - H è un utovettore di A reltivo ll utovlore β ; - H è un utovettore di A reltivo ll utovlore β L colonn H dell Esempio 9 non è un utovettore di A poiché AH non è un multiplo di H 96 Osservzione Si noti che, per definizione, un utovettore è un vettore non nullo mentre, come imo visto nell Esempio 95, un utovlore può nche essere ugule zero

19 9 9 Lemm Se A è un mtrice qudrt d elementi reli di ordine n, llor det(a λi n ) è un polinomio coefficienti reli di grdo n nell indetermint λ Inoltre, il suo termine di grdo n è ( ) n λ n mentre quello di grdo zero è deta Dimostrzione (per induzione sull ordine n dell mtrice A) Se n llor A [ ] e det(a λi ) ( λ) λ () λ deta Quindi, per n (se induttiv) l tesi è ver Or, (ipotesi induttiv) supponimo che l tesi si ver per (n ) provimo l tesi per n Osservimo che se,,,,, n sono gli elementi dell prim rig di A llor gli elementi dell prim rig di (A λi n ) sono ( λ),,,,, n Sviluppndo il determinnte di (A λi n ) secondo l su prim rig si ottiene det(a λi n ) : ( λ)det(a λi n ) det(a λi n ) : λdet(a λi n ) n j n ( ) j j det(a λi n ) j j ( ) j j det(a λi n ) j Poichè per ogni j,,,,, n l mtrice (A λi n ) j è qudrt di ordine (n ), per l ipotesi induttiv, det(a λi n ) j è un polinomio di grdo (n ) Quindi, per ogni j,,,, n, il polinomio j det(a λi n ) j h grdo minore o ugule (n ) Per cui ( ) j j det(a λi n ) j è un polinomio di grdo minore o ugule (n ) Invece, (λ)det(a λi n ) è un polinomio di grdo n vente (λ)( ) n- λ n- ( ) n λ n come suo termine di grdo n Quindi, il polinomio det(a λi n ) (λ)det(a λi n ) n j n j ( ) j j det(a λi n ) j è un polinomio di grdo n vente ( ) n λ n come suo termine di grdo n Il termine di grdo zero del polinomio det(a λi n ) è ugule l vlore deta ssunto d tle polinomio qundo λ Tenendo conto del Lemm 9 dimo l seguente 98 Definizione Si A un mtrice qudrt d elementi reli di ordine n Il determinnte dell mtrice (A λi n ) viene detto polinomio crtteristico di A e viene indicto con il simolo p A (λ) p A (λ) : det(a λi n )

20 99 Esempio A 5 λi λ λ (A λi ) λ λ ) (5 p A (λ) det(a λi ) λ 5λ 6 (λ )(λ 6) 9 Esempio A 6 λi λ λ λ (A λi ) λ λ λ ) ( 6 ) ( ) ( p A (λ) det(a λi ) λ 8λ λ λ(λ )( λ) 9 Esempio A λi λ λ λ λ (A λi ) λ λ λ λ p A (λ) det(a λi ) λ λ 9 (λ )(λ )(λ )(λ ) 9 Teorem Si A un mtrice qudrt d elementi reli di ordine n Un numero rele β è un utovlore di A se e solo se esso è un rdice del polinomio crtteristico di A, cioè p A (β) Inoltre, gli utovettori di A reltivi ll utovlore β sono tutte e sole le utosoluzioni del sistem linere omogeneo qudrto (A βi n )X Dimostrzione Un numero rele β è un utovlore di A H : AH βh H : AH β(i n H) H : AH (βi n )H H : AH (βi n )H H : (A βi n )H H è un utosoluzione del sistem (A βi n )X il sistem linere omogeneo qudrto (A βi n )X h utosluzioni det(a βi n ) p A (β) β è un rdice del polinomio crtteristico di A 9 Esempio Gli utovlori di A 5 sono λ, λ 6 9 Esempio Gli utovlori di A 6 sono λ, λ, λ 95 Esempio Gli utovlori di A sono λ, λ, λ, λ

21 96 Esercizi Trovre i polinomi crtteristici e gli utovlori delle seguenti mtrici: A p A (λ) λ λ λ ( λ)(λ )(λ ) B p B (λ) λ 8λ λ 6 ( λ)(λ ) C p C (λ) λ 9λ 5λ ( λ)(λ ) D p D (λ) λ λ λ λ (λ ) E p E (λ) λ λ λ λ (λ ) F p F (λ) (λ )

22 9 Esercizi Trovre gli utovettori delle mtrici precedenti A λ, H h λ, H h λ, H h h R{} B λ, H h λ, H h h R{} C λ, H h h R{} λ, H h k h,k R {(,)} D λ, H h λ, H h h R{} E λ, H h k λ, H h k h,k R {(,)} F λ, H h k h,k R {(,)}

23 RICORDIAMO CHE se p() R[] è un polinomio in coefficienti reli di grdo n, llor un numero rele α è un su rdice (cioè p(α) ) se e solo se p() è divisiile per ( α); α è un su rdice di molteplicità h n se p() è divisiile per ( α) h m non per ( α) h ; l somm delle molteplicità delle rdici reli due due distinte tr loro è minore o ugule n; se n è dispri llor p() h lmeno un rdice rele 98 Esempio Si considerino i seguenti polinomi di R[] - p() ( )( ) ( ) 5 ( ) - q() ( ) ( 5) ( ) 6 ( ) - r() ( )( )( ) - Le rdici reli di p() due due distinte tr loro sono,, e Le loro molteplicità sono rispettivmente,, 5, e L somm delle loro molteplicità è 5 che è ugule l grdo 5 di p() - Le rdici reli di q() due due distinte tr loro sono, 5 e Le loro molteplicità sono rispettivmente,, e 6 L somm delle loro molteplicità è che è minore del grdo 5 di q() - Il polinomio r() non h rdici reli Tenendo conto di qunto ppen ricordto dimo l seguente 99 Definizione Diremo molteplicità lgeric di un utovlore β, e l indicheremo col simolo m (β), di un mtrice A d elementi reli qudrt di ordine n l molteplicità di β come rdice del polinomio crtteristico p A (λ) dell mtrice A 9 Esempio Si considerino le mtrici dell Esercizio 96 p A (λ) ( λ)(λ )(λ ) m () m () m () p B (λ) ( λ)(λ ) m () m () p C (λ) ( λ)(λ ) m () m () p D (λ) λ (λ ) m () m () p E (λ) λ (λ ) m () m () p F (λ) (λ ) m ()

24 9 Osservzione Se A è un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n vente s utovlori λ, λ, λ,, λ s-, λ s due due distinti tr loro (cioè i j λ i λ j ), llor p A (λ) è divisiile per (λ λ ) m (λ ) (λ λ ) m (λ ) (λ λ ) m (λ ) (λ λs ) m (λ s ) Quindi, m (λ ) m (λ ) m (λ ) m (λ s ) n vlendo il segno di uguglinz se e solo se le rdici di p A (λ) sono tutte reli 9 Esempio Si considerino i polinomi dell Esempio 9 p A (λ) ( λ)(λ )(λ ) m () m () m () ordine di A p B (λ) ( λ)(λ ) p C (λ) ( λ)(λ ) p D (λ) λ (λ ) p E (λ) λ (λ ) p F (λ) (λ ) m () m () ordine di B m () m () ordine di C m () m () ordine di D m () m () ordine di E m () ordine di F Si noti che in tutti i precedenti csi vle il segno di uguglinz, in qunto ognuno dei polinomi crtteristici h solo rdici reli Nel Teorem 9 imo visto che gli utovettori reltivi d un utovlore β di un mtrice A d elementi reli qudrt di ordine n sono tutte e sole le utosoluzioni del sistem linere omogeneo (A βi n )X Tenendo conto del ftto l insieme delle soluzioni di tle sistem linere omogeneo è uno spzio vettorile (sottospzio di R n ) dimo l seguente 9 Definizione Si A un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n e si β un suo utovlore Lo spzio delle soluzioni del sistem linere omogeneo (A βi n )X viene detto utospzio reltivo ll utovlore β e viene indicto col simolo E(β) 9 Osservzione Se E(β) è un utospzio dell mtrice A d elementi reli qudrt di ordine n, llor un vettore X di R n pprtiene d E(β) se e solo se X è il vettore nullo ut X è un utovettore di A reltivo ll utovlore β

25 Ricordndo il Teorem 86 si h suito l seguente 5 95 Osservzione Se E(β) è un utospzio dell mtrice A d elementi reli qudrt di ordine n, llor dime(β) n rg(a βi n ) Inoltre, poiché det(a βi n ) si h che rg(a βi n ) < n Quindi dime(β) n rg(a βi n ) Tenendo conto dell Osservzione 95 precedente dimo l seguente 96 Definizione Se β è un utovlore di un mtrice A d elementi reli qudrt di ordine n, llor l dimensione dell utospzio E(β) viene dett molteplicità geometric dell utovlore β e viene indict col simolo m g (β) Quindi, m g (β) : dime(β) n rg(a βi n ) Omettimo l dimostrzione del seguente 9 Teorem Se β è un utovlore dell mtrice A d elementi reli qudrt di ordine n, llor l su molteplicità geometric è minore o ugule ll su molteplicità lgeric, cioè m g (β) m (β) Conseguenz immedit del Teorem 9 è il seguente 98 Corollrio Si β un utovlore di un mtrice A d elementi reli qudrt di ordine n Se m (β) llor m g (β) 99 Esempio Si considerino le mtrici dell Esercizio 9 Mtrice A m () m () m () m g () m g () m g () Mtrice B m () m g () m g () < m () Mtrice C m () m g () m g () m () Mtrice D m g () < m () m g () < m () Mtrice E m g () m () m g () m () Mtrice F m g () < m ()

26 Tenendo conto del Teorem 9 e dell Osservzione 9 si h suito il seguente 6 9 Corollrio Se A è un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n vente s utovlori λ, λ, λ,, λ s-, λ s due due distinti tr loro (cioè i j λ i λ j ), llor m g (λ ) m g (λ ) m g (λ ) m g (λ s ) n 9 Esempio Si considerino le mtrici dell Esercizio 9 Tenendo conto nche di qunto già visto nell Esempio 9 si h che Mtrice A m g () m g () m g () ordine di A Mtrice B Mtrice C Mtrice D Mtrice E Mtrice F m g () m g () < ordine di B m g () m g () ordine di C m g () m g () < ordine di D m g () m g () ordine di E m g () < ordine di F Reltivmente ll intersezione di due utospzi si h il seguente 9 Teorem Si A un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n Se λ e λ sono due utovlori distinti (λ λ ) di A, llor E(λ ) E(λ ) {} Dimostrzione Ovvimente, E(λ ) e E(λ ), d cui E(λ ) E(λ ) Se esistesse un utovettore H tle che H E(λ ) E(λ ) llor si vreero le due identità AH λ H et AH λ H Sottrendo memro memro l prim dll second si otterree l identità (λ λ )H Poiché (λ λ ), per l legge di nnullmento del prodotto di uno sclre per un vettore si vree che H M ciò è ssurdo Quindi, E(λ ) E(λ ) {}

27 9 Lemm Si A un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n Sino λ, λ, λ,, λ s-, λ s s utovlori di A due due distinti tr loro, cioè i j λ i λ j Se H, H, H,, H s-, H s sono s utovettori di A reltivi gli utovlori λ, λ, λ,, λ s-, λ s rispettivmente, llor gli utovettori H, H, H,, H s-, H s sono linermente indipendenti Dimostrzione (per induzione sul numero s di utovlori due due distinti tr loro) Se s llor l utovettore H è certmente linermente indipendente in qunto diverso dl vettore nullo Quindi, per s l tesi è ver (se induttiv) Or, nell ipotesi (induttiv) che l tesi si ver per (s ) provimo l tesi per s A tl fine doimo provre che se ( ) α H α H α H α s- H s- α s H s llor deve necessrimente essere α α α α s- α s Moltiplicndo entrme i memri dell identità ( ) sinistr per l mtrice A ottenimo le identità A(α H α H α H α s- H s- α s H s ) A A(α H ) A(α H ) A(α H ) A(α s- H s- ) A(α s H s ) α (AH ) α (AH ) α (AH ) α s- (AH s- ) α s (AH s ) Poiché H, H, H,, H s-, H s sono utovettori reltivi gli utovlori λ, λ, λ,, λ s-, λ s si h α (λ H ) α (λ H ) α (λ H ) α s- (λ s- H s- ) α s (λ s H s ) ( ) (α λ )H (α λ )H (α λ )H (α s- λ s- )H s- (α s λ s )H s Moltiplicndo entrme i memri dell identità ( ) per lo sclre λ s ottenimo l identità λ s (α H α H α H α s- H s- α s H s ) λ s λ s (α H ) λ s (α H ) λ s (α H ) λ s (α s- H s- ) λ s (α s H s ) ( ) (α λ s )H (α λ s )H (α λ s )H (α s- λ s )H s- (α s λ s )H s Sottrendo memro memro l identità ( ) dll identità ( ) ottenimo l identità α (λ λ s )H α (λ λ s )H α (λ λ s )H α s- (λ s- λ s )H s- Poiché, per ipotesi, gli (s ) utovettori H, H, H,, H s-, sono linermente indipendenti si h α (λ λ s ) α (λ λ s ) α (λ λ s ) α s- (λ s- λ s ) M, per ogni h s è (λ h λ s ), quindi ciò ccde (se e) solo se α α α α s- Sostituendo α α α α s- nell ( ) si ottiene l identità α s H s Essendo H s (poiché H s è un utovettore), per l legge di nnullmento del prodotto di uno sclre per un vettore si h che deve necessrimente essere α s

28 Come immedit conseguenz del Lemm 9 si h il seguente 8 9 Corollrio Se A è un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n vente n utovlori due due distinti tr loro, llor esistono n utovettori di A linermente indipendenti Quindi, in tl cso esiste sicurmente un se di R n formt d utovettori dell mtrice A Tenendo conto del Lemm 9 si prov il seguente 95 Teorem Si A un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n Sino λ, λ, λ,, λ s-, λ s s utovlori di A due due distinti tr loro, cioè i j λ i λ j Se per ogni i {,,,, s} H i, H i, H i,, H imi sono m i utovettori reltivi ll utovlore λ i tr loro linermente indipendenti, llor gli utovettori H, H,, H m, H, H,, H m, H, H,, H m,, H s, H s,, H sms sono linermente indipendenti Dimostrzione Considert un cominzione linere di tutti gli utovettori H, H,, H m, H, H,, H m, H, H,, H m,, H s, H s,, H sms si provi che se ess h come risultto il vettore nullo, llor tutti i suoi coefficienti sono nulli ( ) s Σ (α i H i α i H i α i H i α imi H imi ) i Per ogni i {,,,, s} ponimo K i (α i H i α i H i α i H i α imi H imi ) Poiché H i, H i, H i,, H imi E(λ i ) si h che K i E(λ i ) e, dll ( ), che ( ) s Σ K i K K K K s i Si J {j {,,,, s} K j } Se fosse J llor per ogni j J (per l Osservzione 9 K j sree un utovettore reltivo ll utovlore λ j D ( ) si vree Σ K j Quest ultim j J sree un cominzione linere (con tutti i coefficienti uguli uno) di utovettori linermente indipendenti (per il Lemm 9) vente come risultto il vettore nullo Essendo ciò un ssurdo, si h che J, cioè per ogni i {,,,, s} è K i Quindi, per ogni i {,,,, s} è α i H i α i H i α i H i α imi H imi Poiché tli utovettori sono, per ipotesi, linermente indipendenti, si h che i {,,,, s} α i α i α i α imi

29 Tenendo conto del Corollrio 9 dl Teorem 95 si h suito il seguente 9 96 Corollrio Si A un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n Esiste un se di R n formt d utovettori di A se e solo se l somm delle molteplicità geometriche dei suoi utovlori è ugule l suo ordine n Tenendo conto del Teorem 9 e dell Osservzione 9 si h il seguente 9 Teorem Si A un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n Esiste un se di R n formt d utovettori di A se e solo se sono soddisftte entrme le condizioni seguenti: () le rdici del polinomio crtteristico di A sono tutte reli (cioè non ci sono rdici complesse); () per ogni utovlore l su molteplicità lgeric è ugule ll su molteplicità geometric 98 Esempio Si considerino le mtrici dell Esercizio 9 Tenendo conto di qunto già visto nell Esempio 9 si h che ((,, ), (,, ), (,, )) è un se di R formt d utovettori di A; NON esiste un se di R formt d utovettori di B; ((,, ), (,, ), (,, )) è un se di R formt d utovettori di C; NON esiste un se di R formt d utovettori di D; ((,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )) è un se di R formt d utovettori di E; NON esiste un se di R formt d utovettori di F; Reltivmente d un mtrice vente un solo utovlore rele (come l mtrice F dell Esempio 98) possimo provre il seguente 99 Teorem Si A un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n vente un solo utovlore β Esiste un se di R n formt d utovettori di A se e solo se A βi n Dimostrzione Esiste un se di R n formt d utovettori di A se m g (β) n n rg(a βi n ) n rg(a βi n ) (A βi n ) mtrice null A βi n

30 Digonlizzzione di un mtrice qudrt Definizione Sino A e B due mtrici d elementi reli qudrte dello stesso ordine n Diremo che l mtrice A è simile ll mtrice B se esiste un mtrice P d elementi reli qudrt di ordine n invertiile (cioè detp ) tle che A PBP -, ovvero AP PB Osservzione Si prov suito che ogni mtrice è simile se stess; se A è simile B llor B è simile d A; se A è simile B e B è simile C llor A è simile C Dimostrzione () I : A IAI IAI - ; () P : A PBP - P - : B P - AP P - A(P - ) - ; () P : A PBP -, Q : B QCQ - PQ : A P(QCQ - )P - (PQ)C(PQ) - Osservzione Se A e B sono simili llor hnno lo stesso determinnte AP PB det(ap) det(pb) (deta)(detp) (detp)(detb) deta detb Ricordimo che un mtrice qudrt A [ ij ] si dice digonle se sono nulli tutti gli elementi che non si trovno sull su digonle principle, cioè i j ij Con il simolo dig(λ, λ, λ,, λ n-, λ n ) indicheremo un mtrice d elementi reli digonle di ordine n vente i numeri reli λ, λ, λ,, λ n-, λ n sull su digonle principle Definizione Si A un mtrice d elementi reli qudrt di ordine n Diremo che l mtrice A è digonlizzile se A è simile d un mtrice digonle Cioè, A è digonlizzile se esistono un mtrice P invertiile ed un mtrice digonle Λ dig(λ, λ, λ, λ,, λ n-, λ n ) tli che A PΛP - ovvero AP PΛ In tl cso si dice nche che le mtrici P e Λ digonlizzno l mtrice A 5 Osservzione Per l Osservzione si h che un mtrice digonle è digonlizzile

31 6 Osservzione Sino A e P due mtrici d elementi reli qudrte venti lo stesso ordine n e si Λ dig(λ, λ, λ, λ,, λ n-, λ n ) un mtrice d elementi reli digonle di ordine n Tenendo conto di come è stto definito il prodotto rig per colonn si h suito che: 6 per ogni indice di colonn j {,,,, n} si h che l j-esim colonn dell mtrice prodotto (AP) è ugule l prodotto dell mtrice A per l j-esim colonn dell mtrice P Cioè, (AP) j A(P j ) 6 per ogni indice di colonn j {,,,, n} si h che l j-esim colonn dell mtrice prodotto (PΛ) è ugule l prodotto dello sclre λ j per l j-esim colonn dell mtrice P Cioè, (PΛ) j λ j P j Tenendo conto dell Osservzione 6 si prov suito il seguente Teorem Un mtrice A d elementi reli qudrt di ordine n è digonlizzile se e solo se esiste un se di R n formt d utovettori di A Dimostrzione A è digonlizzile esistono un mtrice P invertiile ed un mtrice digonle Λ tli che A PΛP - esistono un mtrice P invertiile ed un mtrice digonle Λ tli che AP PΛ esistono un mtrice P invertiile ed un mtrice digonle Λ tli che per ogni j {,,,,n} l j-esim colonn di AP è ugule ll j-esim colonn di PΛ esistono un mtrice P invertiile ed un mtrice digonle Λ tli che per ogni j {,,,,n} si h (AP) j (PΛ) j esistono n colonne P, P, P,, P n linermente indipendenti e n numeri reli λ, λ, λ,, λ n tli che A(P j ) (AP) j (PΛ) j λ j P j esistono n utovettori di A linermente indipendenti esiste un se di R n formt d utovettori di A 8 Osservzione Se esiste un se B di R n formt d utovettori di A, nell dimostrzione del Teorem imo visto un modo prtico per trovre un mtrice digonle Λ ed un mtrice invertiile P che digonlizzno A L mtrice Λ dig(λ, λ, λ, λ,, λ n-, λ n ) è l mtrice che h sull digonle principle gli utovlori di A ognuno ripetuto tnte volte qunto è l su molteplicità lgeric L mtrice P è l mtrice che h come colonn j-esim un utovettore dell se B reltivo ll utovlore λ j

32 9 Esempio Si consideri l mtrice A p A (λ) λ λ λ ( λ)(λ )(λ ) Aimo già visto che gli utovettori di A sono λ H(λ ) α(,, ) α R{} λ H(λ ) β(,, ) β R{} λ H(λ ) γ(,, ) γ R{} Scegliendo ( picere) un utovettore per ogni utovlore, d esempio H (,,), H (,,) e H (,,), si ottengono utovettori linermente indipendenti e, quindi, un se di R Per il Teorem, l mtrice A è digonlizzile Inftti, prendendo le seguenti due mtrici Λ : λ λ λ e P : [ H H H ] si h che AP PΛ ovvero A PΛP - Esempio Si consideri l mtrice C p C (λ) λ 9λ 5λ ( λ)(λ ) Aimo già visto che gli utovettori di C sono λ H(λ ) α(,, ) α R{} λ H(λ ) β(,, ) γ(,, ) β,γ R {(,)} Scegliendo ( picere) un utovettore per l utovlore λ, d esempio H (,,), e (sempre picere) due utovettori linermente indipendenti per l utovlore λ, d esempio H (,,) e H (,,), si ottengono utovettori linermente indipendenti e, quindi, un se di R Per il Teorem, l mtrice C è digonlizzile Inftti, prendendo le seguenti due mtrici Λ : λ λ λ e P : [ H H H ] si h che CP PΛ ovvero C PΛP -

33 Esempio Si consideri l mtrice E Aimo già visto che gli utovettori di E sono p E (λ) λ λ λ λ (λ ) λ H(λ ) α(,,, ) β(,,, ) α,β R {(,)} λ H(λ ) γ(,,, ) δ(,,, ) γ,δ R {(,)} Scegliendo ( picere) due utovettori linermente indipendenti per l utovlore λ, d esempio H (,,,) e H (,,,), e (sempre picere) due utovettori linermente indipendenti per l utovlore λ, d esempio H (,,,) e H (,,,), si ottengono utovettori linermente indipendenti e, quindi, un se di R Per il Teorem, l mtrice E è digonlizzile Inftti, prendendo le seguenti due mtrici Λ : λ λ λ λ si h che EP PΛ ovvero E PΛP - e P : [ H H H H ] Ricordimo che (per l Osservzione 5) un mtrice digonle è digonlizzile Teorem Si A c d un mtrice d elementi reli qudrt di ordine non digonle L mtrice A è digonlizzile se e solo se h due utovlori distinti, ovvero [( d) c] > Dimostrzione Si h che p A (λ) det(a λi ) (λ )(λ d) c λ ( d)λ (d c) Il discriminnte del polinomio p A (λ) è ( d) (d c) ( d) c Se > llor A h due utovlori distinti Per cui, per il Corollrio 9 esiste un se di R formt d utovettori di A Quindi, per il Teorem l mtrice A è digonlizzile Se llor l mtrice A h un solo utovlore β vente molteplicità lgeric Poiché A non è ugule ll mtrice digonle βi (per il Teorem 99) l mtrice A non è digonlizzile Se < llor l mtrice A non h utovlori Per cui, non esiste un se di R formt d utovettori di A Quindi, per il Teorem l mtrice A non è digonlizzile

34 t (t ) Esempio Si consideri l mtrice A Determinre per quli vlori del prmetro rele t l mtrice A è digonlizzile p A (λ) λ (t )λ t t (t 6)(t ) A è digonlizzile se e solo se >, cioè se e solo se t < 6 oppure t > 5 Esempio Si consideri l mtrice A h - k Trovre i vlori dei prmetri reli h e k per i quli l mtrice A è digonlizzile p A (λ) (5 λ)(h λ)( λ) λ 5 λ h λ Per ogni h R{,5} l mtrice A h tre utovlori due due distinti tr loro e, quindi, per il Corollrio 9 esiste un se di R formt d utovettori di A, ovvero A è digonlizzile 5 Per h si h l mtrice A e i suoi utovlori sono λ 5 e λ L molteplicità - k geometric di λ è in qunto l su molteplicità lgeric è Affinché esist un se di R formt d utovettori di A è necessrio e sufficiente che si ugule nche l molteplicità geometric di λ Ricordndo che m g (λ ) dime(λ ) rg(a λ I ) e osservndo che rg(a λ I ) rg(a I ) rg - k si h che m g (λ ) se e solo se rg(a λ I ) ovvero se e solo se k 5 Per h 5 si h l mtrice A - 5 k e i suoi utovlori sono λ 5 e λ L molteplicità geometric di λ è in qunto l su molteplicità lgeric è Osservndo che rg(a λ I ) rg(a 5I ) rg - k - si h che per ogni vlore di k è rg(a 5I ) ovvero è m g (λ ) Per cui non esiste un se di R formt d utovettori di A che, quindi, non è digonlizzile

35 5 5 Definizione Un mtrice C d elementi reli qudrt C si dice ortogonle se C T C 6 Osservzione Un mtrice C d elementi reli qudrt C è ortogonle se e solo se C T C I Dimostrzione Se C è ortogonle llor C T C C C I Vicevers, se C T C I llor detc e, quindi, C è invertiile Si h che C T C T I C T (CC ) (C T C)C IC C Osservzione Se e sono due numeri reli tli che, llor!α (π, π] : cosα, sinα 8 Teorem Un mtrice C d elementi reli qudrt di ordine è ortogonle se e solo se!θ (π, π] : C cosθ sinθ sinθ cosθ ut C cosθ sinθ sinθ cosθ Si osservi che nel primo cso è detc mentre nel secondo cso è detc Si osservi, inoltre, che cmindo il segno dell second colonn di un mtrice del primo tipo si ottiene un mtrice del secondo tipo e vicevers Dimostrzione ( ) Si verific suito che se C è un mtrice del tipo C cosθ sinθ sinθ cosθ ut C cosθ sinθ sinθ cosθ llor in entrme i csi si h C T C Quindi, C è ortogonle ( ) Si, or, C : z w un generic mtrice d elementi reli qudrt di ordine ortogonle D C T C C z C I si h che z w w ovvero il sistem: z w z w Dll equzione si h che!θ (π, π] : cosθ, sinθ Dll equzione z w si h che!ω (π, π] : z cosω, w sinω Dll ultim equzione z w si h che cosωcosθ sinωsinθ, d cui cos(ω θ) Per cui, ω θ ± π/ ovvero ω θ ± π/ cosθ Se ω θ π/ llor cosω sinθ e sinω cosθ e, quindi, C sinθ cosθ Se ω θ π/ llor cosω sinθ e sinω cosθ e, quindi, C sinθ sinθ cosθ sinθ cosθ

36 6 9 Definizione Un mtrice A d elementi reli qudrt si dice simmetric se A T A Teorem Se A I e un mtrice qudrt d elementi reli simmetric di ordine, llor: ) l mtrice A h due utovlori λ e λ reli e distinti e, quindi, A è digonlizzile; ) se u (u, u ) è un utovettore reltivo ll utovlore λ, llor un vettore v (v, v ) è un utovettore reltivo ll utovlore λ se e solo se u v u v u v ; ) esiste un mtrice ortogonle C tle che detc e A CΛC T Dimostrzione Si A Siccome A I c llor oppure c Il polinomio crtteristico di A è p (λ) det(aλi) ( λ)(c λ) λ ( c)λ (c ) Siccome il A suo discriminnte ( c) è strettmente positivo, l mtrice A h due utovlori λ e λ reli e distinti e, quindi, per il Teorem l mtrice A è digonlizzile Tenendo conto che (λ λ ) ( c) e λ λ (c ) si dimostr suito che: ( ) le soluzioni dell equzione (λ ) sono tutte e sole le coppie t(, λ ) t R Si or u (u, u ) un utovettore reltivo λ Quindi, (u, u ) è un utosoluzione del sistem omogeneo ( λ ) (c λ ) Per cui esiste m tle che u (u, u ) m(, λ ) Un vettore v (v, v ) è un utovettore reltivo λ v (v, v ) è un utosoluzione del sistem omogeneo ( λ ) (c λ ) v (v, v ) è un utosoluzione dell equzione ( λ ) esiste n tle che v (v, v ) n(, λ ) tenendo conto di ( ) (v, v ) è un utosoluzione dell equzione (λ ) v (λ )v mv m(λ )v u v u v u v Si h che u u u m [ (λ ) ] e v v v n [ (λ ) ] Scegliendo m [ (λ ) ] / e n [ (λ ) ] / si h u u u e v v v ORA, quindi, u (u, u ) e v (v, v ) sono due utoversori reltivi λ e λ rispettivmente

37 Si D u u v v l mtrice che h come colonne gli utoversori u (u, u ) e v (v, v ) Tenendo conto che u v v u e u u v v si h che D T D I Se detd llor si C : u u v v u v Se, invece, detd si C : In ogni cso, C è ortogonle con u v detc e l second colonn di C (v) (v, v ) è ncor un utoversore reltivo λ Posto Λ : λ λ si h, poiché A è digonlizzile, che A CΛC CΛC T Se A è un mtrice qudrt d elementi reli simmetric di ordine, il Teorem ci fornisce un metodo prtico e veloce per digonlizzre A trmite un mtrice ortogonle C con detc Psso ) Si trovno i due utovlori distinti λ e λ di A Psso ) Si sceglie, picere, uno dei due utovlori di A, d esempio λ Psso ) Si trov un utovettore w (w, w ) reltivo λ Psso ) Si clcol l lunghezz h [w w ] / dell utovettore w (w, w ) Psso 5) Si consider il versore u (u, u ) h - (w, w ) Per il Teorem si h che i due utoversori reltivi λ sono (v, v ) ±(u, u ) Inoltre, l mtrice u u v v u è un mtrice ortogonle e, quindi, det u v v ± u Psso 6) Si sceglie l utoversore (v, v ) reltivo λ tle che det u v v Psso ) Si h che A u u v v λ λ u v u v Esercizio Si consideri l seguente mtrice simmetric A Trovre un mtrice digonle Λ ed un mtrice ortogonle C con detc che digonlizzno A Gli utovlori di A sono λ e λ 8 Gli utovettori di λ sono w α(, ) α

38 8 Poiché w 5α, il vettore u 5 (, ) è un utoversore reltivo λ Per cui ± 5 (, ) sono i due utoversori reltivi λ 8 Scegliendo v 5 (, ), llor per l mtrice ortogonle C v u v u 5 è detc Ponendo Λ λ λ 8 si h A CΛC T ( 5 ) 8 ( 5 ) 5 8 Esercizio Si consideri l seguente mtrice simmetric A Trovre un mtrice digonle Λ ed un mtrice ortogonle C con detc che digonlizzno A Gli utovlori di A sono λ 5 e λ Gli utovettori di λ 5 sono w α(, ) α Poiché w α, il vettore u (, ) è un utoversore reltivo λ 5 Per cui ± (, ) sono i due utoversori reltivi λ Scegliendo v (, ), llor l mtrice ortogonle C h detc Ponendo Λ λ λ 5 si h che A CΛC T ( ) 5 ( ) 5 Esercizio Si consideri l seguente mtrice simmetric A 6 9 Trovre un mtrice digonle Λ ed un mtrice ortogonle C con detc che digonlizzno A Gli utovlori di A sono λ e λ 5 Gli utovettori di λ sono w α(, ) α Poiché w 5α, il vettore u 5 (, ) è un utoversore reltivo λ Per cui ± 5 (, ) sono i due utoversori reltivi λ 5 Scegliendo v 5 (, ), llor l mtrice ortogonle C 5 h detc Ponendo Λ λ λ 5 si h che A CΛC T 6 9 ( 5 ) 5 ( 5 ) 5 5