UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA SCUOLA DI SCIENZE. Statistica per le tecnologie e le scienze

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1 Corsi di lure: 1.1 Sino UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA SCUOLA DI SCIENZE Sttistic per l economi e l impres Sttistic per le tecnologie e le scienze A(α) = α α e (α) = α + 1 dove α C. 1 α α () Per ogni α C si risolv il sistem linere A(α)x = (α). () Si A = A(i) l mtrice che si ottiene d A(α) ponendo α = i. Si trovi un decomposizione A = P T LU, con P un mtrice di permutzione, L un mtrice tringolre inferiore non singolre ed U un form ridott di Guss per A. (c) Si B = A() l mtrice che si ottiene d A(α) ponendo α =. Si clcoli l invers B 1 di B. 1.2 Sino { ( ) } + W =, R e B = { ( ) ( )} ; W è un sottospzio dello spzio vettorile delle mtrici 2 2 reli (N.B.: non se ne richiede l verific). () Si provi che B è un se di W. ( ( ) 2 ) () Si clcoli il vettore delle coordinte C B dell mtrice 2 4 rispetto ll se B Si A = i i ( ) 2 W 2 4 () Si trovi un decomposizione Q R -non-normlizzt per A. () Si trovi un decomposizione QR-normlizzt per A. (c) Si trovino le soluzioni i minimi qudrti del sistem Ax = dove = 6. 1

2 1.4 Si ( ) i 1 A(α) =, dove α C. 1 α () Per quli α C l mtrice A(α) è unitrimente digonlizzile? () Si A = A(i) l mtrice che si ottiene ponendo α = i. Si trovi un digonlizzzione unitri A = UDU H per A. (c) Si A = A(i) l mtrice che si ottiene ponendo α = i. Si scriv A nell form A = λ 1 P 1 + λ 2 P 2, con λ 1 e λ 2 utovlori di A, e P 1 e P 2 mtrici di proiezione su E A (λ 1 ) ed E A (λ 2 ) rispettivmente. 2.1 Si A(α) = ( α ) α i dove α C. () Per quegli α C per cui è possiile, si trovi un decomposizione A(α) = L(α)U(α) con L(α) un mtrice tringolre inferiore non singolre ed U(α) un form ridott di Guss per A(α). () Si A = A(i) l mtrice che si ottiene d A(α) ponendo α = i. Si trovi un decomposizione A = P T LU, con P un mtrice di permutzione, L un mtrice tringolre inferiore non singolre ed U un form ridott di Guss per A. (c) Si B = A() l mtrice che si ottiene d A(α) ponendo α =. Si trovino tutte le inverse destre di B. 2.2 Si consideri l ppliczione linere f : R 3 R 2 definit d f( ) ( ) 2 = + + c c R 3. c () Si determini l mtrice A ssocit d f rispetto lle si ordinte B = v 1 = 1 ; v 2 = ; v 3 = { ( ( e D = w 1 = ; w 1) 2 = )} 1 4 2

3 su dominio e codominio rispettivmente (N.B.: non si richiede di verificre che f è un ppliczione linere). () Dopo ver clcolto w = f( 1 ), si clcolino w 1 e w. 1 2i Si A = i 1. i 2i () Si trovi un decomposizione QR-normlizzt per A. () Si clcoli l proiezione ortogonle P C(A) (v) del vettore v = 1 sullo spzio delle colonne C(A) di A. () Si trovi un se B dello spzio delle righe R(A) di A. 2.4 Si α 2i A(α) = 4, dove α C. 2i () Si dic per quli α C l mtrice A(α) è unitrimente digonlizzile. () Si A = A(5) l mtrice che si ottiene ponendo α = 5. A è digonlizzile. Si trovino un mtrice non singolre S ed un mtrice digonle D tli che A = SDS 1. (c) (2 pt.) Si B = A(4) l mtrice che si ottiene ponendo α = 4. Si dic, motivndo l rispost, se B è digonlizzile oppure no. 3.1 Si 2 2α 2 A(α) = α dove α C. 8 () Si A = A() l mtrice che si ottiene d A(α) ponendo α =. Si trovino tutte le inverse sinistre di A. 3

4 () Per quegli α C per cui è possiile, si trovi un decomposizione A(α) = L(α)U(α) con L(α) un mtrice tringolre inferiore non singolre ed U(α) un form ridott di Guss per A(α). (c) per quegli α C per cui non esiste un decomposizione A(α) = L(α)U(α), si trovi un decomposizione A(α) = P T L(α)U(α), con P un mtrice di permutzione, L(α) un mtrice tringolre inferiore non singolre ed U(α) un form ridott di Guss per A(α). 3.2 Si W = +, R W è un sottospzio di R 3 (N.B.: non se ne richiede l verific). () Si provi che S = v 1 = 2 ; v 2 = 4 ; v 3 = è un insieme di genertori di W. () Si trovi un se B di W contenut in S. (c) Si verifichi che l funzione f : W R 2 definit d f( + ) ( = + W ) è un ppliczione linere. 1 i i Si A = 2i 2 2 2i. 1 i i 7 () Si trovi un decomposizione QR-normlizzt per A. () Si trovi un se B dello spzio delle righe R(A) di A. (c) Si trovi un se C dello spzio nullo N(A) di A. 3.4 Si 3α 1 A(α) = 4, dove α C

5 () Si dic per quli α C l mtrice A(α) è unitrimente digonlizzile. () Si A = A(1) l mtrice che si ottiene ponendo α = 1. Si scriv A nell form A = λ 1 P 1 + λ 2 P 2, con λ 1 e λ 2 utovlori di A, e P 1 e P 2 mtrici di proiezione su E A (λ 1 ) ed E A (λ 2 ) rispettivmente. 4.1 Sino 1 α 2 α A(α) = 1 α α e = dove α C. 2 2α 2 1 α () Per ogni α C si risolv il sistem linere A(α)x = (α). () Si A = A(2i) l mtrice che si ottiene d A(α) ponendo α = 2i. Si trovi un decomposizione A = LU, con L un mtrice tringolre inferiore non singolre ed U un form ridott di Guss per A. (c) Si B = A() l mtrice che si ottiene d A(α) ponendo α =. Si clcoli l invers B 1 di B. 4.2 Si consideri l ppliczione linere f : R 2 R 2 definit d f ( ( ) ) = ( ) ( ) R 2. () Si determini l mtrice A ssocit d f rispetto lle si ordinte { ( ) ( )} { ( ( )} B = v 1 = ; v 1 2 = e D = w 1 = ; w 1) 2 = 13 su dominio e codominio rispettivmente (N.B.: non si richiede di verificre che f è un ppliczione linere). ( () Si trovino tutti i vettori v = R ) 2 soddisfcenti entrme le seguenti due condizioni: ( 1 1 f(v) è ortogonle v 1 = rispetto l prodotto interno stndrd di R 1) 2, 2 v 1 = 3. 5

6 1 2i 4.3 Si A = 1 2i i 2. i 2 () Si trovi un decomposizione Q R -non-normlizzt per A. () Si trovi un decomposizione QR-normlizzt per A. (c) Si trovino le soluzioni i minimi qudrti del sistem Ax = dove = Si i α A(α) = i, dove α C. α () Si dic per quli α C l mtrice A(α) è digonlizzile. () Si dic per quli α C l mtrice A(α) è unitrimente digonlizzile. (c) Si A = A(2i) l mtrice che si ottiene ponendo α = 2i. Si trovino un mtrice non singolre S ed un mtrice digonle D tli che A = SDS α 5.1 Si A(α) = 1 α i 2α, dove α C. α i α + i () Per quegli α C per cui A(α) è non singolre, si clcoli l invers A(α) 1 di A(α) () Si A = A(i) l mtrice che si ottiene d A(α) ponendo α = i. Si trovino un se B dello spzio delle colonne C(A) di A ed un se D dello spzio delle righe R(A) di A. (c) Si consideri l se B dello spzio delle colonne C(A) di A trovt l punto (), e si pensi B come se ordint. Si clcoli il vettore delle coordinte ( C B ) del vettore C (A) rispetto B. 2i 2i 6

7 5.2 Sino V = {( ) },, c R c lo spzio vettorile delle mtrici 2 2 reli tringolri superiori e {( ) ( ) ( )} B = ; ;. 1 1 () Si provi che B è un se di V. () Si determini l mtrice A ssocit ll ppliczione linere f : V R 2 definit d ( ( ) ) ( ) ( ) + f = V c c c {( ( 1 rispetto lle si ordinte B sul dominio e D = ; 1) 1)} sul codominio (N.B.: non si richiede di verificre che f è un ppliczione linere). 1 i Si A = i 1 i 2 2i 2. 1 i 6 () Si trovi un decomposizione QR-normlizzt per A. () Si trovi un decomposizione A = P T LU, con P un mtrice di permutzione, L un mtrice tringolre inferiore non singolre ed U un form ridott di Guss per A. 5.4 Si i 1 α A(α) = 1 i, dove α C. α () Si dic per quli α C l mtrice A(α) è digonlizzile. () Si dic per quli α C l mtrice A(α) è unitrimente digonlizzile. (c) Si A = A() l mtrice che si ottiene ponendo α =. Si scriv A nell form A = λ 1 P 1 + λ 2 P 2, con λ 1 e λ 2 utovlori di A, e P 1 e P 2 mtrici di proiezione su E A (λ 1 ) ed E A (λ 2 ) rispettivmente. 7