1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione: y ax x b = + +

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Serafina Alberti
5 anni fa
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1 . In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le curve di equzione:, dove, sono prmetri reli con. ) Determinre i vlori di per i quli queste curve hnno un punto di mssimo ed uno di minimo reltivi e quelli per i quli non mmettono tli punti. ) Clcolre i vlori di e in modo che l curv γ corrispondente i un mssimo reltivo ugule e sechi l sse nel punto di sciss -. c) Controllto che l curv γ si ottiene per, disegnrne l ndmento. d) Clcolre l re dell regione pin delimitt dll curv γ e dll sse. ) Clcolimo l derivt dell funzione: ( ) ( ) I Come si not l derivt prim risult essere sempre positiv [ ), per cui in tle intervllo di vlori di l curv non present estremnti. Vicevers per ( ), l curv present due estremnti, in prticolre un mssimo ed un minimo. Inftti in tl cso ( ) ( ) ( ) < > < < > II II II I D cui si deduce che è l sciss del minimo, mentre è l sciss del mssimo e che ( ), è l unico punto di flesso. ) Per clcolre i due prmetri isogn risolvere il sistem seguente: ( ) ( ) -

2 L second equzione l possimo riscrivere in questo modo:, ed essendo <, srà certmente un vlore negtivo. Dll second equzione ricvimo che sostituit nell prim dà: ( )( ) ( )( ) Le soluzioni sono llor, con non ccettile per qunto detto prim. Per cui il d cui vlore ccettile è L curv llor è: c) Quest curv come già detto h un mssimo in (,), un minimo in (, ) (, ) ed un flesso in d) L re cerct è: A d 7 d

3 . In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), è ssegnt l curv C di equzione:. ) Studirl e disegnrne l ndmento, indicndo con A e B i punti in cui l curv sec l sse ( A > B ). ) Trovre l equzione dell circonferenz C tngente C in A e pssnte per B. c) Disegnre C sullo stesso pino di C dopo ver determinto il rggio e il centro di C e inoltre le coordinte dell ulteriore punto in cui C sec C. d) Determinre l ngolo sotto cui C e C si secno in B. e) Clcolre le ree delle regioni in cui C divide il cerchio delimitto d C. ) Dominio: D (,) (, ) Intersezioni sse : ±, A (, ), B (, ) Intersezioni sse :non ce ne sono Prità o disprità:l funzione è dispri Positività:l si studi col flso sistem studindo seprtmente numertore e denomintore N( ) > < > D( ) > > Mettendo questi risultti sull stes rett dei reli si ricv > (, ) (,) Asintoti verticli:, lim f ( ), lim f ( ) Asintoti orizzontli: non ce ne sono Asintoti oliqui: m q f ( ) m lim ± q lim f ( ) lim ± ± Quindi è un sintoto oliquo Crescenz e decrescenz: I ( ) > R {} per cui II Il grfico è rppresentto sotto: ( ) per cui non ci sono flessi non ci sono estremnti

4 ) L tngente in A(,) ll curv C h equzione m( ), m '() Per cui l tngente ll curv C è - L circonferenz h equzione generic: c Imponendo il pssggio per A(,) e B(-,) si ricvno due condizioni: c c D cui si ricv suito c Per cui l equzione divent Or si impone che l rett - si tngente nche ll circonferenz, per cui si deve risolvere innnzitutto il sistem D cui, sostituendo l second nell prim si ricv l equzione: ( )

5 Or si impone l condizione di tngenz: ( ) ( ) Per cui l circonferenz h equzione che può essere riscritt come ( ) Per cui l circonferenz h centro (,) e rggio r c) L ulteriore punto di intersezione lo si ricv imponendo il sistem: E quindi sostituendo l second nell prim si ricv: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ), ±

6 Per cui l ulteriore punto è D, d) Clcolimo l rett tngente r C e pssnte per B(-,) Ess h equzione m( ), m '( ) Per cui l tngente C in B(-,) è r : Clcolimo l rett tngente r C e pssnte per B(-,) Ess h equzione m( ) e per clcolre m imponimo prim l intersezione tr circonferenz e rett r e poi l condizione di tngenz: si ottiene tle equzione: Ed imponendo l condizione di tngenz si ricv: Per cui l tngente r h equzione -- ( m ) ( m m) m m ( m m) ( m )( m m ) ( m ) m Quindi le due tngenti nel punto B(-,) sono tr di loro perpendicolri, per cui le curve C e C si secno in B sotto un ngolo di 9 e) Per il clcolo delle ree considerimo l figur sottostnte:

7 L re S min l possimo clcolre come differenz tr l re del settore circolre ngolre BCD ˆ α e l re del tringolo mistilineo DCB, DCB S S L re del settore circolre è S D C ˆ B BC * CD * α * * * α α. SDC ˆ di mpiezz B S min D Cˆ. B S : DCB Or isogn clcolre α e lo si clcol ttrverso il teorem di Crnot pplicto l tringolo DCB: BD con BC BD BC ( α ) BC ( ( α )) ( ( α )) per cui l'equzione divent Or doimo clcolre l re del tringolo mistilineo S DCB : S DBC S ln BFD S DFOE S CED 7 S ( ( α )) ( α ) α r S r BOC * d ln 7 * * 7 ln ** DCB ˆ Per cui r ln min S d cui si ricv S m * ( ) S min S min 7

8 ) Considerimo l figur seguente che rppresent l geometri del prolem: Il volume richiesto non è ltro che il volume del tronco di cono di rggi di se GB ed EC ed ltezz EG, cui vnno sottrtti i volumi dei due coni, il primo con rggio di se BG ed ltezz AG ed il secondo con rggio di se EC ed ltezz EA. In tl modo si h: AG AB BG AB sin ( ) ( ) ( ) sin( ) Inoltre

9 EC AC sin ABtg EA ECtg ( α ) ( ) ( CAE ˆ ) AC sin AC ( ) sin AB ( ) ( ) ( α ) ( α ) ( ) AB ( ACE ˆ ) ECtg( ) sin( ) ( α ) ( α ) Quindi EG EA AG sin ( ) ( ) Il volume del tronco di cono di rggi di se R ed r, sfruttndo l formul che si dimostrerà nel punto d) è: V tronco cono * h ( R r Rr) * EG( BG EC BG * EC) ( ) sin( ) sin ( ) ( ) sin( ) ( ) sin 9 9 ( ) ( ) sin ( ) sin( ) ( ) Or i volume dei cono di rggio di se BG ed EC sono: Per cui V V cono, cono, ( ) ( ) sin( ) AG BG EA EC ( ) ( ) [ sin ( ) ] sin ( ) ( ) 9 9 ( ) sin( ) ( ) sin( ) ( ) 9

10 ( ) ( ) sin( ) ( ) sin ( ) sin( ) ( ) V sin sin ( ) ( ) sin( ) ( ) ( ) sin ( ) ( ) sin( ) ( ) sin( ) ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( ) sin( ) ( ) ( ) sin( ) ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) sin( ) ( sin ( ) ( ) ) ( ) sin ( ) ( ) 9 9 ( ) sin( ) [ ( ) sin( ) ] 9 9 Ovvimente le limitzioni geometriche impongono ) Riscrivimo il volume in un form più semplice:,. Ricordimo però che ( α ) V ( ) sin V ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) sin( ) ] ( ) sin( ) tg per cui sin sin tg ( ) ( α ) ( ) [ sin( α ) ( ) ( α ) sin( ) ] sin( α ) sin( α ) ( α ) ( α ) sin( ) sin( α ) Per cui il grfico è il clssico grfico del seno trslto di un ngolo α verso le scisse negtive: cioè l funzione in esme nell intervllo, ssumerà il suo mssimo in m α, non incontrerà mi l sse delle scisse in, perché l incontreree in α <, α > cioè in vlori esterni ll intervllo. Inoltre il vlore del mssimo è, in il vlore è sin( α ) ed in il vlore è sin α ( α ).

11 Il grfico è sotto rppresentto: c) Il sistem d discutere è il seguente: ( ) sin α Vedimo i vlori gli estremi dell intervllo, e nel punto di mssimo ssunti dll rett : m α Questo signific che le soluzioni del sistem

12 sin ( α ) sono: < < > nessun soluzione soluzione soluzioni (coincidenti se ) d) Per dimostrre qunto richiesto truimoci in un sistem di riferimento O un trpezio rettngolo, che ruotndo di un giro completo ttorno ll sse delle scisse dà origine un tronco di cono. In prticolre l figur è quell sottostnte: Il volume del solido ottenuto dll rotzione complet ttorno ll sse delle scisse lo si clcol con l not formul: V m m m [ f ( ) ] d [ m] d m d [ ] ( ) ( )( ) In tl cso l ltezz del tronco di cono è: h ( ) mentre i rggi di se sono r m, R m per cui il volume divent: m h V ( )( ) ( R r Rr)

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