7 Simulazione di prova d Esame di Stato

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "7 Simulazione di prova d Esame di Stato"

Tommasa Blasi
5 anni fa
Visualizzazioni

1 7 Simulzione di prov d Esme di Stto Problem 1 Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si rticol il questionrio Si consideri l fmigli di funzioni definite d { f n () = n (1 ln ) se 0,n N 0 0 se =0 Mostrre che tutte le funzioni f n sono continue in =0e discutere l vrire di n l derivbilità di f n in =0interpretndo grficmente i risultti b Determinre l vrire di n se le curve, grfici di f n, presentno simmetrie c Studire l generic funzione f n (), itndosi ll intervllo [0; + ): in prticolre determinre segno, eventuli zeri, eventuli punti stzionri e l loro ntur, il comportmento di f n qundo tende + Tenendo conto dei risultti ottenuti l punto precedente, trccire i grfici corrispondenti n = 1,, Verificre che tutte le curve, grfici di f n (), pssno per quttro punti fissi d Si consideri f 1 () Si α un numero rele positivo e A(α) l re dell prte di pino deitt dll sse delle scisse, dll curv grfico di f 1 () e dlle rette di equzioni = α e = e Clcolre A(α) e determinrne il ite qundo α tende 0 e Determinre il numero delle soluzioni dell equzione f 1 () = 1 e clcolre il vlore di un di esse con l precisione di 10 utilizzndo uno dei metodi studiti Clcolimo 0 n (1 ln ) = n ln =0 0=0=f n (0), 0 0 quindi tutte le funzioni f n sono continue nel punto =0 Per vlutre l derivbilità scrivimo il rpporto incrementle di f n in =0: f n (h) f n (0) = h n 1 (1 ln h ) h Se n =1 1 ln h =+ h 0 e quindi f 1 () non è derivbile in =0 Se n >1 h 0 hn 1 (1 ln h ) =0 e quindi f n () è derivbile in =0e l su derivt è ugule 0 Interpretzione geometric: se n =1, l tngente f 1 () in =0 coincide con l sse delle ordinte; se n >1, l tngente f n () in =0coincide con l sse delle scisse 1

2 b Se n è pri, f n ( ) =f n (), pertnto le curve, grfici di f n (), sono simmetriche rispetto ll sse delle ordinte Se n è dispri, f n ( ) = f n (), pertnto le curve, grfici di f n (), sono simmetriche rispetto ll origine degli ssi c Zeri: f n () =0se =0o = e Segno: f n () > 0 se 0 <<e, f n () < 0 se >e Punti stzionri: f n() = n 1 (n n ln 1) Se n =1, f 1 () h un solo punto stzionrio in =1ed è un punto di mssimo reltivo, M 1 (1; 1); se n >1, l derivt si nnull in =0, dove è presente un punto di minimo reltivo, m n (0; 0) e in = e n 1 n, dove è presente un punto di mssimo reltivo, ( ) M n e n 1 n ; en 1 n Comportmento di f n () + : + n (1 ln ) = f 1() e O e f () e O e f () e O e I grfici per n =1,, si possono disegnre su tutto R, tenendo conto delle simmetrie osservte in b È fcile verificre che tutte le curve, grfici di f n (), pssno per i punti (0; 0), (1; 1), (e;0), ( e;0) d Per ogni α e si ottiene e [ A(α) = (1 ln )d = (1 ln )+ 4 α e A(α) = α 0 α 0 4 α (1 ln α) α 4 = e 4 ] e = e α 4 α (1 ln α) α 4 e Confrontndo i grfici di f 1 () e di = 1, si osserv che l equzione f 1() = 1 mmette soluzioni reli, un negtiv e due positive Ricercndo, per esempio, l soluzione β, compres tr 0 e 1, si ottiene β = 0,19

3 Problem In un tringolo ABC di bse AB =, si h AC =BC e l ngolo opposto l lto AB è di mpiezz Esprimere i lti AC, BC e l ltezz CH reltiv d AB in funzione di e di b Studire e rppresentre grficmente l funzione f() = CH AB nell intervllo [0; π] In corrispondenz del mssimo di f() clcolre il perimetro e l re del tringolo ABC c Clcolre l re dell regione finit di pino compres fr l rco di curv e l sse delle scisse d Determinre l funzione V() che esprime il volume del solido ottenuto con un rotzione complet del tringolo ABC ttorno ll rett AB e dimostrre che ssume il vlore mssimo in corrispondenz dello stesso vlore di che rende mssim f() Dto il tringolo ABC indichimo con l l lunghezz del lto BC (e quindi AC = l) Applicndo il Teorem di Crnot si ottiene: = l +4l 4l cos l = quindi l = BC = 5 cos, 5 4 cos e AC = 5 4 cos C A H B Per determinre CH fccimo riferimento l tringolo rettngolo CHB: CH = CB sen A BC e, tenendo conto che, per il teorem dei seni, sen A BC AC sen = si ottiene sen CH = 5 4 cos

4 b L funzione f() = sen 5 4 cos è sempre definit, continu, non negtiv nell intervllo [0; π] e si nnull solo negli estremi Clcolimo l derivt prim: f () = 5 cos 4 (5 4 cos ) ; tle derivt si nnull per = rc cos 4 5 e studindone il segno si verific che tle punto stzionrio è un mssimo l cui ordint vle 1 Per tle vlore di il perimetro del tringolo vle (1 + 5) e l su re 5 O rc cos 4 5 = sen 5 4 cos π c π 0 [ ] π sen cos d = ln(5 4 cos ) = ln d V() = πch AB = 4 ( ) sen π 5 4 cos Si verific fcilmente, nche senz svolgere clcoli, che V(), operndo il confronto con f(), ssume il vlore mssimo per = rc cos 4 5 Questionrio 1 L insieme A contiene p elementi e l insieme B contiene n elementi, con 1 p n Qunte sono le ppliczioni (funzioni) di A in B? Qunte di queste sono iniettive? Se A contiene p elementi e se l insieme B contiene n elementi con 1 p n, llor le ppliczioni (funzioni) di A in B sono n p Le ppliczioni iniettive sono n(n 1) (n p +1) 4

5 Clcolre ( Dedurre successivmente +1 ( 1) sen +1 ) = =0 ( +1+ ( 1) sen +1 ) 1 = + ( sen +1 1) = + +1 = 1 poiché +1 1 è infinitesim per + In un sistem di riferimento crtesino ortogonle considerre l curv C di equzione =, dove è un numero rele positivo ssegnto Qule relzione devono verificre le scisse 1 e di due punti M 1 e M di C ffinché le tngenti C in questi due punti sino perpendicolri? Determinre il luogo descritto dl punto d intersezione delle tngenti C in M 1 e M ( ) ( ) M 1 = 1 ; 1, M = ; Il coefficiente ngolre dell tngente C nel punto M 1 è 1, mentre il coefficiente ngolre dell tngente C nel punto M è ; ffinché le tngenti sino perpendicolri deve essere 1 = L equzione dell rett tngente C in M 1 è = 1 1 ; l equzione dell rett tngente C in M è = Le due tngenti si incontrno nel punto ( 1 + P ; ) Qulunque sino i due punti M 1 e M scelti, che verificno l condizione impost, l ordint del punto P è costnte, quindi il luogo geometrico descritto d P è l rett di equzione = 4 Dopo ver enuncito il Teorem di Rolle, determinre se è pplicbile ll funzione f() = log nell intervllo [ 1 ;] 5

6 Enuncito Teorem di Rolle: vedere MODULO N, UNITÀ L funzione f() = log è definit e continu nell intervllo [ 1 ;] f ( 1 ) = f() = 1 L funzione non è però derivbile nel punto =1, pertnto il Teorem di Rolle non è pplicbile 5 Verificre che l funzione f() =5 +ln è invertibile Dett g l funzione invers, clcolre g (5) L funzione f() =5 +ln è definit nell insieme dei numeri reli positivi Poiché f () =5+ 1, l funzione è monoton crescente e quindi invertibile Poiché d 5=5 +ln si h =1, llor g (5) = 1 f (1) = 11 6 Dopo ver dimostrto che l equzione 5 + 1=0h un sol rdice rele, determinrl meno di 10 utilizzndo uno dei metodi studiti L funzione f() = è continu e derivbile su R L su derivt prim è f () =5 4 +, mggiore di 0 per ogni R Inoltre l funzione tende per e + per + Pertnto si può concludere che l equzione 5 + 1=0h un sol rdice rele: f(0) = 1, f(1) = L rdice 0 srà quindi compres tr 0 e 1, e utilizzndo uno dei metodi studiti si può ottenere il vlore 0 0,486 7 Tr tutti i prismi retti venti per bse un tringolo equiltero e di volume m, determinre quello di superficie totle minim Indichimo con l il lto di bse del prism e con h l su ltezz A bse = 4 l, S tot = l +hl 6

7 Sppimo che il volume V = 4 l h =d cui si ricv h = 8 l, pertnto l superficie totle in funzione di l è S(l) = l + 8 l (l Clcolimo l derivt prim: S 8) (l) =,che si nnull per l =; studindone il l segno si può concludere che l superficie totle è minim qundo il lto di bse misur metri 8 Clcolre, utilizzndo il metodo dei trpezi, un vlore pprossimto dell integrle 1 0 e 1+ d Utilizzndo il metodo dei trpezi, suddividendo per esempio l intervllo [ 0; 1 ] in 4 prti uguli, si ottiene che il vlore dell integrle è 0,518 9 Per ttirre l clientel in un grnde mgzzino, si decide che tutti i clienti che effettuernno un cquisto vrnno diritto estrrre simultnemente tre gettoni d un urn Quest urn contiene sei gettoni indistinguibili l ttto: tre sono contrssegnti col numero 0, due col numero 5 e uno col numero 10 Il cliente che h estrtto i tre gettoni riceve in euro l somm dei numeri indicti sui tre gettoni Si X l vribile letori che ssume i possibili vlori dell somm ricevut dl cliente Determinre l insieme dei vlori ssunti d X e l legge di probbilità di X L vribile letori X può ssumere i vlori 0, 5, 10, 15, 0, e le corrispondenti probbilità sono p(0) = 1 0 ; p(5) = 10 ; p(10) = 10 ; p(15) = 10 ; p(0) = Si n un numero intero nturle superiore o ugule Si consideri un popolzione di pulcini che contiene n 1 mschi e n +1femmine Si scelgono cso due pulcini (ciscun coppi di pulcini h l stess probbilità di essere scelt) Clcolre l probbilità p n dell intervllo E: «Si scelgno due pulcini di sesso diverso» ( ) n Il numero delle possibili coppie è ; il numero delle coppie formte d pulcini di sesso diverso è (n 1)(n +1) Quindi l probbilità richiest è (n 1)(n +1) p n = ( ) = n 1 n n(n 1) 7

Documenti analoghi

1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione: y ax x b = + +

1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione: y ax x b = + + . In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le curve di equzione:, dove, sono prmetri reli con. ) Determinre i vlori di per i quli queste curve hnno un punto di mssimo