2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

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1 . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche con i iti fondmentli. L cttiv notizi è che questi teoremi sono numerosi (m tutti ssi intuitivi), quell buon è che ci gurderemo bene dl dimostrrli. E molto importnte fre ttenzione l ftto che ognuno di questi teoremi h delle condizioni di vlidità. Qundo queste vengono mncre non è consentit l ppliczione del teorem stesso. In tutti i csi in cui i teoremi hnno vlidità, si dice che i iti si presentno sotto form determint. Poiché inizino tutti nello stesso modo, scriveremo or questo incipit comune un volt per tutte: Se risult: f ( ) =l f ( oppure ± ) g ( ) =l g ( oppure ± ) e nel seguito lo intenderemo sottinteso ll inizio di ciscuno dei teoremi.. Teorem del prodotto. [ ] llor: f ( ) g ( ) = lf l g ( oppure ± ) Nel cso in cui uno od entrmbi i itil f ed l g sino infiniti vlgono le seguenti regole di ritmetizzzione del simbolo, dove è un numero rele non nullo: > : ( ) = ( ) = < : ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = nel cso in cui uno dei due iti vlg e l ltro ± il presente teorem non h vlidità. Esempio 7 Risult: 7 ( 7) = l funzione costnte f() = 7 è evidentemente sempre stbilizzt ttorno l vlore l =7, quindi risult ( 7) = 7, mentre il secondo ite è uno dei iti fondmentli noti, =, e quindi, pplicndo il teorem del prodotto: 6

2 7 = ( 7) Ricordimo or che il simbolo indic che l funzione si st vvicinndo llo zero d vlori positivi. Moltiplicndo tutti questi vlori per il numero negtivo 7 divengono un serie di numeri negtivi che si vvicinno zero, d cui: ( 7) = Più in generle, se R, si h: > : = = < : = = Esempio 5 e Applicndo prim il teorem del prodotto, e poi l conoscenz dei iti fondmentli, risult: 5 5 e = e = ( ) = Esempio ln Applicndo prim il teorem del prodotto, e poi l conoscenz dei iti fondmentli, risult: ( ) ( ) ln = ln = = Esempio e 7 Applicndo prim il teorem del prodotto, e poi l conoscenz dei iti fondmentli, risult: = ( ) e = ( )( ) = e 7 7 7

3 . Teorem dell somm [ ] llor: ( oppure ± ) [ f g] () () = lf l g Nel cso in cui uno od entrmbi i itil f ed l g sino infiniti vlgono le seguenti regole di ritmetizzzione del simbolo, dove è un numero rele positivo o negtivo: = = = = nel cso in cui i due iti sino infiniti di segno opposto il presente teorem non h vlidità. Esempio 5 ( e ) pplicndo il l teorem dell somm: ( ) e = ( ) ( e ) ( ) = pplicndo il teorem del prodotto: = e = dll conoscenz dei iti fondmentli: ( ) ( ) = = = Esempio 6 pplicndo il teorem dell somm: = = pplicndo il teorem del prodotto: = = dll conoscenz dei iti fondmentli: = = = 8

4 del resto, l di là dei pssggi formli è molto evidente che, dovendo determinre il comportmento di quest funzione ll infinito, si vede subito che le due quntità e divengono sempre più piccole l crescere del denomintore e tutt l funzione si pprossim sempre più l vlore Esempio 7 ln rctn 6 pplicndo il teorem dell somm e del prodotto: = ln rctn= 6 e di iti fondmentli: π = ( ) ( ) ( ) = π= Anche qui, l di là dei pssggi formli (che sono ridondnti se svolti in quest form, che useremo solo per i 6 primi esercizi, si vedev subito che l crescere dell le tre quntità, e ln divengono infinite (nche se con velocità differenti) mentre l funzione rctn non vle mi oltre l ndmento complessivo. π, e così non lter Studire ReF pp 5.56, esercizi su somm e prodotto p 8 d 6 9

5 . Teorem del quoziente [ ] llor: ( oppure ± ) f () = l g () l f g Nel cso in cui uno dei itil f ed l g si nullo oppure infinito, vlgono le seguenti regole di ritmetizzzione del simbolo, dove è un numero rele positivo o negtivo: > : = = = = < : = = = = = = = = = = nel cso in cui i due iti sino entrmbi infiniti oppure entrmbi nulli il presente teorem non h vlidità. Osservzione: le formule di ritmetizzzione dell infinito che si ottengono dl il teorem del quoziente, sono un po le formule dell tort. Si l tort, e si bbino infiniti bmbini fr il quli dividerl. E chiro che l prte di ciscuno srà prticmente zero, d cui:. Ricordto questo, è fcile immginrsi che vlgno le regol lgebriche d cui I resto sono solo normli relzioni fr i segni che seguono le consuete regole di lgebr. Infine le relzioni del tipo, corrispondono l cso in cui non c è nemmeno l tort d sprtire (cioè = ). Ovvimente viene zero tort per ciscuno dei poveri bimbi. Esempio 8 pplicndo il teorem del quoziente: = = = = ( ) inftti vvicinrsi d vlori mggiori signific che l differenz tende d vlori mggiori di esso. Notimo inftti che:

6 Esempio 9 5 pplicndo il teorem del quoziente con un simbologi più snell: = = = = Esempio pplicndo il teorem del quoziente: = = = ( ) ( ). Limiti delle funzioni composte Se risult: g () =l g ( oppure ± ) (incluso il cso l g =± ), e se esiste il f () = l llor: lg ( oppure ± ) f fg (()) = f( l ) = l g f Quindi, d esempio, lddove esistono, si può dire che: il ite di un rdice n-esim è l rdice n-esim del ite, il ite di un potenz è l potenz del ite il ite di un logritmo è il logritmo del ite, il ite di un esponenzile è l esponenzile del ite, il ite di un seno è il seno del ite, e così vi. Esempio Risult: ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) = = =

7 Esempio Risult: 5e ( ) ( ) e = e = e = = 5e = 5e = 5 = = ( ) y = tn Esempio Risult: e tn e = e = ( ) = tn π π Esempio Risult: 5 ln 5 5 ln ln ln( ) = = = = Esempio 5 Risult: ( ) = = = ( ) ( ) ( ) ( ) = = = =

8 Esempio 6 Risult: = = = = ( ) ( ) Esempio 7 Risult: log π π tn y= log π π π log π tn log tn = = π y = tn = log ( ) = = ( π ) Esempio 8 Risult: = = = ReF Aritmetizzzione dell infinito pp Es p9 d 7 6, p d 7