Algebra di Boole ed elementi di logica

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1 Algebra di Boole ed elementi di logica Marco D. Santambrogio Ver. aggiornata al 13 Marzo 2013

2 Oggi 2

3 Info di servizio Feedback sulle lezioni Se date una valutazione 3 sul quanto la spiegazione sia risultata chiara, vi chiederei cortesemente di spiegare nelle note a cosa e dovuto questo dato Magari più precisione negli orari, venerdì ho perso parte della lezione perchè ha incominciato mezz'ora prima dell'ora scritta nel calentario accademico 3

4 WAT? Non basta dire di cercarsi la sintassi su internet o su un libro; rimane comunque il fatto che non si riesce a "strutturare" l'esercizio Laboratori: divisione in gruppi 38 gruppi il lunedi (99 studenti) 25 gruppo il giovedi (71 studenti) 4

5 Torniamo a Venerdì 8 Marzo 5

6 Struttura di un programma C parte dichiarativa globale inclusione librerie /* per poter invocare funzioni utili (i/o,...) */ dichiarazione di variabili globali e funzioni int main ( ) { parte dichiarativa locale dichiarazione di variabili locali } istruzione 1; istruzione 2; istruzione 3; istruzione 4;... istruzione N; /* tutti i tipi di operazioni, e cioè: */ /* istr. di assegnamento */ /* istr. di input / output */ /* istr. di controllo (condizionali, cicli) */ parte esecutiva Ogni programma C deve contenere un modulo int main() {...} 6

7 Struttura di un programma C Parte dichiarativa: contiene le dichiarazioni degli elementi del programma Dati, ed eventualmente funzioni (ma solo nella parte globale) Parte esecutiva: contiene le istruzioni da eseguire, che ricadono nelle categorie: Istruzioni di assegnamento (=) Strutture di controllo: Condizionali (if-then-else e switch) Iterative, o cicli (while, do e for) Istruzioni di Input/Output (printf, scanf,...) 7

8 Variabili e indirizzi int var; &var 3 2 var 1 0 Supponiamo che la dichiarazione riservi la zona di memoria all indirizzo 1 var indica il contenuto della cella di memoria &var indica l indirizzo della cella di memoria 8

9 Massimo Comune Divisore Definizione Dicesi Massimo Comune Divisore (M.C.D.) il piu grande tra i divisori comuni a due o piu numeri Esempi Dati A=12, B=15 Divisori comuni: 1, 3 - MCD=3 Dati A=10, B=30 e C=20 Divisori comuni: 1, 2, 5, 10 - MCD=10 9

10 MCD: pseudocodice 1. Leggi A e B 2. min= il minimo tra A e B 3. trovato = 0; MCD = min; 4. Finche trovato!= 1 1. Se MCD divide A e B 1. Allora trovato = 1 2. Altrimenti MCD = MCD Stampa MCD 10

11 MCD: diagramma di flusso Inizio Leggi A e B min=minimo{a,b} trovato = 0 MCD=min Stampa MCD no trovato!=1? Fine si MCD divide A e B no MCD=MCD -1 si trovato = 1 11

12 Obiettivi Algebra di Boole Algebra di boole a due valori: algebra di commutazione Operazioni logiche Espressioni logiche Assiomi e proprietà dell algebra di commutazione 12

13 Cenni all algebra di Boole L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 800), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva) 13

14 Algebra Booleana: definizione Algebra Booleana B è un sistema algebrico identificato dalla sestupla (B,+,*,,0,1) dove: B è l'insieme su cui vengono definite le operazioni (supporto) +,*, sono le operazioni binarie OR e AND e l operazione unaria NOT 0,1 sono elementi speciali di B. 0 è l elemento neutro rispetto a + 1 è l elemento neutro rispetto a * Assiomi

15 Algebra Booleana a due valori: Algebra di Commutazione Tra tutte le algebre booleane, l'algebra booleana a due valori...è la più utile. Essa è la base matematica della analisi e progetto di circuiti di commutazione che realizzano i sistemi digitali. [Lee, S.C., Digital Circuit And Logic Design. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1976]

16 Operazioni logiche fondamentali Operatori logici binari (con 2 operandi logici) Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con 1 operando) Operatore NOT, o negazione, o inversione Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato 16

17 Operazioni logiche fondamentali Le variabili dell algebra booleana a due valori possono assumere solo i due valori 0 e 1 precisamente, se x indica una variabile, è x = 0 se e solo se x 1 x = 1 se e solo se x 0 Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,,0,1) dove + (OR) e * (AND) sono definiti come Mentre l operazione a un solo elemento (unary operation) detta complementazione o negazione (NOT) è definita come * Nota: il simbolo associato al NOT è spesso indicato come (esempio x ),!(esempio!x) o sopra segnando la variabile.

18 Operatori logici di base e loro tabelle di verità A B A or B (somma logica) A B A and B (prodotto logico) A not A (negazione) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione 18

19 Pausa 5 George Boole 19

20 Espressioni logiche (o Booleane) Come le espressioni algebriche, costruite con: Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C = 0 oppure 1 Operatori logici: and, or, not Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C) Precedenza: l operatore not precede l operatore and, che a sua volta precede l operatore or A and not B or B and C = (A and (not B)) or (B and C) Per ricordarlo, si pensi OR come + (più), AND come (per) e NOT come - (cambia segno) 20

21 Tabella di verità di un espressione logica A and B or not C A B C X = A and B Y = not C X or Y and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 = and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 = 1

22 Due esercizi A B NOT ((A OR B) AND (NOT A)) A B C ( B OR NOT C) AND (A OR NOT C)

23 Vero e falso in C In C non esiste un tipo di dato specifico per rappresentare i concetti vero e falso Una condizione assume un valore intero pari a 0 se la condizione è falsa 1 se la condizione è vera In generale, ogni valore diverso da zero è considerato vero ( 3 ) VERO ( 1 ) VERO ( a a ) FALSO 23

24 Problema Si scriva un programma in C che, dato un numero, dica se questo è positivo o negativo 24

25 Soluzione 1. Si inserisca N 2. N è maggiore di 0? Vero: N è positivo Falso: N non è positivo 25

26 In C: positivo int main() { int n; printf ( Inserisci un numero\n"); scanf ("%d", &n ); if ( n > 0 ) printf ("Un numero positivo! \n"); else condizione printf ("Un numero negativo o nullo\n"); printf ("Fine del programma\n"); return 0; } 26

27 Problema: caratteri MaIuScOli Si scriva un programma che, preso un carattere minuscolo da tastiera, ne riporta a video l equivalente maiuscolo 27

28 Maiuscolo: esecuzione 28

29 HELP: errori sull input 29

30 Problema: errori sull input Problema Preso un dato inserito da tastiera Per potervi applicare la trasformazione di nostro interesse Dobbiamo prima verificare che il dato sia coerente con quanto ci aspettiamo Soluzione Definire l insieme dei caratteri validi Verificare l appartenenza del carattere inserito, all insieme dei caratterei validi 30

31 Pseudocodice Dati L insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c,, z} 1. Richiedere l inserimento di un carattere 2. Se carattere inserito corretto 3. Allora stampa a video carattere Altrimenti stampa a video un messaggio di errore 31

32 Condizione da verificare Dati L insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c,, z} Il carattere inserito deve essere =>a <= z 32

33 Maiuscolo: solo if 33

34 Pausa 10 34

35 Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere X: =>a Y: <= z X e Y devono essere entrambe vere X Y X and Y (prodotto logico) 35

36 Maiuscolo: AND 36

37 Maiuscolo: codice ottimizzato 37

38 Maiuscolo: esecuzione 38

39 A che cosa servono le espressioni logiche? A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento A = è vero che 1 è maggiore di 2? (sì o no, qui è no) = 0 B = è vero che 2 più 2 fa 4? (sì o no, qui è sì) = 1 A and B = è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A and B = 0 and 1 = 0, dunque no A or B = è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A or B = 0 and 1 = 1, dunque sì OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti o ed e, e come la negazione non, del linguaggio naturale Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull uso di o, e e non (non è molto, ma è utile) 39

40 Che cosa non si può modellare tramite espressioni logiche? Le espressioni logiche (booleane) non modellano: Domande esistenziali: c è almeno un numero reale x tale che il suo quadrato valga -1? (si sa bene che non c è) x x 2 = -1 è falso Domande universali: ogni numero naturale è la somma di quattro quadrati di numeri naturali? (si è dimostrato di sì) x x = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 è vero ( teorema dei 4 quadrati ) Più esattamente andrebbe scritto: x a,b,c,d x = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 e sono chiamati operatori di quantificazione, e sono ben diversi da or, and e not La parte della logica che tratta solo degli operatori or, and e not si chiama calcolo proposizionale Aggiungendo gli operatori di quantificazione, si ha il calcolo dei predicati (che è molto più complesso) 40

41 Tautologie e Contraddizioni Tautologia Una espressione logica che è sempre vera, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio del terzo escluso : A or not A (tertium non datur, non si dà un terzo caso tra l evento A e la sua negazione) Contraddizione Una espressione logica che è sempre falsa, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio di non contraddizione : A and not A (l evento A e la sua negazione non possono essere entrambi veri) 41

42 Equivalenza tra espressioni Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con ) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: A B not A and not B not (A or B) and 1 = 1 not 0 = and 0 = 0 not 1 = and 1 = 0 not 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili 42

43 Proprietà dell algebra di Boole L algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili 43

44 Vale per la somma rispetto al prodotto come per il prodotto rispetto alla somma non esiste precedenza fra le due operazioni, occorre sempre immaginare le parentesi sottintese intorno a ogni applicazione di un operazione. Algebra Booleana a due valori: Assiomi Gli operatori descritti godono delle proprietà definite dai seguenti assiomi (postulati di Huntington): Le operazioni di disgiunzione (+) e congiunzione ( ) sono commutative, cioè per ogni elemento a,b B a+b = b+a a b = b a Esiste un elemento neutro (o identità) rispetto a + (indicato con 0) e un elemento neutro rispetto a (indicato con 1), cioè: a+0=a a 1=a Le due operazioni sono distributive rispetto all altra, cioè per ogni a,b,c B, risulta: a+(b c)=(a+b) (a+c) a (b+c)=(a b)+(a c) Per ogni a B esiste l elemento a B, detto negazione logica o complemento di a, tale che: a+a =1 a a =0

45 Algebra di Commutazione: Proprietà 1 1: associativa a+(b+c)=(a+b)+c a*(b*c)=(a*b)*c 2: idempotenza a+a=a a*a=a 3: elemento nullo a+1=1 a*0=0 4: unicità elemento inverso: il complemento di a, a, è unico 5: assorbimento a+(a*b)=a a*(a+b)=a

46 Algebra di Commutazione: Proprietà 2 6: Semplificazione a+a b = a+b a*(a +b) = a*b 7: involuzione ((a) ) = a 8: Leggi di De Morgan (a+b) = a *b (a*b) = a +b 9: consenso a*b+a *c+b*c = a*b + a *c (a+b)*(a +c)*(b+c)=(a+b)*(a +c)

47 Uso delle proprietà Trasformare un espressione logica in un altra, differente per aspetto ma equivalente: not A and B or A = (assorbimento) = not A and B or (A or A and B) =(togli le parentesi) = not A and B or A or A and B = (commutativa) = not A and B or A and B or A = (distributiva) = (not A or A) and B or A = (legge dell elemento 1) = true and B or A = (vero and B à B) = B or Aè più semplice dell espressione originale Si può verificare l equivalenza con le tabelle di verità Occorre conoscere un ampia lista di proprietà e si deve riuscire a vederle nell espressione (talvolta è difficile) 47

48 Problemi di fine giornata Si scriva un programma in C che richiede l inserimento di un numero intero positivo, se l inserimento e errato ritorna un messaggio di errore Si scriva un programma in C che, dati due caratteri, li ordina in ordine alfabetico inverso 48

49 Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill Capitolo 2 Credits Daniele Braga Cristiana Bolchini retilogichea/index.htm