DISEQUAZIONI RAZIONALI

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1 DISEQUAZIONI RAZIONALI Un disequzione è un disuulinz r due espressioni letterli per l qule si rierno i vlori delle lettere he rendono l disuulinz ver. Primo prinipio di equivlenz: A B A ± M B ± M dove M è un polinomio; A < B A ± M < B ± M dove M è un polinomio; Seondo prinipio di equivlenz: A B k A k B dove k è un numero; A < B k A < k B dove k è un numero; A B h A < h B dove h < è un numero; A < B h A h B dove h < è un numero; N.B. Attenzione l mbio di verso qundo si moltiplino mbo i membri di un disequzione per un numero netivo!!!! 1. DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un disequzione rzionle di primo rdo, o linere, è sempre rionduibile uno dei seuenti tipi: b oppure < b dove e b sono numeri qulunque. Se, si può sempre supporre. In questo so si h: b b, < b < b

2 . DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Un disequzione di seondo rdo in si present o è rionduibile ll orm + b + oppure + b + < Il modo più semplie per risolvere un equzione di seondo rdo è quello di ssoirl ll prbol orrispondente e usre un metodo rio. ESEMPIO: disequzione: prbol ssoit: y = Poihé ompre il seno, risolvere le disequzione sinii lolre le sisse dei punti dell prbol he hnno ordint positiv y. Risolvendo l equzione ssoit trovimo : = = = 1 = = = Essendo = l onvità è rivolt verso l lto. Possimo disenre pprossimtivmente l prbol. I punti he hnno ordint positiv sono quelli he hnno siss minore di oppure miore di 4 ovvero < 4

3 3. SISTEMI DI DISEQUAZIONI Trovre le soluzioni omuni sovrpporre visivmente li intervlli determinre un sottointervllo in ui tutte le disequzioni sono ontempornemente soddistte I disequz.veriit se : < 1 V II disequz.veriit se: 3 5 Quindi il sistem non h soluzione Indihimo on S 1 e S li insiemi di soluzione, rispettivmente, dell prim e dell seond disequzione.ottenimo: S 1 : 3 S : < -3 - R S 1 S Quindi il sistem h soluzione: 3 <.

4 4. DISEQUAZIONI DI GRADO RICONDUCIBILE AL PRIMO Per risolvere tle disequzione si può dottre l solit ormul delle equzione di II rdo oppure rionosere he il trinomio è ottenibile dl prodotto di due binomi: 3 Il prodotto di due ttori è positivo se e solo se essi sono di seno onorde, l rier delle soluzioni si ridue llo studio del seno dei ttori. 3 R Seno primo ttore Seno seondo ttore Seno prodotto L disequzione di prtenz rihiedev un prodotto miore di zero, dunque selimo, nell ri reltiv l seno del prodotto, li intervlli rtterizzti dl seno +: < 3

5 5. DISEQUAZIONI FRATTE O FRAZIONARIE Le disequzioni rtte sono disequzioni in ui l vribile ompre l denomintore di un rzione. Esse, pertnto, sono nell orm eneri N D N oppure < D Come il prodotto, nhe il quoziente tr due polinomi è positivo se e solo se essi sono di seno onorde, mentre è netivo se e solo se essi sono di seno disorde. Dobbimo stre ttenti, inoltre, srtre dlle soluzioni quei vlori he nnullno il denomintore, per i quli l rzione perderebbe di siniito. + 5 Risolvere l disequzione: N D < / 4 5 R Seno N + + Seno D + _ + + Seno N / D + + _ + 3 Quindi l disequzione è veriit se: < 1 1 < < 5. 4

6 6. DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO MODULO RICORDARE : = se se < Anlizzimo le disequzioni modulri del tipo: < k oppure k < k k l disequzione non h soluzione k k < < k k < k k k l disequzione è sempre veriit k < k V k

7 DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DISEQUAZIONI CONTENENTI UN SOLO RADICALE Le disequzioni si possono presentre in un delle due orme: n < oppure n dove e sono due espressioni reli. A. RADICE DI INDICE PARI n < < [ ] n il rdindo deve essere miore o uule zero perhé il rdile bbi siniito reltà del rdile; deve essere neessrimente non netiv: l disequzione non vrebbe senso se osse netiv, seuito dell non netività del primo membro Ftto iò è possibile elevre in tutt trnquillità mbo i membri ll n n < V [ ] n Se è netiv e il rdile h senso, l disequzione è bnlmente veriit perhé il I membro è positivo o nullo; Se è non netiv possimo elevre mbo i membri ll n. Nel seondo sistem l ondizione di reltà del rdile è inlobt nell seond disequzione. B. RADICE DI INDICE DISPARI Qundo n è dispri il tutto lisio!!! Non vi sono né ondizioni d porre sui rdindi, né ttenzioni d prestre ll tto di elevre ll n. L soluzione dell disequzione si trov sempliemente elevndo n mbo i membri.

8 DISEQUAZIONI LOGARITMICHE 1. DISEQUAZIONI DEL TIPO lo lo oppure lo < lo Bst onrontre opportunmente li romenti tenendo onto dell ondizione di reltà. 1 < < : lo lo < 1 : lo lo 1 < < : lo lo < 1 : lo lo < < Le prime due disequzioni sono le ondizioni di reltà dei loritmi, mentre l terz è il onronto tr li romenti : in ess si inverte o meno il verso seond he l bse si ompres tr zero e uno oppure miore di uno.

9 . DISEQUAZIONI DEL TIPO lo oppure lo < Srivimo sotto orm di loritmo in bse : = lo. Quindi lo lo lo lo < lo < lo D ui < < 1 : 1 : < < 1 : 1 : lo lo lo lo lo < lo lo < lo < < 3. DISEQUAZIONI DEL TIPO lo oppure lo < In tli si, dopo ver posto l ondizione di esistenz, si oper l sostituzione t = lo, si risolve l disequzione in t e poi si ritorn ll vribile.

10 DISEQUAZIONI ESPONENZIALI 1. DISEQUAZIONI DEL TIPO oppure < Bst onrontre, opportunmente, li esponenti. < < 1 : 1 : < < 1 : 1 : < < < <. DISEQUAZIONI DEL TIPO b oppure / < Si riorre i loritmi per bbssre li esponenti b lo lob lo lob 3. DISEQUAZIONI DEL TIPO oppure < Si oper l sostituzione vribile. t =, si risolve l disequzione in t e poi si ritorn ll

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