PROBLEMA 1 In un sistema di assi cartesiani ortogonali O x y una curva γ ha per equazione

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO LICEO DELLA COMUNICAZIONE SESSIONE SUPPLETIVA Tm di: MATEMATICA. s. 9- PROBLEMA In un sistm di ssi crtsini ortogonli O y un curv γ h pr quzion y. c. Si clcolino i vlori dll costnti rli,, c, spndo ch γ h pr sintoti l rtt di quzioni y -, pss pr il punto (, /).. Si studi l unzion così ottnut si disgni il rltivo grico.. L quzion di γ può porsi sotto l orm: Si dtrminino l costnti y.. Si clcoli l r dll suprici pin, init, ditt d γ, dll ss dll rtt k, ssndo k l sciss dl punto in cui l curv incontr l sintoto orizzontl. PROBLEMA Si dt l unzion. Si dtrmini il dominio di () si dic s l unzion è continu drivil in ogni punto di sso.. Si studi l unzion () s n trcci il grico γ.. Si clcoli l r dll prt di pino R rcchius dl grico γ dl smiss positivo dll sciss.. L rgion R gnr, nll rotzion ttorno ll ss dll sciss, un solido S. In S si inscriv un cono circolr rtto con vrtic nll origin. Si dtrminino rggio ltzz dl cono, inchè il suo volum si mssimo.

2 QUESTIONARIO. Si dtrmini il cmpo di sistnz dll unzion: sn() y, con. log cos. Si clcoli il it dll unzion, qundo tnd.. Si provi ch l du unzioni cos g sn hnno l drivt uguli s n di un giustiiczion.. Un rttngolo ABCD è tl ch risult AB BC. Si dtrmini il tringolo isoscl di r minim circoscritto l rttngolo tl ch l s contng il sgmnto AB.. Si clcoli il volum dl solido gnrto dll rotzion ttorno ll ss dll porzion di pino itt dll curv y dll ss dll.. In cim d un rocci picco sull riv di un ium è stt costruit un torrtt d ossrvzion lt mtri. L mpizz dgli ngoli di dprssion pr un punto situto sull riv oppost dl ium, misurt rispttivmnt dll s dll sommità dll torrtt, sono pri 8. Si dtrmini l lrghzz dl ium in qul punto. 7. Considrt l unzion, dov è un costnt rl positiv, si dtrmini tl costnt, spndo ch. 8. Su un pino orizzontl si pongono un cono circolr rtto, il cui rggio di s è r l ltzz r, un sr di rggio r. A qul distnz dl pino isogn sgr qusti du solidi con un pino orizzontl ß, prché l somm dll r dll szioni così ottnut si mssim? 9. Si dimostri ch pr gli zri di un unzion c vl l rlzion ) ( ) si di un intrprtzion gomtric dll rmzion dimostrt. (. Si clcoli il vlor mdio dll unzion, nll intrvllo.

3 PROBLEMA Punto L unzion dv vr com sintoto vrticl y com sintoto orizzontl. L rtt è sintoto vrticl s dnomintor, cioè c. L rtt y è sintoto orizzontl s 7 c c ± c quindi s. quindi s si nnull il Il pssggio pr, prmtt di ricvr l trz condizion 9 c. 9 c Si trtt quindi di risolvr il sistm di tr quzioni in tr incognit c c d cui 9 c c c Punto Studimo l unzion Dominio: R; y Intrszion ss sciss: Intrszion ss ordint: y. y y Simmtri: l unzion non è nè pri nè dispri; Positività: ssndo > R{} s > ;, l unzion è positiv s > quindi Asintoti vrticli: com indicto nll trcci è sintoto vrticl in prticolr, cui nch è sintoto vrticl; ; inoltr, Asintoti orizzontli: com indicto nll trcci y è sintoto orizzontl dstro sinistro; Asintoti oliqui: non v n sono in qunto l unzion è rzionl rtt l prsnz dll sintoto orizzontl sclud l prsnz di qullo oliquo; Crscnz dcrscnz: l drivt prim è pr

4 ( ) ( ) ; ssndo ( ) > R{ ± }, l drivt prim è positiv s ( )( ) > quindi s > intrvlli ni quli l unzion è strttmnt crscnt; in prticolr l unzion prsnt un mssimo rltivo in M (,) d un minimo rltivo in 9 m, ; Concvità convssità: l drivt scond è ( ) ( ) ; pr ricvr i lssi st trovr gli zri dll drivt scond quindi risolvr l quzion g ; in prticolr ttrvrso considrzioni st sul comportmnto gli strmi, sull crscnz concvità di g dducimo ch g mmtt un solo zro pprtnnt ll intrvllo (,): intti in tl intrvllo è strttmnt crscnt d ssum vlor discord gli strmi pr cui norm dl torm dgli zri sist un unico zro in (,). Tl zro è ricvil ttrvrso uno di mtodi numrici com qullo di Nwton-Rphson ch prmtt di ricvr ricorsivmnt lo zro ttrvrso l ormul ( n) ( ) Di sguito il mtodo in orm tllr g n n con punto inizil g. n n n n rr n - n,,7,7,7,7,7,7,,7,7, Con un rror inrior l unico lsso tngnt oliqu h sciss, 7. Il grico è di sguito prsntto:

5 Punto Ettundo il minimo comun multiplo si h: sruttndo il principio di idntità di polinomi ricvimo il sgunt sistm di du quzioni in du incognit 7 7 Punto Pr clcolr l intrszioni dll unzion con l sintoto orizzontl st risolvr l quzion ; quindi l unzion intrsc l sintoto orizzontl nl punto d sciss. L r richist è quindi pri

6 S 7 ln ln ln 7 ln ln ln ln d ln 7 ln ln 9 9 ln 7 9 ln 7 9 ln

7 PROBLEMA Punto Il dominio dll unzion Nl dominio l unzion è continu. L drivt prim è è dto d:. d cui dducimo ch l unzion non è drivil ni punti ± in cui prsnt un tngnt vrticl; intti dominio sclusi i punti con sciss ±. Punto Studimo l unzion Dominio: ;. In conclusion l unzion è drivil in tutti i punti dl Intrszion ss sciss: Intrszion ss ordint: ( ) Simmtri: l unzion è dispri in qunto ( ) ( ) Positività: > > > Asintoti vrticli: non v n sono in qunto Asintoti orizzontli: non sistono visto il dominio chiuso [,] ; Asintoti oliqui: non sistono visto il dominio chiuso [,] ; Crscnz dcrscnz: l ; drivt prim è ; il qudro di sgni è lto prsntto: d sso dducimo l prsnz di un minimo rltivo 7

8 8, m d un mssimo rltivo, M ; Concvità convssità: l drivt scond è pr cui, ricordndo ch il dominio è, si h > > > pr cui l unzion prsnt concvità vrso l lto in, vrso il sso in, ; l unzion prsnt quindi un lsso tngtt oliqu, F con tngnt inlssionl di quzion y. Di sguito il grico: Punto L r richist è pri d d d d S Punto Si, P con un punto gnrico pprtnnt l rmo dl primo qudrnt dll unzion. Il rggio dl cono inscritto srà pri ll ordint dl punto P cioè R mntr l ltzz srà pri ll sciss cioè h. Il volum dl cono srà llor h R V. L mssimizzzion l ttuimo mdint

9 drivzion: l drivt prim è V ( ) itzion gomtric è strttmnt crscnt in pr cui l unzion volum, ricordndo l, strttmnt dcrscnt in, d cui dducimo ch il volum è mssimo qundo l ltzz è pri d il rggio è pri R. Il vlor mssimo è prtnto pri V 9. 9

10 QUESTIONARIO Qusito Il dominio dll unzion y log cos sin, itndoci ll intrvllo [ ],, è dto dll risoluzion dl sgunt sistm: > >, : 7 cos cos sin log cos cos sin : D k k D Qusito Scrivimo il it nl sgunt modo: Il trmin può ssr così rzionlizzto: Il it così divnt: Qusito L drivt dll unzion cos è d d cos sin cos cos ; nlogmnt l drivt dll unzion g sin è

11 d ( sin ) sin sin cos ; l du drivt coincidono in qunto l du unzioni d diriscono pr un costnt l cui drivt è null: intti cos sin g Qusito Considrimo l igur lto. Ponimo EK con >. I tringoli EKC d EHG sono simili, ssndo rttngoli con un ngolo in comun, pr cui vl l sgunt proporzion tr lti omologhi EK : KC EH : HG, cioè : ( ) : HG d cui HG. L r dl tringolo EFG è dunqu pri S ( ) FG EH ( ). L minimizzzion l ttuimo mdint drivzion: l drivt prim è ( ) S ch risult ssr positiv pr > ; ricordndo l itzion gomtric >, possimo rmr ch l unzion è strttmnt dcrscnt in (,) strttmnt crscnt in (, ) minimo dll r pri S ( ) 8. Qusito L cuic y. pr cui è prsnt un minimo pr cui corrispond il vlor intrsc l ss dll sciss ni punti (,) (,), qullo dll ordint in (,), è positiv in (, ) (,), prsnt un minimo rltivo in m(,), un mssimo rltivo in M, d un lsso tngnt oliqu in F,. Il suo grio è prsntto di sguito. 7 7 F D A E H K B C G

12 Il volum richisto è pri ( ) d ( ) 7 V d. 7 7 Qusito Considrimo l igur lto. Doimo clcolr l lunghzz dl sgmnto PO. Applicndo il torm di tringoli rttngoli i tringoli POT OH si h l rlzion ( ) PO tn( 8 ) PO tn d cui PO 9m Qusito 7 Il it richisto si prsnt nll orm indtrmint pr cui possimo pplicr il torm di d l Hospitl: Qusito 8 si h 7 ln ln Si considri l igur sgunt: A ln ln ln ln 7 ln ln ln. Imponndo ln ln ln ln ln ln ln 7. O K L D E B H C F Indichimo con, r, l distnz tr pini.

13 L intrszioni dl pino con il cono l sr sono du circonrnz rispttivmnt di rggio R C KL or i du rggi: R S DE. L somm dll r dll szioni è quindi S R C R S. Clcolimo Rggio R C I tringolo AKL AHC sono simili ssndo ntrmi rttngoli con un ngolo in comun pr cui vl l sgunt proporzion tr lti omologhi: ( r ) AK : KL AH : HC d cui AK HC r KL r pr cui l r dll circonrnz di rggio AH r KL r è Rggio R S A C RC r ; Il tringolo ODE è rttngolo pr cui DE OE OD r ( r ) r pr cui l r dll circonrnz di rggio R S R S DE r è AS RS ( r ). con L somm dll r è quindi S r ( r ) r r. Notimo ch l unzion r il mssimo nll sciss dl vrtic mssim pr V r vl S r S è un prol con concvità vrso il sso ch prsnt r r V ; quindi l somm dll du r è r 9 r r r r. Altrntivmnt possimo prosguir mdint drivzion: l drivt prim dll unzion S è S r pr cui S > r d cui dducimo ch crscnt in, r strttmnt dcrscnt in r, r r è l sciss dl mssimo. Qusito 9 Gli zri dll quzion c sono drivt prim di c è S è strttmnt S pr cui ; inoltr c c, ; l pr cui

14 c c c c d cui dducimo ch. Pr dr un intrprtzion gomtric l risultto ottnuto riscrivimo l somm [ ] : ss è pri imponndo ch si null ottnimo o quivlntmnt. L rlzion ppn ricvt ci dic ch l smisomm dll soluzioni è pri ch è l sciss dl vrtic; in ltri trmini gli zri dll prol sono simmtrici risptto ll rtt coincidnt con l ss di simmtri dll prol. Qusito Il vlor mdio di un unzion in [ ], è d V M. Nl cso in sm d V M ; pplicndo l intgrzion pr prti si h d d d V M