Esempi introduttivi Variabili casuali Eventi casuali e probabilità

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Evangelina Monti
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1 Esempi introduttivi Esempio tipico di problema della meccanica razionale: traiettoria di un proiettile. Esempio tipico di problema idraulico: altezza d'acqua corrispondente a una portata assegnata. Come si assegna la portata? Esempio della costruzione di un'arginatura. Esempio della mappatura del rischio idraulico. Necessità di associare a ogni valore di portata un grado di rarità. Variabili casuali Relazione tra variabili deterministiche: y = f(). Caso particolare di determinismo: la previsione del futuro. Esempio della previsione dell'altezza di pioggia. Impossibilità di risolvere il problema in modo deterministico. Necessità di introdurre le variabili casuali. Variabili casuali discrete e continue, limitate e illimitate. Popolazione di una variabile casuale: l'insieme di tutti i valori possibili (con ripetizioni). Definizione pratica: la popolazione dei valori come l'insieme dei valori di una serie temporale di lunghezza infinita. Costanza nel tempo. Valori provenienti da popolazioni diverse per cambiamento di strumenti di misura o di regime idrologico. Eventi casuali e probabilità Evento casuale: la nozione comprende quella di variabile casuale. Probabilità: rapporto p tra il numero m dei casi favorevoli a un evento e il numero N dei casi ugualmente possibili. Considerazione di due eventi: possibilità di influenza dell'uno sull'altro. Probabilità incondizionata p(e 1 ) e probabilità condizionata p(e 1 E 2 ). Eventi mutuamente dipendenti ed eventi mutuamente indipendenti. Eventi (dipendenti) incompatibili. Probabilità composta di due eventi: p(e 1 E 2 ) (intersezione). Probabilità totale di due eventi p(e 1 E 2 ) (unione). Assiomi fondamentali del calcolo delle probabilità: 1) p è compresa nell'intervallo (0,1); 2) p = 1 per evento certo; 3) p = 0 per evento impossibile; 4) p(e 1 E 2 ) = p(e 1 )p(e 2 E 1 ); 5) p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) per eventi incompatibili. 1

Variabili casuali Relazione tra variabili deterministiche: y = f(). Caso particolare di determinismo: la previsione del futuro. Esempio della previsione dell'altezza di pioggia.

2 Gli assiomi 4) e 5) si estendono immediatamente al caso di più di due eventi: 4) p(e 1 E 2 E 3 ) = p(e 1 )p(e 2 E 1 )p(e 3 E 1,E 2 ); 5) p(e 1 E 2 E 3 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) + p(e 3 ). Probabilità totale di due eventi (compatibili o incompatibili) Possono darsi tre casi, in ciascuno dei quali accade almeno uno dei due eventi considerati: E 1 E 2, E 1, E 2 E 1. I tre eventi sono incompatibili. Quindi la probabilità totale è ( ) = p ( E 1 E 2 ) E 1 p E 1 E 2 = p( E 1 E 2 ) + p E 1 [ ( ) ( E 2 E 1 )] = ( ) + p( E 2 E 1 ). Occorre determinare p E 1 eventi incompatibili) ( ), ( ), p( E 1 ) = p( E 1 E 2 ) + p E 1 p( E 2 ) = p( E 1 E 2 ) + p E 2 E 1 ( ) e p E 2 E 1 ( ). Dalle relazioni (valide per si ricavano p( E 1 ) e p( E 2 E 1 ). Sostituendo si ottiene: p( E 1 E 2 ) = p( E 1 ) + p( E 2 ) p( E 1 E 2 ). Probabilità totale di due eventi. Esempio grafico. Probabilità di un valore di variabile discreta Funzione di probabilità di variabile discreta. Esempio della somma delle letture di due dadi da gioco (due trasparenti). Probabilità di un valore di variabile continua Non definibile come diverso da zero. Probabilità di non superamento. Funzione di probabilità di variabile continua. 2

I tre eventi sono incompatibili. Quindi la probabilità totale è ( ) = p ( E 1 E 2 ) E 1 p E 1 E 2 = p( E 1 E 2 ) + p E 1 [ ( ) ( E 2 E 1 )] = ( ) + p( E 2 E 1 ).

3 Probabilità di superamento del valore 1 (con variabile qualsiasi) I due eventi 1, > 1 sono incompatibili; la probabilità totale è 1; quindi p( 1 ) + p( > 1 ) = 1, da cui immediatamente p( > 1 ) = 1 p( 1 ). Probabilità di cadere in un intervallo ( 1, 2 ) (con variabile qualsiasi) Si hanno tre eventi incompatibili, che insieme esauriscono la totalità degli eventi possibili: Quindi è p 1 1, 1 < 2, > 2. [( ) ( 1 < 2 ) ( > 2 )] = ( ) + p( 1 < 2 ) + p( > 2 ) = 1, = p 1 da cui immediatamente si ricava p( 1 < 2 ) = p( 2 ) p( 1 ). Densità di probabilità: Probabilità di ricadere in un intervallo infinitesimo: P( + d) - P() = P() + p()d - P() = dp() dp() = p()d. La derivata p() di P() è la densità di probabilità Probabilità di ricadere in un intervallo come area sottesa dalla curva. Teorema dell'area. 3

Probabilità di cadere in un intervallo ( 1, 2 ) (con variabile qualsiasi) Si hanno tre eventi incompatibili, che insieme esauriscono la totalità degli eventi possibili: Quindi è p 1 1, 1 < 2, > 2.

4 Somma delle letture di due dadi da gioco corrispondente a tutte le combinazioni possibili N somma delle letture numero dei casi in cui la somma delle letture è uguale a N

6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 N somma delle letture numero dei casi in cui la

5 Distribuzione dei valori della somma delle letture di due dadi da gioco N

6 0,2 p() 0,1 0, Distribuzione di probabilità della somma delle letture di due dadi da gioco

7 1,0 0,8 0,6 P() 0,4 0,2 0, Esempio di funzione di probabilità di non superamento di variabile continua

8 1,0 0,8 0,6 P() 0,4 0,2 0, Esempio di funzione di probabilità di non superamento di variabile discreta (somma delle letture di due dadi da gioco)

9 0,02 p() 0,01 0, Esempio di funzione di densità di probabilità di variabile continua

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