Equazioni differenziali di ordine superiore al primo

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1 Equzioni diffrnzili di ordin suprior l primo Eq. diff. linri offiinti ostnti n + n n + n = b i offiinti k sono ostnti, b = trmin noto, dfiniti in I R. L q. diff. è omogn s b = n + n n + n =

2 Eq. diff. linri offiinti ostnti L intgrl gnrl = + Dov: è l soluzion dll omogn ssoit ; è un intgrl prtiolr dll ; Eq. diff. linri offiinti ostnti Rir dll Dt l q. omogn ssoit n + n n + n = Si sriv l quzion rttristi λ n + λ n n λ + n =

3 Eq. diff. linri offiinti ostnti Torm S,, n sono soluzioni di n + n n + n = llor n n è soluzion,, n ostnti Eq. diff. linri offiinti ostnti L'intgrl gnrl di un'quzion omogn di ordin n h l form = + + n n Dov,, n sono n soluzioni linrmnt indip ndnti in I,, n n ostnti rbitrri

4 Eq. diff. linri offiinti ostnti Dfinizion,, n sono funzioni linrmnt dipndnti s + + n n = n = Eq. diff. linri offiinti ostnti Torm Condizion nssri suffiint ffinhé n soluzioni, di un'quzion diffrnzil linr di ordin n, sino linrmnt indipndnti è h il dtrminnt Wronskino: W = n n n n n n 4

5 Eq. diff. linri offiinti ostnti Rir dll. S l q. rttristi mmtt n rdii rli distint λ, λ,.., λ n, llor l q. omogn ssoit mmtt n soluzioni dl tipo: = λ, = λ,, n = λ n E l intgrl gnrl, h è l ombinzion dll n soluzioni linrmnt indipndnti h l form = C λ + C λ + + C n λ n 5 6 5

6 Eq. diff. linri offiinti ostnti Rir dll. S l q. rttristi mmtt rdii rli oinidnti λ k on moltpliità m k, m + +m k = n llor l q. omogn ssoit mmtt pr ogni λ k soluzioni dl tipo: = λk, = λk,, mk = mk λ k 6

7 7

8 Eq. diff. linri offiinti ostnti Rir dll. S l quzion rttristi mmtt rdii omplss oniugt λ = α + iβ, λ = α iβ on moltpliità m. Allor l quzion omogn ssoit mmtt soluzioni dl tipo: α os β ; α os β ;. ; m α os β α sn β ; α sn β ;. ; m α sn β Eq. diff. linri offiinti ostnti Si rriv tli soluzioni onsidrndo gli intgrli prtiolri k α+iβ, k α iβ k =,,, m ui vngono Applit l formul di Eulro 8

9 5 9

10 IV

11 Equzioni diffrnzili ordinri di ordin n Mtodo dll somiglinz. b = P m γ polinomio di grdo m γ non è rdi dll q. rttristi = Q m γ b γ è rdi dll quzion rttristi on moltpliità k = k Q m γ

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14 Equzioni diffrnzili ordinri di ordin n. b = P m γ os μ o b = P m γ snμ γ±iμ non sono rdii dll q. rttristi = [Q m os μ + R m sin μ ] γ b γ±iμ è rdi dll quzion rttristi on moltpliità k = k [Q m os μ + R m sin μ ] γ 4

15 sn os 5

16 os 6

17 7

18 sn 8

19 Equzioni diffrnzili linri di ordin n Rir dll - Mtodo dll vrizioni dll ostnti rbitrri o di Lgrng vlido pr un quzion diffrnzil linr offiinti vribili 9

20 Equzioni diffrnzili linri di ordin n Torm Sino,,., n, I R, n intgrli linrmnt indipndnti dll quzion omogn. Sino,,., n, n funzioni l ui drivt soddisfno in I il sistm di quzioni linri in,,., n : Equzioni diffrnzili linri di ordin n ' '... n' n ' ' '... n' n' n n n ' '... n' n b Allor un intgrl prtiolr dll quzion diffrnzil linr di ordin n è:... n n

21 Un insim di numri ordinti sondo righ olonn è dtto mtri di ordin m n, ov m è il numro dll righ n il numro dll olonn Un mtri si di qudrt s m=n A n, n i n i n j j ij nj n n in nn ij trmin gnrio dt A A, A, dt A

22 Sviluppo di Lpl A, dt A dt A dt A n j n i i j i j ij ij dt A ij dt A ij Lungo l righ Lungo l olonn Equzioni diffrnzili linri di ordin n W n ' n n n ' n n ' b ' n W n n ' n n

23 Equzioni diffrnzili linri di ordin n ' ' ' W b n n n n n os, i sin os sin os,, ostnti., funzioni d dtrminr

24 4 sin os os os ' sin ' sin ' os ' os sin sin os W W b os sin os sin ' os sin os ' os W b

25 sin d ln os, os d os sin os ln os sin l intgrl gnrl è os sin os ln os sin,, on m 5

26 6 ' ' ' ' ' ' ' W " " " ' ' ' W b " " ' ' ' '

27 7 W b " " ' ' ' ' W b " " ' ' ' '

28 8 ' ' ' d d l intgrl gnrl è

29 9

30 ln on, m ln ' ' ' ' Rir W

31 ln b ' W ln b ' W ln ln ' ln ln d ln d ' ln ln d ln

32 l intgrl gnrl è 4 ln ln ln ln Un insim di numri ordinti sondo righ olonn è dtto mtri di ordin m n, ov m è il numro dll righ n il numro dll olonn Un mtri si di qudrt s m=n A n, n i n i n j j ij nj n n in nn ij trmin gnrio

33 dt A A, A, dt A Sviluppo di Lpl A, dt A dt A dt A n j n i i j i j ij ij dt A ij dt A ij Lungo l righ Lungo l olonn