Note di Matematica Generale
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- Gregorio Conti
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1 This is pg i Printr: Opqu this Not di Mtmtic Gnrl Robrto Mont Dcmbr 13, 2005
2 ii ABSTRACT Ths nots r still work in progrss nd r intndd to b for intrnl us. Pls, don t cit or quot.
3 Contnts This is pg iii Printr: Opqu this 1 Elmnti di tori dll intgrzion v 1.1 Intgrli Dfiniti v Proprità dll intgrl dfinito risptto gli strmi di intgrzion viii Proprità dll intgrl dfinito risptto ll funzion intgrnd ix 1.2 Intgrli Indfiniti x Proprità dll intgrl indfinito x 1.3 Rlzion tr intgrzion dfinit d indfinit xi 1.4 Tcnich di Intgrzion indfinit xii Funzioni immditmnt intgrbili xii Intgrzion pr dcomposizion in somm..... xii Intgrzion pr prti xii Intgrzion pr sostituzion xiv
4 iv Contnts
5 1 Elmnti di tori dll intgrzion This is pg v Printr: Opqu this 1.1 Intgrli Dfiniti Si [, b] un intrvllo chiuso limitto di R. Dfinizion 1 Chimimo prtizion di [, b] ogni insim finito P {x 0, x 1,..., x n 1, x n } di punti di [, b] tli ch = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Chimimo mpizz dll prtizion P il nomro rl positivo δ(p ) mx{x k x k 1, k = 1,..., n}. Esmpio 2 Comunqu fissto n N ponimo x k k/n pr ogni k = 0, 1,..., n, llor l insim P {x 0, x 1,..., x n 1, x n } è un chirmnt un prtizion dll intrvllo [0, 1] pr l qul si h δ(p ) = 1/n. Si f : [, b] R un fuzion rl limitt dfinit in [, b]. Dfinizion 3 Dt un prtizion P {x 0, x 1,..., x n 1, x n } di [, b] ponimo l k inf{f(x), x [x k 1, x k ]} d l k sup{f(x), x [x k 1, x k ]} pr ogni k = 0, 1,..., n Chimimo llor somm infrior [risp. somm suprior] rltiv ll funzion f d ll prtizion P il numro rl df s P ) = l k (x k x k 1 ) [risp. s(f, P ) (f, df = l k (x k x k 1 )]. Ossrvzion 4 Posto l inf{f(x), x [, b]} d l sup{f(x), x [, b]} pr ogni prtizion P di [, b] risult chirmnt l(b ) s (f, P ) s(f, P ) l(b ).
6 vi 1. Elmnti di tori dll intgrzion Si P l fmigli di tutt l possibili prtizioni di [, b]. Ossrvzion 5 L insim dll somm infriori {s (f, P ), P P} è non vuoto supriormnt limitto l insim dll somm supriori { s(f, P ), P P} è non vuoto d infriormnt limitto. Dfinizion 6 Chimimo intgrl infrior di f in [, b], lo dnotimo con il simbolo f(x) dx,il numro rl f(x) dx = sup{s (f, P ), P P}. Chimimo intgrl suprior di f in [, b], lo dnotimo con il simbolo f(x) dx,il numro rl f(x) dx = inf{ s(f, P ), P P}. Dicimo ch f è intgrbil scondo Rimnn in [, b] s risult f(x) dx = f(x) dx. In qusto cso chimimo tl numro rl intgrl (scondo Rimnn) di f in [, b] lo dnotimo con il simbolo f(x) dx. Esmpio 7 Si f : [0, 1] R l funzion dfinit ponndo { f(x) df 1 s x [0, 1] Q = 0 s x [0, 1] Q. Tl funzion non è intgrbil scondo Rimnn in [0, 1]. Discussion. Inftti, comunqu considrt l prtizion P {x 0, x 1,..., x n 1, x n } di [, b] risult chirmnt pr ogni k = 1,..., n l k inf{f(x), x [x k 1, x k ]} = 0, l k sup{f(x), x [x k 1, x k ]} = 1. Prtnto s(f, P ) df = df s P ) = (f, l k (x k x k 1 ) = 0, l k (x k x k 1 ) = (x k x k 1 ) = x n x 0 = 1.
7 1.1 Intgrli Dfiniti vii N sgu llor ch {s (f, P ), P P} = {0}, { s(f, P ), P P} = {1}. Prtnto f(x) dx = sup{s (f, P ), P P} = 0, f(x) dx = inf{ s(f, P ), P P} = 1. A norm di dfinizion f non è intgrbil in [0, 1]. Si f : [0, 1] R l funzion dfinit ponndo f(x) df = x. Tl funzion è intgrbil scondo Rimnn in [0, 1] risult f(x) dx = 1 2. Discussion. Fissto n N considrimo l prtizion P {x 0, x 1,..., x n 1, x n } di [0, 1] dfinit ponndo x k k/n pr ogni k = 0, 1,..., n. Pr com dfinit l funzion f, rltivmnt tl prtizion si h pr ogni k = 1,..., n l k inf{f(x), x [x k 1, x k ]} = x k 1 = k 1 n l k sup{f(x), x [x k 1, x k ]} = x k = k n. Prtnto df s P ) = (f, l k (x k x k 1 ) = s(f, P ) df = l k (x k x k 1 ) = D ltr prt, è bn noto ch k = k 1 n 1 n = 1 n 2 k 1 n n = 1 n 2 n(n + 1), 2 (k 1), k.
8 viii 1. Elmnti di tori dll intgrzion di consgunz (k 1) = Ottnimo llor D ciò sgu ossi s (f, P ) = 1 n 2 k n = n(n + 1) 2 n = (k 1) = 1 n(n 1) n 2 2 s(f, P ) = 1 n 2 n 2 n 2n 2 n k = 1 n 2 n(n + 1) 2 (n 1)n. 2 = n2 n 2n 2, = n2 + n 2n 2. f(x) dx = sup{s (f, P ), P P} n2 n 2n 2, f(x) dx = inf{ s(f, P ), P P} n2 + n 2n 2. f(x) dx Dt l rbitrrità di n N fissto dto ch f(x) dx n2 + n 2n 2. sup{ n2 n n 2 n 2n 2, n N} = lim n 2n 2 = 1 2, inf{ n2 + n n 2 + n 2n 2, n N} = lim n 2n 2 = 1 2, possimo llor conlcudr ch f(x) dx = f(x) dx = 1 2. Ossi f è intgrbil scondo Rimnn in [0, 1] f(x) dx = 1 2. Funzioni intgrbili Proprità dll intgrl dfinito risptto gli strmi di intgrzion Si f : [, b] R un fuzion rl limitt dfinit Rimnn-intgrbil sull intrvllo chiuso limitto [, b] R.
9 1.1 Intgrli Dfiniti ix Thorm 8 Si h f(x) dx = b f(x) dx Thorm 9 Comunqu fissto un punto c [, b] si h f(x) dx = c f(x) dx + c c c f(x) dx = 0. f(x) dx Proprità dll intgrl dfinito risptto ll funzion intgrnd Sino f : [, b] R g : [, b] R du funzioni rli dfinit Rimnnintgrbili sull intrvllo chiuso limitto [, b] R. Thorm 10 (Linrità dll Intgrl Dfinito) Pr tutti gli α, β R si h (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. Thorm 11 (Monotoni dll Intgrl Dfinito) Supponimo ch si bbi f(x) g(x) pr ogni x [, b]. Risult llor Corollry 12 Si h f(x) dx f(x) dx g(x) dx. f(x) dx. Si f : [, b] R un fuzion rl limitt dfinit sull intrvllo chiuso limitto [, b] R. Thorm 13 (Torm dll Mdi Intgrl) Supponimo ch f : [, b] R si continu. Allor sist un punto x 0 [, b] tl ch f(x) dx = f(x 0 )(b ).
10 x 1. Elmnti di tori dll intgrzion Prov. Poichè l funzion f : [, b] R è continu d è dfinit su un intrvllo chiuso limitto, sistono m min {f(x)} M min {f(x)} x [,b] x [,b] pr i quli si h m f(x) M pr ogni x [, b]. Pr il l proprità di monotoni dll intgrl dfinito, si h lllor ossi m dx m(b ) di modo ch possimo scrivr m 1 (b ) f(x) dx M dx, f(x) dx M(b ), f(x) dx M. Infin, ricordndo ch un funzion continu ssum tutti i vlori comprsi tr il suo minimo d il suo mssimo, è possibil dtrminr un punto x 0 [, b] tl ch f(x 0 ) = Ciò complt l prov dl torm. 1 (b ) f(x) dx. 1.2 Intgrli Indfiniti Dfinizion di intgrl indfinito Proprità dll intgrl indfinito Sino f : [, b] R g : [, b] R du funzioni rli dfinit continu sull intrvllo chiuso limitto [, b] R. Thorm 14 (Linrità dll intgrl indfinito) Pr tutti gli α, β R si h (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx.
11 1.3 Rlzion tr intgrzion dfinit d indfinit xi 1.3 Rlzion tr intgrzion dfinit d indfinit Si f : [, b] R un funzion rl limitt dfinit sull intrvllo chiuso limitto [, b] R. Thorm 15 (Torm Fondmntl dl Clcolo Intgrl) Supponimo ch f : [, b] R si continu. Allor l funzion F 0 : [, b] R dt d F 0 (x) df = x f(u) du, x [, b], è drivbil pr ogni x [, b] si h d dx F 0(x) = f(x). In ltri trmini, l funzion f : [, b] R mmtt primitiv, pr ogni primitiv F : [, b] R si h f(u) du = F (b) F (). Prov. Pr provr l ssrto considrimo il rpporto incrmntl dll funzion F 0 : [, b] R rltivo d un gnrico punto x (, b) d un incrmnto h > 0. Pr l proprità dll intgrl dfinito, si h F 0 (x + h) F 0 (x) h = = = 1 h x+h x+h x+h x f(u) du x f(u) du h f(u) du + f(u) du x h f(u) du. D ltr prt, pr il Torm dll Mdi Intgrl, risult x+h x f(u) du = f(x h )h pr un opportuno punto x h [x, x + h]. Si h llor di consgunz F 0 (x + h) F 0 (x) h = 1 h f(x h)h = f(x h ), F 0 (x + h) F 0 (x) lim = lim f(x h ). h 0 h h 0
12 xii 1. Elmnti di tori dll intgrzion E poi chiro ch qundo h 0 si ottin ch x + h x poichè x h [x, x+h] si ottin nch x h x. M llor pr l continutà dll funzion f : [, b] R risult lim h 0 f(x h) = f(x). Ciò prov ch l funzion F 0 : [, b] R è drivbil ch pr x [, b] si h d dx F 0(x) = f(x). Pr provr l scond prt dll ssrto ossrvimo ch considrt un qulsisi primitiv F : [, b] R dll funzion f : [, b] R pr un opportun costnt c R dv vrsi F (x) = F 0 (x) + c pr ogni x [, b]. N sgu llor ch F (b) F () = F 0 (b) F 0 () = In qunto pr costruzion risult F 0 (b) = f(x) dx F 0 () = Il Torm è così compltmnt provto. f(x) dx f(x) dx = Tcnich di Intgrzion indfinit Funzioni immditmnt intgrbili Intgrzion pr dcomposizion in somm Intgrzion pr prti Si dsidr clcolr l intgrl indfinito f(x) dx dov f(x) è un funzion non immditmnt intgrbil. Si può crcr llor di dtrminr du funzioni g(x) d h(x) pr l quli si bbi f(x) = g(x)h (x) tli ch si sppi clcolr l intgrl indfinito g (x)h(x) dx.
13 1.4 Tcnich di Intgrzion indfinit xiii Quindi si può pplicr l formul di intgrzion pr prti f(x) dx = g(x)h(x) g (x)h(x) dx. Esmpio 16 Clcolr l intgrl indfinito x xp(x) dx. Discussion. L funzion f(x) = x xp(x) non è immditmnt intgrbil. D ltr prt è smplic riconoscr ch si prsnt nll form pr l sclt dll funzioni f(x) = g(x)h (x), g(x) = x h(x) = xp(x) Applicndo l formul di intgrzion pr prti, si h llor x xp(x) dx = x xp(x) xp(x) dx D notr ch, s si fossro sclt l funzioni = x xp(x) xp(x) + c. vrmmo vuto ncor g(x) = xp(x) h(x) = 1 2 x2 f(x) = g(x)h (x), m si l ppliczion dll formul di intgrzion pr prti vrbb prodotto il risultto x xp(x) dx = 1 2 x2 xp(x) 1 x 2 xp(x) dx, 2 ch non ci consnt di uscir dll impss. Exrcis 17 Clcolr gli intgrli indfiniti x 2 xp(x) dx, x 3 xp(x) dx. Dtrminr quindi un formul ricorsiv pr il clcolo dll intgrl x 2 xp(x) dx, n 1.
14 xiv 1. Elmnti di tori dll intgrzion Esmpio 18 Clcolr l intgrl indfinito ln(x) dx. Discussion. L funzion f(x) = ln(x) non è immditmnt intgrbil. Ci si chid llor s si possno dtrminr du funzioni g(x) d h(y) pr l quli si bbi f(x) = g(x)h (x). E nturl scglir g(x) = ln(x), nl qul cso non è difficil riconoscr ch bisogn scglir h(x) = x. Si h llor ln(x) dx = x ln(x) = x ln(x) x 1 x dx dx = x ln(x) x + c. Exrcis 19 Clcolr gli intgrli indfiniti x 2 xp(x) dx, x 3 xp(x) dx. Dtrminr quindi un formul ricorsiv pr il clcolo dll intgrl x 2 xp(x) dx, n 1. Esmpio 20 Exrcis 21 Clcolr l intgrl indfinito ln(x + 1) dx. x Intgrzion pr sostituzion Si dsidr clcolr l intgrl indfinito f(x) dx dov f(x) è un funzion non immditmnt intgrbil. Si può crcr llor di dtrminr du funzioni g(x) d h(y) pr l quli si bbi f(x) = h(g(x))g (x)
15 tli ch si sppi clcolr l intgrl h (y) dy = H(y) + c. 1.4 Tcnich di Intgrzion indfinit xv Quindi si può pplicr l formul di intgrzion pr sostituzion f(x) dx = h(g(x))g (x) dx = h (y) dy = H(y) + c = H(g(x)) + c, grzi ll sostituzion y = g(x). Esmpio 22 Clcolr l intgrl indfinito x xp(x 2 ) dx. Discussion. L funzion f(x) = xp(x 2 ) non è immditmnt intgrbil. D ltr prt è smplic riconoscr ch si prsnt nll form pr l sclt dll funzioni Inftti, bbimo f(x) = h(g(x))g (x), g(x) = x 2 h(y) = 1 2 xp(y). h(g(x))g (x) = 1 2 xp(g(x))g (x) = 1 2 xp(x2 ) 2x = f(x). Si h llor x xp(x 2 ) dx = 1 2 xp(y) dy = 1 2 xp(y) + c = 1 2 xp(x2 ) + c, grzi ll sostituzion y = x 2. Esmpio 23 Clcolr l intgrl indfinito ln(x) x dx. Discussion. L funzion f(x) = 1 ln(x) non è immditmnt intgrbil. D ltr prt si h chirmnt x f(x) = h(g(x))g (x), pr l sclt dll funzioni g(x) = ln(x) h(y) = y.
16 xvi 1. Elmnti di tori dll intgrzion Inftti, bbimo h(g(x))g (x) = g(x)g (x) = 1 ln(x) = f(x). x Si h llor ln(x) x dx = y dy = 1 2 y2 + c = 1 2 ln(x)2 + c, grzi ll sostituzion y = ln(x). Exrcis 24 Clcolr gli intgrli indfiniti x ln(x x ln(x ) ) dx, x 2 dx, + 1 x 3 x
e una funzione g ε S f tali che = sup g : g S f tale che h ε f < ε/2; analogamente, per
C.13 ntgrl di Rimnn Prmttimo il sgunt risultto. Lmm C.13.1 Si f un funzion limitt su = [, b]. Allor f è intgrbil s solo s pr ogni ε > 0 sistono un funzion h ε S + f un funzion g ε S f tli h h ε g ε < ε.
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Clcolo integrle Proprietà dell integrle deinito Teorem dell medi integrle Corollri del Teorem ond. clc. int. Regole di integrzione deinit Clcolo di ree 2 26 Politecnico di Torino 1 Estensione dell integrle
Funzione esponenziale e logaritmo. Proprietà di esponenziale e logaritmo.
Funzion sponnzil ritmo. Proprità di sponnzil ritmo. 6. Funzion sponnzil ritmo. Proprità di sponnzil ritmo. Funzion sponnzil f ( ) fissto f : ( + ) è l bs dll funzion sponnzil d è fisst è l sponnt dll funzion
Equazioni differenziali di ordine superiore al primo
Equzioni diffrnzili di ordin suprior l primo Eq. diff. linri offiinti ostnti n + n +...... + n + n = b i offiinti k sono ostnti, b = trmin noto, dfiniti in I R. L q. diff. è omogn s b = n + n +...... +
Esercizi su spazi ed operatori lineari
Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic,.. 011-01 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 9 Novembre 01 1 Spzio L Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni pprtengono
ANALISI 1 1 DICIOTTESIMA - DICIANNOVESIMA LEZIONE Integrale secondo Riemann
ANALISI 1 1 DICIOTTESIMA - DICIANNOVESIMA LEZIONE Integrle secondo Riemnn 1 prof. Cludio Sccon, Diprtimento di Mtemtic Applict, Vi F. Buonrroti 1/C emil: sccon@mil.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/
INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma
![INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma](/thumbs/17/120065.jpg "INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma")
INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente
Integrale e Primitiva
Alm Mter Studiorum Università di Bologn FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Lure in Mtemtic Integrle e Primitiv Tesi di Lure in Anlisi Mtemtic Reltore: Chir.mo Prof. Ermnno Lnconelli
Introduzione al calcolo integrale
Introduzione l clcolo integrle Indice: Integrle di Riemnn. Proprietà delle funzioni integrbili. Continuità dell funzione integrle. Teorem dell Medi. Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle. Metodi di integrzione.
Alcune note introduttive alle serie di Fourier.
Alcune note introduttive lle serie di Fourier. Definizione. Si f : IR IR periodic di periodo e integrbile su [, ]. Diremo coefficienti di Fourier di f i numeri reli = f dx, = IN f cos dx, b = IN e serie
Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 10/01/2011 A
Prim prov scritt di Anlisi Mtemtic 1 del 10/01/2011 A (1) Fornire l definizione di funzione integrbile secondo Riemnn e di integrle di Riemnn. (2) Enuncire e dimostrre il Teorem di Rolle. (3) Dimostrre
Calcolare l area di una regione piana
Integrli Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione Clcolre l
Nome Cognome classe 5D 16 Dicembre VERIFICA di MATEMATICA PROBLEMA
Nom Cognom cls D 6 Dicmr 8 VERIFICA di MATEMATICA PROBLEMA Considr l unzion, studin l ndmnto trccin il grico proil punti: Di l dinizion di unzion inittiv Sull dl grico proil ch hi trccito, l unzion è inittiv?
Integrazione definita
Integrzione definit Si [,b] R un intervllo chiuso e limitto. Si f : [,b] R limitt. Def. Trpezoide di f sull intervllo [,b] è l regione di pino delimitt dll sse =, dlle rette = e = b e dl grfico di f. Viene
Matematica A, Area dell Informazione. Complementi al testo
1 Preinri Mtemtic A, Are dell Informzione.. 2001-2002, corso prof. Brdi Complementi l testo Proposizione 1 (Proprietà crtteristiche di sup e inf) Si A R un insieme non vuoto e si x R. Allor x = sup A se
COMPLEMENTI SUGLI INTEGRALI DEFINITI. A. Figà Talamanca
COMPLEMENTI SUGLI INTEGRALI DEFINITI A. Figà Tlmnc 27 ottobre 2010 2 0.1 Introduzione C è un modo pprentemente semplice ed intuitivo per introdurre l integrle (definito) di un funzione f definit su un
( a) 1 a + Es. Data la funzione:
Es. Dt l uzio: ' ' ( Esrcizi Complmtri. A( ( b. Dtrmir pr quli vlori di b l uzio mmtt u puto di mssimo d u puto di miimo pr quli vlori l uzio o mmtt tli puti.. Dtrmir i vlori di b i modo ch l uzio prsti
ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008
ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli
DEFINIZIONI E TEOREMI
Anlisi Mtemtic L-A Anno Accdemico 2006/07 Docente prof Giovnni Dore DEFINIZIONI E TEOREMI Riccrdo Trevisn 19 gennio 2007 Sommrio ( * richiede dimostrzione) 1 Prodotto crtesino 1 2 Intervllo 1 3 Funzione
Integrali in senso generalizzato
Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Integrzione su domini non itti Definizione.. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) se esiste finito
Integrali impropri di funzioni di una variabile
Integrli impropri di funzioni di un vribile. Le funzioni continue Considerimo nel seguito un delle piú importnti ppliczioni del teorem di uniforme continuitá delle funzioni continue su intervlli chiusi
Capitolo 6. Integrali di funzioni di una variabile
Cpitolo 6 Integrli di funzioni di un vribile Ci si pone il problem del riuscire misurre l re di figure il cui contorno non è costituit d segmenti. 6. L integrle definito Si f : [, b] R R un funzione limitt
Svolgimento a cura di Nicola de Rosa. Punto 1 Consideriamo la figura sottostante rappresentante la geometyria del problema. M N t
Svolgimnto cur di Nicol d Ros PROBLMA Punto Considrimo l figur sottostnt rpprsntnt l gomtri dl prolm. M N t K P A H O B Q L suprfici ltrl dl solido ottnuto dll rotzion dl trpzio isoscl PQNM ttorno ll rtt
PROBLEMA 1 In un sistema di assi cartesiani ortogonali O x y una curva γ ha per equazione
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO LICEO DELLA COMUNICAZIONE SESSIONE SUPPLETIVA Tm di: MATEMATICA. s. 9- PROBLEMA In un sistm di ssi crtsini ortogonli O y un curv γ h pr quzion y.
Integrali in senso generalizzato
Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Anlisi Mtemtic II - CdL in Ingegneri Informtic ed Elettronic.. 6/7 Integrzione su domini non itti Definizione. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = 2x 3 y 2xy 3 + 2xy
Analisi Matmatica II Corso di Inggnria Gstional Compito dl 8-1-19 - È obbligatorio consgnar tutti i fogli, anch la brutta il tsto. - L rispost snza giustificazion sono considrat null. Esrcizio 1. 14 punti)
DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice
DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto
Funzioni integrabili
Funzioni integrbili 1. Si f : [, b] IR un funzione limitt tle che f(x) risulti integrbile in [, b]. A. f(x) è continu in [, b]. B. f(x) è integrbile in [, b]. 2. Si f : [, b] IR un funzione continu e crescente
IL LEMMA DI RICOPRIMENTO DI VITALI IL TEOREMA DI LEBESGUE-BESICOVITCH
AM30 202- Sett. 2. IL LEMMA DI RICOPRIMENTO DI VITALI ed IL TEOREMA DI LEBESGUE-BESICOVITCH Se f C(R n, R) il Teorem dell medi dice che, R n, r > 0, ξ(r) B r (): f(y) f() dy = f(ξ(r)) f() 0 In prticolre,
" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6
CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione
Chapter 1. Integrali doppi
Chpter 1 Integrli doppi Nelle presenti note esporremo un pproccio semplificto ll teori degli integrli doppi. efiniremo tli integrli direttmente su domini normli, come limiti di opportune somme integrli.
1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata
Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un
Appunti sull integrale di Riemann. Roberto Monti. 11 Gennaio Versione riveduta
Appunti sull integrle di Riemnn Roberto Monti Gennio - Versione rivedut Indice Cpitolo. Integrle di Riemnn 5. Definizione dell integrle di Riemnn 5. Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle 8. Integrzione
0.1 Teorema di Lax-Milgram
0. Teorem di Lx-Milgrm Definizione. (Form sesquilinere) Si H uno spzio di Hilbert su C. Un form sesquilinere sul cmpo C è un ppliczione : H H C linere nell prim componente e ntilinere nell second (cioè
Informatica II. Capitolo 5. Alberi. E' una generalizzazione della struttura sequenza
Alri Informtic II Cpitolo 5 Alri E' un gnrlizzzion dll struttur squnz Si rilss il rquisito di linrità: ogni lmnto (nodo) h un solo prdcssor m può vr più succssori. Il numro di succssori (figli) può ssr
Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A. Pisa, 12 febbraio 2018
Univrsità di Pisa - Corso di Laura in Informatica Analisi Matmatica A Pisa, fbbraio 08 omanda A C log + 0 + = C omanda La funzion f : 0, + R dfinita da f = + A ha minimo ma non ha massimo è itata ma non
Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.
88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3
11. Rango di una matrice.
Rngo di un mtrice Considerimo un mtrice di tipo m n d elementi reli rppresentt nel modo seguente: A = (m-) m (m-) m (m-) m (m-) m (n-) (n-) (n-) (m-),(n-) m(n-) n n n (m-)n mn Per ogni i =,,,, (m-), m,
CALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA
INTEGRALI Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione CALCOLARE
Corso di Automi e Linguaggi Formali Parte 3
Esmpio Sdo il pumping lmm sist tl ch ogni prol di tin un sottostring non vuot ch puo ssr pompt o tglit rpprsntrl com Invc non in dv ssr in posso Corso di Automi Linguggi Formli Gnnio-Mrzo 2002 p.3/22 Corso
x ; sin x log 1 x ; 4 0 0,0.
.. Pr quli vlori dl prmtro l sri S (i uzio dl prmtro ). q ch covrg s solo s q. q Ricordimo ch pr q è q q q q q h soluzio pr tli vlori l sri covrg S E' u sri gomtric di rgio covrg? Pr tli vlori sprimi l
Lezione 16 Derivate ed Integrali
Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli.
Una relazione R in un insieme A si dice relazione d'ordine (o ordinamento) se e solo se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
F0 RELZIONI D'ORDINE. Rlzioni 'orin Un rlzion R in un insim si i rlzion 'orin (o orinmnto) s solo s è rilssiv, ntisimmtri trnsitiv. Prsi u lmnti x, y, s R è un orinmnto in, si i h «x pr y» si sriv x y,
Integrazione per parti. II
Integrzione per prti. II L regol di integrzione per prti f xgx dx [ f xgx] b f xg x dx f, g funzioni derivbili con funzione derivt continu su [, b], pplict ripetutmente, permette in prticolre di integrre
Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle
di Enzo Zanghì 1
M@t_cornr d Enzo Zngì Intgrl ndfnto S dc c l funzon F () è un prmtv dll funzon f (), contnu nll'ntrvllo I s F '( ) f ( ) S un funzon mmtt n un ntrvllo I un prmtv, llor n mmtt nfnt c dffrscono tr loro mno
Calcolo delle Probabilità e Statistica. Prova scritta del III appello - 7/6/2006
Corso di Laura in Informatica - a.a. 25/6 Calcolo dll Probabilità Statistica Prova scritta dl III appllo - 7/6/26 Il candidato risolva i problmi proposti, motivando opportunamnt l propri rispost.. Sia
Esercitazioni di Statistica Matematica A Lezione 6. Applicazioni della legge dei grandi numeri e della formula di Chebicev. lim i!
Esercitzioni di Sttistic Mtemtic A Lezione 6 Appliczioni dell legge dei grndi numeri e dell formul di Chebicev 1.1) Si {X i } i N un successione di vribili letorie i.i.d. (indipendenti ed identicmente
Analisi Matematica 1 Venticinquesima lezione[1cm]integrale di Riemann 5 marzo (cont.) / 20
![Analisi Matematica 1 Venticinquesima lezione[1cm]integrale di Riemann 5 marzo (cont.) / 20](/thumbs/97/134401325.jpg "Analisi Matematica 1 Venticinquesima lezione[1cm]integrale di Riemann 5 marzo (cont.) / 20")
Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione Integrle di Riemnn (cont.) prof. Cludio Sccon Diprtimento di Mtemtic Applict, Vi F. Buonrroti 1/C emil: sccon@mil.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html
, allora H (ν ) è continua e limitata in R.
rsormt di ourir. Proprità gnrli DEIIZIOE: si dic trsormt di ourir di un unzion dinit in R l unzion H ( ν dt. L vriil t indic il dominio tmporl, l vriil ν il dominio dll rqunz o spttrl. Com si vd, l trsormt
Integrali impropri. Riccarda Rossi. Analisi I. Università di Brescia. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrali impropri Analisi I 1 / 48
Integrli impropri Riccrd Rossi Università di Bresci Anlisi I Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 1 / 48 (2) α > 0 f (x) = 1 (0, + ). Inftti, x α NON È integrbile in senso improprio
Successioni numeriche
08//05 uccssioi umrich uccssioi umrich Dfiizio U succssio è u fuzio ch d ogi umro turl ssoci u umro rl 0 : 0 : Es. 08//05 uccssioi umrich Dfiizio Il it dll succssio ch ch covrg d ) si idic è il umro rl
INDICE. Studio di funzione. Scaricabile su: TEORIA. Campo di esistenza. Intersezione con gli assi
P r o f. Gu i d of r a n c h i n i Antprima Antprima Antprima www. l z i o n i. j i md o. c o m Scaricabil su: http://lzioni.jimdo.com/ Studio di funzion INDICE TEORIA Campo di sistnza Intrszion con gli
Teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni. reali di una variabile reale.
Capitolo 2 Toria dll intgrazion scondo Rimann pr funzioni rali di una variabil ral Esistono vari tori dll intgrazion; tutt hanno com comun antnato il mtodo di saustion utilizzato dai Grci pr calcolar l
Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale
.. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile
L ELLISSOIDE TERRESTRE
L ELLISSOIDE TERRESTRE Fin dll scond mtà dl XVII scolo (su propost di Nwton) l suprfici più dtt ssr ssunt com suprfici di rifrimnto pr l Trr è stt individut in un ELLISSOIDE DI ROTAZIONE. E l suprfici
se ne costruisca un altra s 1 L operazione che fa passare dalla prima successione alla seconda è detta serie e si indica con il
07 SERIE NUMERICHE Dt l succssio,,...,,... s costruisc u ltr s, s,..., s,... tl ch: s... s... s... L oprzio ch f pssr dll prim succssio ll scod è dtt sri si idic co il simbolo...... k. k Gli k si dicoo
Scuole Italiane all'estero ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione SECONDA PROVA SCRITTA Tema di Matematica
Sssion ordinri Estro Scuol Itlin llestro ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sssion SECONDA PROVA SCRITTA Tm di Mtmtic PROBLEMA E ssnto un cilindro quiltro Q il cui rio di bs misur. ) Si dtrmini il cono
AM : Tracce delle lezioni- IV Settimana
AM0 04-5: Trcce delle lezioni- IV Settimn SUCCESSIONI CONVERGENTI in uno SPAZIO NORMATO Si (E,. ) spzio normto. Sino x k, x E. Allor x k k x x k x k 0 (i) u k, v k E, u k u, v k v tu k + sv k tu + sv t,
NOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2010/2011 Calcolo 1, Esame scritto del
NOME:... MATRICOLA:.... Corso di Laura in Fisica, A.A. 00/0 Calcolo, Esam scritto dl 3.0.0 Data la funzion f(x = x +x, a dtrminar il dominio (massimal di f ; b trovar tutti gli asintoti di f ; c trovar
Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}.
![Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}.](/thumbs/52/29110632.jpg "Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}.")
Soluzioni Capitolo [.] A B = {,,,, 7, 8}, A B = {, 7}, A\B = {,, }, B\A = {8}. [.] I) [, 0] V) VI) V [, 0] (, 0) V IX) [, 00) X) ( [, ],(, 00) (, 00) (, 0 + ) (, 0 ], ), (, 0 + ) [.] B\A = {} {b = n +,
Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo
Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle
Elenco dei teoremi dimostrati a lezione
Elenco dei teoremi dimostrti lezione Muro Sit murosit@tisclinet.it In queste pgine si riport l elenco dei teoremi dimostrti lezione. 1 1 Principio di induzione. 1. Utilizzndo il principio di induzione
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria
Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Teoremi per l second prov. Dimostrzioni. 8 Dicembre 208 Indice Teoremi per l second prov in itinere. Dimostrzioni.