1 n. Intero frazionato. Frazione

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2 Consideriamo un intero, prendiamo un rettangolo e dividiamolo in sei parti uguali, ciascuna di queste parti rappresenta un sesto del rettangolo, cioè una sola delle sei parti uguali in cui è stato diviso. 1 Frazione Rappresenta una sola delle parti uguali in cui si divide un intero, per questo tale frazione è chiamata unità frazionaria. Intero frazionato 1 L' unità frazionaria (con n appartenente a N 0) rappresenta n parti uguali in cui viene suddiviso un intero. 1 una sola delle n

3 Consideriamo un intero e dividiamolo in sei parti uguali Prendiamo l unità frazionaria Consideriamo volte l unità frazionaria = La frazione è un operatore che ci permette di dividere l intero in parti uguali e di considerarne alcune. Le parole delle matematica NUMERATORE LINEA DI FRAZIONE DENOMINATORE

4 Consideriamo le frazioni: 2 e operiamo con esse su un, e intero. 2 Frazioni di questo tipo, rappresentano parti più piccole dell intero e si dicono frazioni proprie. Una frazione si dice propria se operando con essa su una grandezza si ottiene una grandezza omogenea e più piccola di quella data. In essa il numeratore è minore del denominatore.

5 Consideriamo le frazioni: 2, e e operiamo con esse su un intero. Frazioni di questo tipo, come vedi, rappresentano parti più grandi dell intero e si dicono frazioni improprie. 2 Una frazione si dice impropria se operando con essa su una grandezza si ottiene una grandezza omogenea e più grande di quella data. In essa il numeratore è maggiore del denominatore.

6 Consideriamo le frazioni: 2 e operiamo con esse su un intero. 2, e 2 Frazioni di questo tipo, come vedi, rappresentano l intero o un multiplo dell intero e si dicono frazioni apparenti. 2 Una frazione si dice apparente se operando con essa su una grandezza si ottiene una grandezza omogenea congruente o multipla di quella data. In essa il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.

7 Consideriamo due frazioni e operiamo con esse su uno stesso intero, per esempio il segmento AB. C A AC = AB; frazione complementare CB = Operando con le due frazioni: e B AB su una grandezza che rappresenta l intero abbiamo ottenuto, quindi, due grandezze che sommate tra loro ci danno ancora la grandezza iniziale, cioè l intero. Due frazioni si dicono complementari se, operando con esse su una grandezza, se ne ottengono due omogenee la cui somma è congruente alla grandezza su cui si è operato.

8 9 Consideriamo le frazioni:, e A A A Le frazioni:, e 9 12 e operiamo con esse su una stessa grandezza;osserviamo e confrontiamo i tre segmenti ottenuti AC, AC e AC ; essi sono congruenti. C C C si chiamano frazioni equivalenti B B B AC = AC'= AC' ' = Due o più frazioni si dicono equivalenti se, operando con esse su una grandezza, si ottengono grandezze congruenti AB AB AB

9 Osserviamo le tre frazioni equivalenti, 9 e 12 notiamo che si può passare dall una all altra moltiplicando o dividendo per uno stesso numero i loro termini: x 2 x 2 = ovvero : 2 : 2 = Da questa osservazione possiamo dedurre la proprietà invariantiva delle frazioni che dice: Moltiplicando o dividendo i termini di una frazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene una frazione equivalente alla data. Ogni frazione ha quindi infinite frazioni a essa equivalenti. Esempio: 2 classe di equivalenza A = 2 ; 10 ; 1 ; 10 ; 20 2 ;...

10 e Consideriamo le frazioni: 10 e proviamo ad applicare a esse la proprietà invariantiva dividendo i loro termini per uno stesso numero: : 2 10 : 2 = Possiamo applicarla perché e 10 ammettono il divisore comune 2; =? Non possiamo applicarla perché e non ammettono divisori comuni; essi infatti sono primi fra di loro. In generale diremo che: Una frazione è riducibile se numeratore e denominatore ammettono dei divisori comuni. Una frazione è irriducibile se numeratore e denominatore sono numeri primi fra loro.

11 Semplificare una frazione riducibile vuol dire trasformarla in un altra equivalente avente i termini più piccoli. La semplificazione si effettua dividendo numeratore e denominatore per un loro divisore comune. Esempio: 10 a) 21 b) 2 1 c) 20 d) 2 Proviamo a semplificare le seguenti frazioni: : 2 : 2 : : : : = = ,, e 2 1 non può essere semplificata perché è una frazione irriducibile. = 2 Le frazioni così ottenute si dicono ridotte ai minimi termini.

12 Sai confrontare due frazione per riconoscere qual è la maggiore o la minore o per constatare che sono uguali? Per farlo operiamo su una stessa grandezza e confrontiamo le grandezze ottenute. 1. Se le due frazioni sono equivalenti, sappiamo che rappresentano la stessa parte di grandezza, quindi sono anche uguali. 2. Consideriamo due frazioni, per esempio / e /9, e operiamo con esse su una stessa grandezza: A B C di AB 9 di AB A C B Ne deduciamo che: AC Date due frazioni, una propria e l altra impropria, è sempre maggiore quella impropria. > AC' per cui > 9

13 a) Consideriamo due frazioni proprie aventi lo stesso denominatore, per esempio / e /, e operiamo con esse su una stessa grandezza: di AB di AB A C B { A C B { AC < AC' per cui <

14 b) Consideriamo ora due frazioni improprie aventi lo stesso denominatore, per esempio / e /, e operiamo con esse su una stessa grandezza: di AB A B C { di AB A B C AC < AC' per cui < Ne deduciamo che: Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella che ha il numeratore maggiore.

15 ) Consideriamo due frazioni proprie aventi lo stesso numeratore, per esempio / e /, e operiamo con esse su una stessa grandezza: di AB A { C B di AB A C B { AC < AC' per cui < Ne deduciamo che: Se due frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella che ha il denominatore minore.

16 ) Consideriamo due frazioni proprie che abbiano numeratore e denominatore diversi, per esempio / e /, per poterle confrontare si riducono al m.c.d. (minimo comune denominatore). e m.c.d. (; ) = 2 2 : x = 20 2 : x = allora > quindi 2 > Riassumendo: Se le due frazioni sono una propria e l altra impropria, è maggiore quella impropria. Se due o più frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella che ha numeratore maggiore. Se due o più frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella che ha denominatore minore.

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