TEORIA DELLE DECISIONI. DOCENTE: JULIA MORTERA

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Rita Falco
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1 TEORIA DELLE DECISIONI DOCENTE: JULIA MORTERA 1

2 Decisioni in Condizioni di Incertezza Sia singoli individui che gruppi di individui (società, governi, aziende, sindacati ecc. si trovano spesso in situazioni in cui debbono scegliere tra diverse azioni (politiche)). Decisioni personali, di imprenditori, politici Producono CONSEGUENZE che possono coinvolgere altre persone o cose. Si deve distinguere tra problemi di decisione per: singole unita (anche l intero corpo elettorale puo essere considerata una singola unità ) più unità in condizioni di conflitto (teoria dei giochi) 2

Decisioni personali, di imprenditori, politici Producono CONSEGUENZE che possono coinvolgere altre persone o cose.

3 Si propongono delle linee guida per decisori che consentono di SUDDIVIDERE COMP- LESSI problemi decisionali in SOTTOPROB- LEMI PIU SEMPLICI. Questi vengono analizzati e ricombinati per fornire la soluzione al problema più ampio. Si cerchera di individuare le CONDIZIONI DI COERENZA da rispettare in ogni processo decisionale. Non sarà uno studio DESCRITTIVO ma NOR- MATIVO o PRESCRITTIVO Come prima cosa si deve costruire un elenco delle decisioni e/o azioni possibili. Quest elenco deve essere ESAUSTIVO e ESCLUSIVO. Una decisione deve essere presa e al massimo una di esse PUO essere presa. Le decisioni sono prese in condizioni di IN- CERTEZZA. Esempio: n. di articoli da ordinare nel nostro negozio. Dipende dalla domanda futura di diversi articoli, che NON E NOTA!! 3

Non sarà uno studio DESCRITTIVO ma NOR- MATIVO o PRESCRITTIVO Come prima cosa si deve costruire un elenco delle decisioni e/o azioni possibili. Quest elenco deve essere ESAUSTIVO e ESCLUSIVO.

4 Lista delle decisioni possibili (esaustiva ed esclusiva) δ 1, δ 2,, δ m con insieme degli eventi incerti : θ 1, θ 2,, θ n. Il problema è di scegliere un singolo δ i, i = 1,, m senza sapere quale evento θ i si verifica. 4

5 RICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROB- ABILITA Evento A Cosa è la probabilità di un evento A? P (A) = 1/6. IMPOSTAZIONE SOGGETTIVA (B. de Finetti) La probabilità di un evento il grado di fiducia di un individuo nel verificarsi di un evento. Ne consegue: non esistono probabiltà incognite individui diversi possono avere probabilità diverse sul verificarsi dell evento A. La probabilità di A per te rappresenta il tuo stato di informazione su A. 5

de Finetti) La probabilità di un evento il grado di fiducia di un individuo nel verificarsi di un evento.

6 Come si assegnano/elicitano le probabilità? 1. CRITERIO DELLA SCOMMESSA: Valutazioni di probabilità di un individuo vengono basate su scommesse ipotetiche. La tua probabilità di A è p se sei indifferente tra: a) ricevere p con certezza; b) scommettere e ricevere { 1 se A 0 se Ā 2. CRITERIO DELLA PENALIZZAZIONE: Sceglierai la tua probabilità di A, P (A) = p, sapendo che subirai una penalizzazione pari a: { (1 p) 2 se A p 2 se Ā (si tornerà in seguito sulle funzoni di perdita) 6

La tua probabilità di A è p se sei indifferente tra: a) ricevere p con certezza; b) scommettere e ricevere { 1 se A 0 se

7 La scelta di p sia in 1) che in 2) deve essere COERENTE, cioè non deve produrre nè una vincita certa nè una perdita certa. Seguendo il principio di coerenza si dimostra che: a) p(a) 0 b) P (S) = 1 c) P (A B) = P (A) + P (B), per A B = *** esempio di Savage *** 7

Seguendo il principio di coerenza si dimostra che: a) p(a) 0 b) P

8 IMPOSTAZIONE OGGETTIVA - FRE- QUENTISTA La probabilità è definita come il limite delle frequenza osservate in un gran numero di prove ripetute dello stesso evento ( nelle medesime condizioni) Conseguenze: i) P (A) è incognita perchè non si ripeterà mai infinite volte un esperimento (non è osservabile) ii) Solo eventi ai quali è possibile pensare di effettuare infinite prove ripetute sono probabilizzabili i) esiste una probabilità vera generalmente incognita che si cerca di stimare. ii) solo risultati di misure ripetute, estrazioni casuali, ecc. sono probabilizzabili. 8

(non è osservabile) ii) Solo eventi ai quali è possibile pensare di effettuare infinite prove ripetute sono probabilizzabili i) esiste una

9 Come possiamo assegnare la probabilità ad eventi come 1. La Roma vincerà la prossima partita 2. Il campanile di San Paolo crollerà Assiomatizzazione La probabilità è una funzione di insieme definita sulla classe A di EVENTI e assume valori reali in [0, 1]. P : A [0, 1] 9

Il campanile di San Paolo crollerà Assiomatizzazione La probabilità

10 Assiomi 1. A è un algebra di sottoinsiemi di Ω 2. 0 P (A) 1 A A 3. P (Ω) = 1, P ( ) = 0 4. P ( n i=1 ) = n i=1 P (A), se A i A j =, i j (P una misura di A, funzione additiva d insieme) Assiomi aggiuntivi 1 A è una σ algebra di s.i. di A 4 P ( i=1 ) = i=1 P (A), se A i A j =, i j Spazio di probabilità (Ω, A, P ) 10

11 RICHIAMI Probabilità condizionata: P (A B) = P (A B)/P (B) se P (B) > 0 Indipendenza A B P (A B) = P (A) che implica P (A B) = P (A)P (B) Indipendenza Condizionata A B C P (A B C) = P (A C)P (B C) Teorema di Bayes Sia {H 1,, H k } una partizione di Ω. Per qualunque evento A Ω con P (A) > 0 si ha: P (H i A) = P (H i)p (A H i ) kj=1 P (H j )P (A H j ) 11

C) = P (A C)P (B C) Teorema di Bayes Sia {H 1,, H k } una partizione di Ω.

12 Paradosso di Simpson Esempio: 40 aziende adottano una nuova strategia di marketing N e 40 non l adottano N. Si registra se hanno incrementato le vendite I oppure no Ī. La tabella seguente indica i risultati per le 80 aziende: I Ī totale % incremento N % N % Mentre se esamino separatamente le tabelle per le aziende dell Italia Centrale C: I Ī totale % incremento N % N % e quella delle aziende dell Italia Settentrionale, C : I Ī totale % incremento N % N % 12

La tabella seguente indica i risultati per le 80 aziende: I Ī totale % incremento N 20 20 40 50% N 16 24 40 40% Mentre se esamino

13 Dalla prima tabella si deduce che P (I N) = 0.5 e P (I N) = 0.4. Mentre risulta che: e P (I N, C) = 0.6 e P (I N, C) = 0.7 P (I N, C) = 0.2 e P (I N, C) = 0.3 ma poichè dal teorema delle probabilità totali: P (I N) = P (I N, C)P (C N)+P (I N, C)P ( C N) si ha con P (C N) = p e 0.5 = 0.6p + 0.2(1 p) P (I N) = P (I N, C)P (C N)+P (I N, C)P ( C N) da cui con P (C N) = r: 0.40 = 0.7r + 0.3(1 r). 13

3 ma poichè dal teorema delle probabilità totali: P (I N) = P (I N, C)P (C N)+P (I N, C)P ( C N) si

14 Nel nostro esempio p = 0.75 e molto diverso da r = 0.25 e quindi l incremento di vendite nelle aziende che hanno aderito alla strategia di marketing risulta molto diversa da quella per le aziende che non hanno aderito. Se p e q fossero circa uguali la composizione sarebbe stata la stessa e il paradosso non sarebbe sorto. Illustrazione del paradosso 14

marketing risulta molto diversa da quella per le aziende che non hanno aderito.

15 La scomessa olandese Ricordiamo che P (A) + P (Ā) = 1. Supponiamo che agite in modo incoerente ed assegnate a P (A) = 0.2 e a P (Ā) = 0.7. Questo significa che la ragione di scommessa (odds) contro A è 4 : 1, cioè per voi è equo pagare 4x a chi ne scommette x. Il vostro guadagno è : { 4x se A x se Ā Analogamente gli odds contro 3 : 7 quindi il vostro guadagno è : { 3/7y se Ā Ā sono di y se A Calcolate il vostro guadagno/perdita complessiva con x=2 e y=7. Una combinazioni di scommesse che da una perdita certa viene detta scommessa olandese (Dutch book) 15

Il vostro guadagno è : { 4x se A x se Ā Analogamente gli odds contro 3 : 7 quindi il vostro guadagno è : { 3/7y se Ā Ā sono di y se A

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