Elementi di statistica descrittiva I 31 Marzo 2009

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1 Il Concetti generali di Statistica) Corso Esperto in Logistica e Trasporti Elementi di Statistica applicata Elementi di statistica descrittiva I Marzo 009 Concetti Generali di Statistica F. Caliò franca.calio@polimi.it Origine e campo di applicazione della statistica Il significato originale della parola Statistica è studio delle cose dello Stato ; La Statistica nasce dall esigenza di raccogliere e gestire informazioni su tutti i cittadini; I campi di applicazione della Statistica, più recentemente, sono oltre che l Economia e la Politica anche la Medicina, le Scienze naturali, la Fisica Scopo della raccolta e analisi dei dati Il piano di lavoro della Statistica è la raccolta, l organizzazione,l analisi e la comparazione di dati ed è essenzialmente motivata dal fatto di dover prendere delle decisioni. censimento; sondaggio di opinione; sperimentazione di un nuovo prodotto; registrazione sistematica di disastri naturali o malattie (previsione); ispezione di oggetti prodotti (controllo di qualità). Come opera la Statistica La Statistica si può, dunque, definire come l analisi, in termini quantitativi, di fenomeni collettivi, ossia fenomeni il cui studio richiede l osservazione di un insieme di manifestazioni individuali. La statistica dunque si occupa di caratteri variabili, osservabili su una popolazione. Terminologia di base: unità statistica; popolazione; carattere statistico. Unità statistiche e popolazione (/) Unità statistica è l unità elementare su cui vengono osservati i caratteri oggetto di studio. un individuo cui viene posta una domanda; un pezzo meccanico su cui si effettua una misura. Un insieme di unità statistiche, omogenee rispetto ad una o più caratteristiche, costituisce una popolazione. Una popolazione può essere: finita o infinita; di stato o di movimento; empirica o teorica.

2 Unità statistiche e popolazione (/) Popolazione finita: Comprende un numero finito di unità statistiche Esempio: studenti iscritti a un Corso di Laurea. Popolazione infinita (caso alternativo) Esempio: potenziali malati di una certa malattia. Popolazione di stato: Occorre fissare un preciso istante di tempo Esempio: abitanti di una città. Popolazione di movimento (caso alternativo) Esempio: automobili prodotte in un certo anno. Popolazione empirica: Le unità che costituiscono la popolazione sono effettivamente osservabili; Popolazione teorica (caso alternativo) Caratteri statistici e loro classificazione (/) Un carattere statistico è la caratteristica osservabile su una popolazione. Esso può assumere modalità (valori) diverse in corrispondenza di differenti unità statistiche della popolazione. Le modalità del carattere devono essere esaustive e non sovrapposte. Esaustive se rappresentano tutti i possibili modi di essere del carattere stesso. Non sovrapposte se a ogni unità si può associare una sola modalità. 8 Caratteri statistici e loro classificazione (/) I caratteri possono essere: Quantitativi quando sono espressi da un numero (spesso una misura). età di un individuo; numero di componenti di una famiglia; altezza di un albero; Qualitativi quando sono espressi mediante un giudizio o una qualità. Il colore degli occhi di un individuo; la serie in cui milita una squadra di calcio (A,B,C, ). 9 Caratteri statistici e loro classificazione (/) Un carattere quantitativo può essere: discreto se i valori che può assumere sono numeri interi. numero dei componenti di una famiglia; numero di pezzi prodotti. continuo se i valori che può assumere sono numeri non interi. peso; lunghezza. 0 Caratteri statistici e loro classificazione (/) Un caratteri qualitativo può essere: sconnesso se, date due modalità, è possibile solo affermare se queste sono uguali o diverse. sesso (M/F); tipo di attività (studente/operaio/impiegato). ordinato se, date due modalità, è possibile dare anche un ordine specificando che una precede l altra (si può stabilire una graduatoria). Esempio: Categoria di automobile. Utilitaria. Media. Lusso. Caratteri statistici: Esempio di tipologie Un azienda in cerca di personale ha effettuato una selezione fra i candidati. I dati dei primi cinque classificati sono i seguenti: Nome Graduatoria Età Titolo di studio Residenza Punteggio quiz Bianchi 9 Laurea Piacenza Ferro Diploma Arezzo 9 Rossi 8 Laurea Lodi 0 Verdi Laurea Ancona Martini Diploma Bergamo Qual è l unità statistica? Caratteri significativi: Carattere Il candidato Tipo sottotipo Graduatoria quantitativo intero Età quantitativo intero Titolo di studio qualitativo ordinato Residenza qualitativo sconnesso Punteggio quiz quantitativo intero

3 Trasformazioni dei caratteri statistici Se il carattere è quantitativo si definisce suddivisione del carattere in classi l operazione consistente nel suddividere l insieme dei possibili valori in intervalli tra loro disgiunti. Per esempio se il carattere fosse l età si potrebbero considerare classi d età: fra 0 e, fra e 0, E opportuno definire le classi in modo tale che: Il loro numero sia abbastanza piccolo per raggiungere un adeguata sintesi, ma abbastanza grande per non perdere dettagli; Le classi siano disgiunte; Le classi comprendano tutte le modalità di carattere osservate; Le classi abbiano la stessa ampiezza. Statistica descrittiva e statistica inferenziale Scopi della statistica: Sintetizzare: predisporre i dati raccolti in una forma che consenta di comprendere meglio i fenomeni. (STATISTICA DESCRITTIVA) Generalizzare: estendere con metodi di induzione i risultati ottenuti da un gruppo limitato di unità statistiche (campione) all intera collettività (universo, popolazione). (STATISTICA INFERENZIALE) Come opera la statistica descrittiva Dopo aver stabilito quale sia l unità statistica e dunque la popolazione osservata e la caratteristica osservata, la statistica descrittiva si occupa di: Raccogliere i dati osservati; Rappresentare i dati osservati; Sintetizzare i dati osservati; Analizzare i dati osservati; Comparare i dati osservati. Raccolta dei dati (/) Per la rilevazione e l acquisizione dei dati si può procedere: attraverso un indagine totale, in cui vengono rilevate tutte le unità della popolazione, oppure: attraverso l osservazione di un sottoinsieme detto campione (tecniche di campionamento). Le tecniche di campionamento, con il supporto dell inferenza statistica, permettono di ottenere considerazioni affidabili sul fenomeno osservato anche con un numero limitato di osservazioni. Raccolta dei dati (/) La raccolta dei dati avviene: registrando le risposte a date sollecitazioni in un ambiente sperimentale, oppure: osservando ripetutamente un processo nel tempo (serie storiche). Una situazione di rilevazione sperimentale è caratterizzata essenzialmente dalla presenza di due elementi: le ipotesi di lavoro la possibilità di controllare e modificare i fattori sperimentali e il comportamento delle unità statistiche durante il fenomeno osservato. Indagine statistica L indagine statistica è una delle principali tecniche con cui acquisire informazioni in una situazione di rilevazione osservazionale. Il suo obiettivo è la conoscenza di una popolazione su cui si manifesta il fenomeno oggetto di studio. Piano di lavoro: definizione degli obiettivi scelta del periodo di riferimento individuazione di una lista (elenco in cui determinare le unità appartenenti alla popolazione). Ovviamente una buona lista deve essere completa, esatta, aggiornata. 8

4 Intervista e questionario Tra i metodi di acquisizione su popolazione umana ha particolare rilievo l intervista. Le domande e relative risposte vengono organizzate in un questionario. intervista diretta o indiretta; strutturata o non strutturata. Alcuni tipi di indagine: Intervista telefonica Eit poll Alcune fonti ufficiali: ISTAT (istituto nazionale di statistica) Sistan (Sistema statistico nazionale) Raccolta rappresentazione e sintesi La raccolta dei dati può avvenire, come visto: attraverso procedure di campionamento, oppure: registrando le risposte a date sollecitazioni in un ambiente sperimentale, oppure: osservando ripetutamente un processo nel tempo, (serie storiche). Tecniche di rappresentazione e sintesi:. Tabulari: Si usano tabelle per descrivere i dati;. Grafiche: Si usano grafici per rappresentare i dati;. Numeriche: Si usano certi valori per sintetizzare i dati. Queste tre tecniche sono logicamente consecutive. 9 0 Raccolta e presentazione di dati) Esempio : Definizione del problema - campionamento Raccolta e presentazione dei dati Esempi operativi L oggetto del nostro studio è la popolazione: studenti universitari di Milano; carattere : numero di film visti in un certo periodo; campione: un sottoinsieme della popolazione: 0 studenti. A un gruppo di 0 studenti universitari si chiede quante volte sono stati al cinema negli ultimi due mesi. Rilevazione di modalità di un carattere Il campione è costituito da n unità statistiche; (nell esempio n = 0) u, u,..., u n : modalità (valori) del carattere ottenuti dal campione; (nell esempio 0 risposte: u, u,..., u 0 ) Otteniamo una distribuzione unitaria o rappresentazione grezza dei dati osservati (semplice o multipla a seconda se si riferisce ad uno o più caratteri) attraverso l elencazione delle modalità (o classi di modalità) osservate, unità per unità, sulla popolazione in esame. Esempio: il rilevamento fornisce il risultato seguente: Esempio dati grezzi rilevati (distribuzione unitaria) u0 u0 u0 u0 u0 u0 u0 u0 u0 u0 u08 9 u09 u0 0 valori rilevati. Di essi solo risultano distinti u u u u u u u u8 u9 u0 u u u u u u u u8 u9 u0 u u u u u u u u8 u9 u0 In genere: su n valori solo k sono distinti (k=).

5 Valori distinti e loro (distribuzione di ) Tabella delle frequenze (distribuzione di frequenze) I k valori distinti osservati vengono ordinati in senso crescente (,,..., k ) Invece di considerare gli n valori osservati (u, u,..., u n ) si considerano i k valori distinti osservati, a ognuno di essi si associa una campionaria (distribuzione di frequenze); Frequenza (campionaria) n i : numero di unità statistiche del campione che hanno l i-esima modalità del carattere. Risulta quindi: k n; < <... < k n + n n k = n Modalità distinte n p F F k Totale: Frequenza Assoluta n n k n Frequenza Relativa p p k Frequenza Cumulativa p =n /n, p =n /n,..., p k =n k /n p +p +p + +p k = F =p, F =F +p, F =F +p,, F k =F k- +p k = F k - Frequenze del valore i-esimoi Tabella delle frequenze dell Esempio Frequenza assoluta n : i numero di ripetizione di una modalità di carattere k n n i = i= Frequenza relativa p : i rapporto fra la assoluta e n, numero totale dei dati osservati (dimensione del campione) k ni pi = pi = n i= Frequenza F i : somma delle frequenze relative dei valori i i Fi = p j p j= F = F k = valori rilevati min= ma= 9 modalità distinte assoluta relativa 0,0 0,0 0,0 0, 0 0,0 0, 0,00 0, 0,0 0,8 0,00 0,9 0 0,000 0, ,000 0,9 9 0,0,000 TOTALE 0 8 Frequenze percentuali dell Esempio modalità distinte assoluta relativa percentuale percentuale 0,0,0 0,0,0 0,0,00 0,,0 0 0,0,00 0,,0 0,00 0,00 0,,0 0,0,00 0,8 8,0 0,00 0,00 0,9 9,0 0 0,000 0,00 0,9 9, ,000 0,00 0,9 9,0 9 0,0,0,000 00,00 TOTALE 0 00 Esempio istogramma (grafico a barre) In un sistema di riferimento cartesiano poniamo: in ascissa (asse orizzontale) i valori che definiscono le modalità distinte; in ordinata (asse verticale) la assoluta con si presentano le modalità osservate. Costruiamo un grafico formato da rettangoli la cui base è centrata in corrispondenza dei valori che definiscono la modalità osservata e la cui altezza rappresenta la : assoluta Frequentazione cinema 8 9 La base di tutti i rettangoli ha dimensione fissa. L area di un rettangolo è proporzionale alla No spettacoli visti 9 0

6 Grafico a nastro Scambiando ascissa e ordinata (asse orizzontale con quello verticale) otteniamo un grafico a nastro, a barre orizzontali. No spettacoli visti 9 Frequentazione cinema Il grafico a barre (verticali) è adatto per caratteri quantitativi o qualitativi ordinabili (si evidenzia l ordine). Il grafico a nastro (barre orizzontali) è più adatto per caratteri qualitativi sconnessi (si evidenziano solo le differenze). Variabili discrete e variabili continue Il carattere dell esempio precedente è numerico, discreto e finito, perché assume un numero finito di valori numerici interi. Un carattere continuo può invece assumere valori non interi ( numeri reali ), in genere limitati entro un intervallo finito. In questo caso i valori possibili sono infiniti. Di conseguenza ogni valore rilevato avrà in genere = e i dati distinti tendono a coincidere coi dati grezzi. Pertanto le modalità del carattere osservato vengono aggregate in classi, come si opererà nell esempio che segue. Esempio dati grezzi (distribuzione unitaria) (distribuzione unitaria) Si sono misurate le lunghezze di un campione di 0 pezzi prodotti da una macchina. Le misure sono riportate in tabella: u0, u 9, u0,9 u 9, u0 8,0 u 0, u0 8,0 u 0, u0 8, u 0, u0 8, u 0, u0 8, u 0, u08 8, u8 0,8 u09 8, u9 0,8 u0 9,0 u0, Il carattere è in questo caso numerico e continuo perché assume valori numerici non interi. N.B. In tabella sono riportati valori approssimati alla prima cifra decimale. valori rilevati min=, ma=, Esempio : tabella delle frequenze classi di modalità assoluta relativa Le modalità del carattere classe No rilevato sono organizzate in classi, ponendo in ciascuna classe le u i i=,,0 che assumono valori appartenenti a sottointervalli dell intervallo (.0,.) di ampiezza δ=0. (δ può essere scelto arbitrariamente). Ogni sottointervallo è aperto a sinistra. Si riporta la tabella di frequenze relative a tali classi di modalità. TOTALE 0.00 (.0,.] (.,8.0] (8.0,8.] (8.,9.0] (9.0,9.] (9.,0.0] (0.0,0.] (0.,.0] (.0,.] Esempio : istogramma In un sistema cartesiano, in cui poniamo in ascissa i valori che definiscono la classe di modalità e in ordinata la assoluta (fa), si costruisce un grafico (istogramma) formato da rettangoli la cui base è l intervallo che definisce la classe di modalità e la cui altezza rappresenta la assoluta. classe fa (.0,. ] (.,8.0] (8.0,8. ] (8.,9.0] (9.0,9. ] (9.,0.0] (0.0,0. ] (0.,.0] (,. ] tot 0 0 Esempio : torta La visualizzazione dei dati è molto varia. Ad esempio si possono utilizzare grafici a torta (pie-chart) (attenzione si rappresentano le frequenze percentuali opportunamente raggruppate): classe tot fa 0 0 fc % 0 % % % 0 % 0 % 80 % 9 % 00 % 0- % 9-0 % - % -8 0% L area dello spicchio è proporzionale alla 8-9 %

7 Grafico della Si chiama ogiva la linea che rappresenta la di una variabile numerica (raggruppata in classi). Graficamente si presenta come una spezzata che unisce i punti che hanno per ascisse i valori osservati (caso discreto) o gli estremi degli intervalli (caso continuo) e per ordinate i valori della. Per costruire la curva relativa all Esempio si congiungono i punti: P (.,), P (8,0), P (8.,), P (9,), P (9.,0), P (0,0), P (0.,80), P 8 (,9), P 9 (.,00). Si sono rilevate le cause del guasto di un automobile in un dato periodo La tipologia di causa del guasto è stato attribuita ad un carattere, ottenendo: = A = B = A Esempio = C = B = D X = D = E 8 = F 9 0 = A = D = A = A = C = D = A A : motore B : cambio C : elettronica D : sospension i E : benzina F : incidente Il carattere è in questo caso qualitativo (non assume valori numerici) sconnesso. 8 Esempio : tabelle di Le modalità sono determinate dalle tipologie di guasto. Si costruisce una tabella in cui si affianca a ciascuna modalità il numero di volte in cui, nel periodo osservato, si realizza tale modalità (la tipologia di guasto): Esempio : istogramma In un sistema cartesiano, in cui poniamo in ascissa le tipologie di modalità e in ordinata fa o fr, si costruisce un grafico (istogramma) formato da rettangoli la cui base (di misura costante) rappresenta la modalità del carattere-ovvero la categoria di causa guasto- e la cui altezza rappresenta il numero delle volte di realizzazione di tale causa. mod alità A B C D E F tot fa fr / = 0. / = 0. fp. %. % / = 0.. % / = % / = % / = 0.. % tot tot 00 % fa: assoluta fr: relativa fp: percentuale Non ha senso la fc 9 0