Corso di Architettura degli Elaboratori. Porte logiche (I) Architetture degli Elaboratori. Porte logiche (III) Porte logiche (II)

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1 Corso di Architettura degli Elaboratori Il livello logico digitale: Algebra Booleana e Circuiti logici digitali di base Porte logiche (I) Invertitore a transistor: quando V in è basso, V out è alto e viceversa V out Comportamento transistor in condizioni di saturazione V in Pochi nanosecondi per passare da uno stato all'altro: alto (tensione V CC ) logico, basso (terra) 0 logico 2 Porte logiche (II) Porte logiche (III) Logica positiva (0 = bassa tensione; = alta tensione) (b) una porta NAND: due transistor collegati in serie (c) una porta NOR: due transistor collegati in parallelo Logica negativa (0 = alta tensione; = bassa tensione) (b) una porta NOR: due transistor collegati in serie (c) una porta NAND: due transistor collegati in parallelo V V 2 0 (b) V out V V 2 0 (c) V out NOT: un transistor (invertitore) NAND e NOR: due transistor AND e OR: tre transistor (quelli del NAND e NOR, rispettivamente, più un invertitore) XOR: 8 transistor (A XOR B = (A OR B) AND (A NAND B)) 3 4

2 Funzioni Booleane Funzioni a due soli valori, 0 e (George Boole, ) Forme di rappresentazione: Tabelle di verità Formule algebriche Mappe di Karnaugh Binary Decision Diagrams (BDDs) tutte equivalenti 5 Tabelle di Verità Tabelle di verità: descrivono completamente il valore di una funzione Booleana attraverso tutte le combinazioni di input; n input corrispondono a 2 n combinazioni (righe) È finito l'insieme delle funzioni Booleane di n input: 2 2n funzioni (es., se n = 2 allora 6 funzioni diverse) uso limitato a poche variabili in ingresso Forma canonica: righe ordinate per valori crescenti degli ingressi interpretando i valori delle variabili di ingresso come cifre di una codifica binaria 2 n combinazioni possibili (2 n righe) n variabili di input Algebra Booleana: formule algebriche Due valori 0 e Funzione unaria NOT : A = NOT A Funzioni binarie AND e OR : AB = A AND B A + B = A OR B Le funzioni Booleane possono essere espresse in termini di funzioni elementari: Esempio: AB + BC (è vera solo quando A = e B = 0 oppure B = e C = 0) Proprietà: Algebra Booleana: forme canoniche Formula normale disgiuntiva (FND): sommatoria di termini ciascuno dei quali è una produttoria di letterali costituiti da nomi di variabili di ingresso o da negazioni dei nomi di variabili di ingresso È minimale quando, applicando le proprietà algebriche di equivalenza non è possibile ottenere una FND equivalente contenente un numero di letterali inferiore Formula normale congiuntiva (FNC) Concetto duale del precedente ossia è una produttoria di termini ciascuno dei quali è una sommatoria di letterali costituiti da nomi di variabili di ingresso o da negazioni di nomi di variabili di ingresso 7 8

3 Da tabella di verità à a formula algebrica Funzione di maggioranza su tre input: restituisce se la maggioranza degli input è, 0 altrimenti La funzione produce nella quarta, sesta, settima e ottava riga La funzione M è nelle righe: ABC, ABC, ABC, ABC M = ABC + ABC + ABC + ABC Da formula algebrica a tabella di verità Elencare tutte le possibili configurazioni delle n variabili di ingresso Per ogni configurazione, valutare i valori di uscita delle funzioni elementari NOT, AND e NOT che compongono l espressione Assumendo l espressione iniziale una FND (FNC), l uscita della funzione OR (AND) rappresenta il valore da inserire nella corrispondente riga della tabella che si sta costruendo Tabella di verità Formula algebrica 9 0 Realizzazione di funzioni Booleane. Scrivere la tabella di verità per la funzione 2. Disporre gli invertitori per generare il complemento di ogni input ABC + ABC + ABC + ABC 3. Introdurre una porta AND per ogni termine con un nella colonna dei risultati 4. Collegare le porte AND agli input appropriati 5. Inviare l'output di tutte le porte AND in una porta OR Realizzazione di funzioni Booleane Sostituire le porte con più input con dei circuiti equivalenti che usano porte a due input Convertire il circuito in un solo tipo di porta (per convenienza) NAND e NOR sono porte complete Nota: in generale non si ottiene il circuito ottimale (per numero di porte impiegate) 2

4 Realizzazione di funzioni Booleane Equivalenza di circuiti: esistono più circuiti che realizzano la stessa funzione booleana È importante trovare quella più semplice nel senso del numero di porte Usare a tal fine le proprietà dell'algebra Booleana 3 Mappe di Karnaugh (I) Rappresentazione alternativa alle tabelle di verità più compatta che permette di identificare la FND minimale: si usa uno spazio bidimensionale per la rappresentazione delle configurazioni di ingresso L insieme delle variabili di ingresso viene partizionato in due sottoinsiemi P e P 2 (di dimensioni il più possibile bilanciate ): Un sottoinsieme definisce la coordinata orizzontale (es. P 2 ) e l altro la coordinata verticale (es.p ) Esempio: mappa equivalente alla tabella di verità corrispondente alla funzione M =ABC + ABC + ABC + ABC con P ={A,B} e P 2 = {C} A B C 0 4 Mappe di Karnaugh (II) Per ottenere una formula algebrica minimale si ordinano le combinazioni dei valori di ingresso secondo il Codice Gray, ossia codifiche adiacenti hanno distanza di Hamming unitaria Si identificano gruppi (di dimensione una potenza di 2) di celle adiacenti con valore come prodotto logico (AND) di letterali omettendo quelli corrispondenti alle variabili che assumono valore diverso nella coppia Si procede finchè l unione i gruppi di celle adiacenti non copre completamente tutte e sole le caselle della mappa con valore La FND minimale della funzione di partenza è data sommando logicamente (OR) i termini corrispondenti alle coppie di celle adiacenti identificate A B C A B C 0 0 BC AB AC M min = BC+AB+AC Circuiti integrati (IC) o chip Dual Inline Package (DIP) I chip si suddividono in: Circuiti di base SSI (Small Scale Integrated): da a 0 porte MSI (Medium Scale Integrated): da 0 a 00 porte LSI (Large Scale Integrated): da 00 a porte VLSI (Very Large Scale Integrated): piu` di porte 5 6

5 Circuiti combinatori: decoder Circuito combinatorio: l'output viene determinato solo dagli input del momento Decoder: prende un numero di n bit come input e lo usa per selezionare (mettere a ) una delle 2 n linee di output Può essere utilizzato per attivare una certa componente (vedi ALU più avanti), oppure un banco di memoria, ecc. A, B e C segnali di controllo Circuiti combinatori: multiplexer Multiplexer: 2 n input, output e n segnali di controllo Le linee di controllo determinano quale dei 2 n input deve essere selezionato per essere inviato all'output 7 8 Circuiti combinatori: multiplexer Circuiti combinatori: multiplexer Un multiplexer è composto da un decoder più una porta AND per ogni output del decoder e l'or finale Un multiplexer con n segnali di controllo può essere utilizzato per realizzare una qualsiasi funzione booleana n-aria Positivo Terra D0 D7 Decoder 9 20

6 Circuiti combinatori: demultiplexer Inverso del multiplexer: invia il segnale di input ad uno dei 2 n output, a seconda dei valori delle n linee di controllo Per convenzione, le uscite non attivate assumono il valore costante 0 indipendentemente dal valore assunto dall ingresso Esempio: demultiplexer a 8 uscite (con 3 segnali di controllo A,B,C) in grado di commutare informazioni codificate su bit 2 Circuiti numerici: comparatori Confronta bit a bit due serie di bit in input: produce se gli input sono uguali, 0 altrimenti Utilizza la XOR: OR esclusivo NOR: output di un OR invertito 22 Circuiti logici programmabili (PLA) Programmable Logic Array (PLA) Permette di implementare una tabella di verità qualsiasi (compatibilmente con gli input e output presenti nel chip) Fa uso dei fusibili Oggi non più convenienti per produzione in larga scala Attiva la porta AND che sposta a destra Attiva la porta AND che sposta a sinistra Circuiti combinatori: shifter L output è l input spostato di un bit Il controllo C determina la direzione dello shift, a sinistra se C vale 0, a destra se C vale 23 24

7 Circuiti numerici: addizionatori Half adder: somma due bit in input restituendo l'eventuale riporto È uno XOR È un AND 25 Circuiti numerici: addizionatori Full adder Il semi addizionatore va bene solo per sommare due bit che si trovano all'inizio di una sequenza di bit (devo tenere conto del riporto generato a destra!) L addizionatore completo ad bit è composto da due semi addizionatori modularizzazione 26 Circuiti numerici: addizionatori -bit full adder Controllo sull'overflow: se discordi l'output è, 0 altrimenti n bit Full-adder: un addizionatore completo a n bit si può ottenere replicando in serie n volte un addizionatore completo ad bit Il riporto (carry out) di un bit si usa come carry in dell addizionatore completo alla sua sinistra Riporto Circuiti aritmetici: -bit ALU Arithmetic Logic Unit (ALU) Dati A e B è in grado di calcolare: A AND B, A OR B, NOT B, A + B (somma aritmetica) Input function select (un decoder!) per l'abilitazione dell'operazione desiderata (del corrispondente output) 27 28

8 Circuiti aritmetici: -bit ALU Segnali di abilitazione anche per gli input A e B (ENA e ENB) Se INVA è a viene passato in input il complemento di A anzichè A stesso Condizioni normali: ENA e ENB impostati a, INVA a 0 Bit slice 29 Circuiti aritmetici: 8-bit ALU Una n-bit ALU si ottiene collegando in serie n bit slice Il carry in del bit meno significativo può essere usato come segnale di INC: nell addizione incrementa il risultato di (A + B +, A + ) Segnale di INC 30 Circuiti aritmetici: 8-bit ALU with Z N Circuiti aritmetici: 8-bit ALU with Z N N è copia del bit di output più significativo Segnali di output Z e N [Tanenbaum, Structured Computer Organization, Third Edition, pag. 66, sez.4..4]: Z vale se l output è uguale a zero, 0 altrimenti N vale se l output è un numero negativo, 0 altrimenti Z è il NOR dei bit in output 3 Il libro contiene due errori: si veda la pagina del corso per le spiegazioni F0 F ENA ENB INVA INC Funzione A B 0 A 0 B A + B A + B + A + B + B A B -A 0 0 A and B A or B