Successioni Numeriche

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1 Successioni Numeriche 1. Siano ( ) e (b n ) due successioni positive tali che lim = lim b n = l IR. A. log log b n per n +. B. e an e bn per n Sia ( ) una successione convergente e (b n ) una successione limitata. A. La successione c n = b n è convergente. B. La successione c n = + b n è limitata. 3. Siano ( ) e (b n ) due successioni tali che la successione prodotto ( b n ) risulti convergente. A. ( ) e (b n ) sono convergenti. B. ( ) e (b n ) sono limitate. 4. Sia (b n ) n 1 una successione strettamente crescente tale che b 1 = 0 e b n 1. Posto = ( 1) n b n, provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. max n IN = 1. B. inf n IN = Siano ( ) n 1 e (b n ) n 1 due successioni positive e divergenti tali che b n per n +. A. log( ) log(b n ) per n + B. e an e bn per n + 6. Siano ( ) e (b n ), (c n ) tre successioni reali tali che b n c n per ogni n IN. A. se ( ) e (c n ) sono regolari allora (b n ) è regolare. B. se ( ) e (c n ) sono limitate allora (b n C. se, b n > 0 n IN, allora log α ( ) log α (b n ) per n +.

2 7. Siano ( ) e (b n ) due successioni regolari tali che lim b n = 0. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. b n per n + B. e an e bn per n + C. log( ) log(b n ) per n + 8. Siano ( ) e (b n ) due successioni positive tali che la successione somma ( +b n ) risulti convergente. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. ( ) e (b n ) sono convergenti. B. ( ) e (b n ) sono limitate. 9. Sia ( ) successione positiva e convergente e sia (b n ) successione infinitesima. A. ( b n B. ( b n C. (a bn n ) è convergente. 10. Siano ( ) e (b n ) successioni regolari tali che lim = 0. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. ( + b n ) è regolare. B. ( b n ) è convergente. C. ( b n ) è divergente. 11. Siano ( ) e (b n ) due successioni tali che lim = lim b n e lim = 0. A. esiste n 0 IN tale che b n per ogni n n 0. B. lim b n = 0. C. lim + b n = lim b n. 12. Siano ( ) e (b n ) successioni regolari e positive tali che bn

3 b n A. lim = 0. + b n b B. Per ogni successione non nulla (c n ), n c n log(1 + b n ) C. lim = Siano ( ) e (b n ) successioni regolari e positive tali che an b n + b n A. lim = 1. B. Per ogni successione (c n ), ancn b n sin C. lim = Sia ( ) una successione divergente a +. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. ( ) è crescente. B. inf{ n IN} IR. C. ( Sia ( ) successione positiva tale che 0 e +1 l IR per n +. A. l 1. B. l < 1. C. se l 1, esiste n 0 IN tale ( ) n n0 risulta monotona. 16. Siano ( ) e (b n ) successioni positive, infinitesime e asintotiche per n +. A. Per ogni successione (c n ), c n b n c n per n +. B. Per ogni α IR, α b n α per n +. C. log log b n per n Siano ( ) e (b n ) successioni asintotiche per n + e tali che lim = lim b n = +. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. Per ogni successione (c n ), + c n b n + c n per n +. B. Per ogni α IR, α b n α per n +.

4 C. e an e bn per n Sia ( ) successione positiva e convergente tale che +1 l IR per n +. A. l 1. B. l < 1. C. Se a 0 allora l = Sia ( ) successione positiva crescente. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. La successione ( ) è divergente. B. La successione ( 1 C. La successione ( 1 ) è convergente. 20. Siano ( ) e (b n ) successioni positive e convergenti per n +. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. log b n è convergente. B. sin( + b n ) è convergente. C. e an bn è convergente.

5 Risposte 1. A. falsa, B. vera 2. A. falsa, B. vera 3. A. falsa, B. falsa 4. A. falsa, B. vera 5. A. vera, B. falsa 6. A. falsa, B. vera, C. falsa 7. A. falsa, B. vera, C. falsa 8. A. falsa, B. vera 9. A. vera, B. falsa, C. falsa 10. A. vera, B. falsa, C. falsa 11. A. falsa, B. falsa, C. vera 12. A. vera, B. falsa, C. falsa 13. A. vera, B. falsa, C. falsa 14. A. falsa, B. vera, C. vera 15. A. vera, B. falsa, C. vera 16. A. falsa, B. vera, C. falsa 17. A. falsa, B. vera, C. falsa 18. A. vera, B. falsa, C. vera 19. A. falsa, B. vera, C. vera 20. A. falsa, B. vera, C. falsa Si ricorda che per provare che un affermazione è vera è necessario produrre una breve dimostrazione, utilizzando eventualmente risultati generali visti a lezione. Per provare che un affermazione è falsa è invece sufficiente fornire un controesempio.