Lezione 2: tanti tipi di problemi, anche insolubili

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1 Lzion : tnti tipi i prolmi, nh insoluili Mirim Di Inni 5 nnio Tnti tipi i prolmi Aimo inizito l sors lzion inno, più o mno ormlmnt, qullo h trizionlmnt vin onsirto un prolm: un insim i ti prtir i quli si v lolr il vlor i un soluzion. Possimo trurr qusto ontto in un linuio squisitmnt mtmtio, prlr i prolmi h onsistono nl lolo i un unzion. Esmpio. Nll smpio SommEDirnzSmnti, prsntto ll inizio ll prnt lzion, si rihiv il lolo ll lunhzz l 1 l i u smnti ti l loro somm s l loro irnz. Possimo sprimr lo stsso prolm rmno h volimo lolr l unzion h ssoi u vlori numrii, s, rpprsntnti l somm l irnz ll lunhzz i u smnti, l lunhzz i u smnti. Com imo visto, tl unzion ( u vlori) può ssr sprss nll orm ( s + (s, ) =, s s + ) oppur (s, ) = ( s, + s + ). Ossrvimo h nh il prolm ll orinmnto i un vttor i intri è un prolm i lolo i un unzion, in ui vin rihisto i lolr l prmutzion i inii l vttor h orrispon un vttor orinto. Al trmin ll lzion prnt, poi, imo inontrto un ivrso tipo i prolm, in ui vniv rihisto i risponr sì oppur no. Nl prolm h imo inontrto r rihisto i ir s un t prol ornit om input r plinrom. Prolmi i qusto tipo vnono tti isionli, sostnzilmnt, onsistono nll rihist i vriir s l insim i ti ( or in vnti, l istnz) vrii un rt proprità. Potr smrr, uno suro supriil, h l inizion i prolm isionl rttrizzi un insim molto ristrtto i prolmi - solo qui prolmi in ui i riuimo hiri è vro h...? In rltà, on l usilio i qulh piolo rtiiio, possimo ssoir un prolm isionl qulunqu prolm i lolo i un unzion: è suiint slir un lmnto nl oominio ll unzion (ossi, nll insim i vlori h possono ssr ssunti ll unzion) hiri s, nll t istnz, il vlor ll unzion è proprio (oppur, minor o uul i, oppur mior o uul i ). Esmpio. Consirimo nor il prolm SommEDirnzSmnti; un su vrsion isionl è init om su: ti quttro numri intri s,, l 1 l, è vro h s = l 1 + l h = l 1 l? 1

2 In molti si, possimo trovr l soluzion i un prolm i lolo i un unzion risolvno pr un opportuno numro i istnz l su vrsion isionl. Esmpio. Cosirimo l sunt unzion: to un insim A = { 1,,..., n } i n numri intri, (A) è il numro i lmnti i A miori i 0. Un vrsion isionl l prolm l lolo i è l sunt: ti un insim A = { 1,,..., n } i n numri intri un numro intro positivo k, è vro h il numro i lmnti positivi i A è mior o uul i k? Mostrimo or om lolr (A) risolvno il prolm isionl su l più n istnz. Si A = { 1,,..., n } l insim to; l loritmo h lol (A) ino l più n istnz l prolm isionl è il sunt: 1. impostimo k = 1;. s il numro i lmnti positivi i A è mior o uul k llor inrmnt k i 1 ripti il psso. 3. ltrimnti (A) = k 1. Inin, un importnt tori i prolmi è qull i prolmi i ottimizzzion in ui vin rihisto i lolr il vlor minimo o il vlor mssimo i un unzion. Esmpio. Si X = {x 1, x,..., x n } un insim si S = {S 1, S,..., S m } un mili i sottoinsimi i X (ossi, isun S j è un sottoinsim i X). Volimo slir il minimo numro i lmnti i S in moo tl h oni lmnto i X ompi in lmno uno li lmnti i S slti. Anlomnt i prolmi i lolo i unzioni, nh i prolmi i ottimizzzion possimo ssoir vrsioni isionli. Poihé, unqu, pr risolvr qulunqu tipo i prolm riusimo smpr rionuri risolvr prolmi isionli, or in vnti i limitrmo onsirr soltnto qusto tipo i prolmi. Attività. Assoir un opportuno prolm isionl l prolm i ottimizzzion inito nll smpio prnt mostrr om il prolm i ottimizzzion poss ssr risolto risolvno un opportuno numro i istnz ll su vrsion isionl. Qunti sono li loritmi? Crtmnt, om possimo imminr ilmnt, sistono un numro ininito i loritmi. M, llor, h snso h qust omn? In ltri trmini, om si ontr li lmnti i un insim ininito? O, nor, sistono ininiti più rni i ltri ininiti? L rispost ll trz omn è: sì, sistono ininiti più rni i ltri ininiti. L soprt i qusto tto, tutt ltro h intuitivo, è ovut Gor Cntor, un mtmtio tso vissuto vllo l XIX l XX solo. In qusto prro, inizirmo risponr ll son omn, ll lu ll soprt i Cntor. Inv, nl Prro 3, proprio utilizzno l tnih iniviut Cntor, mostrrmo prhé l trz omn h rispost rmtiv. Dunqu, om si ontr li lmnti i un insim ininito? Ovvimnt, non h snso ontr spliitmnt li lmnti i un insim ininito (sppimo ià h sono ininiti!). Qullo h intrss rlmnt è, piuttosto, mttr in rlzion u insimi ininiti, ossi r orrisponr li lmnti i un insim li lmnti i un ltro insim in moo tl h: oni lmnto l primo insim è in orrisponnz on uno un solo lmnto l sono insim (in Fiur 1.(i) è mostrto un smpio in ui qusto non vvin) oni lmnto l sono insim è in orrisponnz on uno un solo lmnto l primo insim (in Fiur 1.(ii) è mostrto un smpio in ui qusto non vvin).

3 Un orrisponnz r u insimi h risptt i u vinoli sopr initi vin tt iunivo. Un smpio i orrisponnz iunivo è illustrto in Fiur 1.(iii). Intutivmnt, è hiro h u insimi initi (ossi, (i) (ii) (iii) Fiur 1: L orrisponnz in (i) (ii) sono smpi i orrisponnz non iunivoh. L orrisponnz in (iii) è iunivo. ontnnti un numro inito i lmnti) r i quli è possiil inir un orrisponnz iunivo hnno lo stsso numro i lmnti. S mttimo in orrisponnz iunivo u insimi ininiti, non possimo più rmr h hnno lo stsso numro i lmnti (prhé l ininito non è un numro!). Prò, il ontto è sostnzilmnt lo stsso: iimo, in qusto so, h i u insimi sono quipotnti o, nh, h hnno l stss rinlità. Cos h h vr tutto iò on prolmi loritmi? Inizimo risponr qust omn mostrno h li loritmi sono tnti qunti i numri nturli. No, iimolo n: l insim li loritmi h l stss rinlità ll insim N i numri nturli. Pr provr qust rmzion oimo ostruir un orrisponnz iunivo r l insim li loritmi l insim i numri nturli; in ltri trmini, qusto sinii h oimo trovr un moo pr numrr li loritmi, ossi, pr potr ir qul è il primo, qul il sono, osì vi. M om r numrr li loritmi s il ontto i loritmo è osì nrio om imo visto l prnt lzion? Innnzi tutto, riorimo l tsi i Churh-Turin: tutto iò h è lolil lo è mint un mhin i Turin. Qust tsi i prmtt i onsirr, nzihé loritmi nrii, mhin i Turin. Intti, l tsi i Churh-Turin impli h, to un qulsisi loritmo (sritto in un qulsisi linuio) h lol un t unzion, sist un mhin i Turin h lol l stss unzion. Allor, possimo limitri numrr l mhin i Turin. Vimo, unqu, om numrr l mhin i Turin. Riorimo h un mhin i Turin T è univomnt sritt ll insim Q ll quintupl h l rttrizzno. S l lto A = { 1,,..., n } l insim S = {s 0, s 1,..., s h } li stti sono onsirti orinti ( smpio, ssumno i < j s i < s j s i < j), llor nh l insim Q può ssr onsirto orinto sono l orinmnto lssiorio: l quintupl s i1, j1, j, m, s i pr l quintupl s i3, j3, j4, m, s i4 s l prol s i1 j1 j ms i prr in un izionrio l prol s i3 j3 j4 m s i4. Si unqu {q 1, q,..., q k } l orinmnto risultnt ll insim Q (on q 1 < q <... < q k ). Assoimo, or, isun quintupl i T un numro intro, lolto nl moo sunt: sino ( j ), (s i ) (m), rispttivmnt, l oii in inrio i i A, i s j S i m {sinistr, str, rm}; llor, l quintupl q = s i1, j1, j, m, s i vin ssoit l numro intro (q) = (s i1 )( j1 )( j )(m)(s i ) (ottnuto ontnno l vri omponnti ll quintupl on il numro ). Inin, l mhin T è univomnt rpprsntt ll numro (q 1 )3(q )3... 3(q k ), ottnuto ontnno i numri ssoiti isun quintupl (orintmnt) on il numro. È possiil imostrr h l numrzion ottnut è univo, ossi, mhin i Turin ivrs sono ssoiti numri ivrsi. Dunqu, imo msso in orrisponnz iunivo l insim ll mhin i Turin on un sottoinsim 3

4 i numri nturli qusto imostr h l rinlità ll insim ll mhin i Turin non è mior i qull ll insim i numri nturli. D ltr prt, ssno nh l insim ll mhin i Turin ininito, l su rinlità oini on qull ll insim i numri nturli. Attività. Clolr il numro ssoito ll mhin i Turin h i s un prol è plinrom. 3 Qunti sono i prolmi? Consirimo, or, l insim i prolmi: qul è l rinlità i tl insim? Mostrimo, in qusto prro, h sist un prolm h non può ssr risolto lun loritmo h, quini, l rinlità ll insim i prolmi è mior i qull ll insim N. Dimostrimo qusto tto utilizzno l tni i ionlizzzion, un prtiolr tni i imostrzion pr ssuro introott Cntor. Riorimo h l insim ll mhin i Turin è numril. Inoltr, utilizzno un proimnto nloo qullo prsntto pr imostrr l numrilità ll insim ll mhin i Turin, è possiil imostrr h nh l insim ll prol i lunhzz init su lti initi è numril: intti, possimo oiir qulunqu lto in inrio, prtir tl oii, numrr l prol i lunhzz init nlomnt qunto imo tto on l mhin i Turin. Tornimo, or, ll inizion i mhin i Turin: un psso i un mhin i Turin è l suzion i un sinol quintupl. Ossrvimo h, t un mhin i Turin T un prol x, non è tto h l mhin T on input x riun uno stto inl in un numro inito i pssi (in qulh moo, il ontto i non trminzion i un mhin i Turin quivl l ontto i loop i un prormm). Introuimo, inin, il sunt insim H = {i : l mhin i Turin i ini i non trmin on input l prol i ini i} h i prmtt i inir il Prolm ll Frmt: to un intro positivo x, è vro h x H? Supponimo h sist un mhin i Turin T h risolv il Prolm ll Frmt: llor, pr oni input x, T on input x rispon sì s soltnto s x H, ossi, T on input x rispon sì s soltnto s l mhin i Turin i ini x on input l prol i ini x non trmin. Inoltr, l mhin T vrà un rto ini k nll numrzion ll insim ll mhin i Turin. Mostrimo, or, h pr oni i N k i: intti, l mhin T on input l prol i ini i rispon sì s soltnto s l mhin i ini i on input l prol i ini i non trmin. Dunqu, pr oni i N, il omportmnto ll mhin T iris l omportmnto ll mhin i ini i pr lmno un input. Qusto prov h non sist un ini k h può ssr ssnto ll mhin T. M, poihé l insim ll mhin i Turin è numril, llor l mhin T non sist, ossi, il Prolm ll Frmt non è risoluil. Rissumno, nll prim u lzioni i qusto orso imo mostrto i tti sunti: oni loritmo risolv un prolm (nh s un prolm può ssr risolto più i un loritmo); l insim li loritmi h l stss rinlità ll insim i numri nturli; sist un prolm h non è risolto lun lorimo. In onlusion, sistono più prolmi h loritmi, ossi, l rinlità ll insim li loritmi è mior i qull ll insim i prolmi. Attività. Dinir un mhin i Turin h non trmin pr qulh input. 4

5 4 Autorrnzilità prossi Tornimo onsirr il Prolm ll Frmt rhimo i pir os è h lo rn tnto iiil. L input i tl prolm è ostituito un prol un mhin i Turin; quini, pr risolvr un istnz l prolm vrmmo isono i un mhin i Turin T h prn in input un prol un mhin i Turin. Nturlmnt, poihé T è un mhin i Turin, T potr prnr sé stss om input, ossi T ovr oprr un ision su sé stss. Qust situzion, in ui un ntità è himt oprr su sé stss, vin himt utorrnzilità. L utorrnzilità è ll s i molti prossi loio-mtmtii. Il prosso l mntitor. Io sto mntno. Pott rrmi? Supponimo h mi rit: llor stri ino l vrità, ossi, sr vro h sto mntno. M s stssi mntno non potri rto ir l vrità. Allor, mlio non rrmi. Cioè, sto rmno il lso. Dunqu, non è vro h sto mntno. M s non sto mntno, llor sto ino l vrità, mntr io rmo h sto mntno... Anor utorrnzilità: sto rmno qulos su m stss. Il prosso i Russl. È, qusto, un prosso h min l onmnt stss ll Tori li Insimi (, quini, ll Loi Mtmti). Sppimo tutti os v un insim: un ollzion i otti (vntulmnt, strtti) h hnno tutti un qulh proprità - l proprità rttristi o l i pprtnnz ll insim. Esistono ininit vrità i insimi. Fr tutti li insimi sistono insimi h ontnono sé stssi om lmnto: smpio l insim i ontti è sso stsso un ontto, quini, è ontnuto in sé stsso. Autorrnzilità, i nuovo. Possimo, llor, onsirr l insim N li insimi h non ontnono sé stssi om lmnto. Sor, or, spontn l omn: N N? Supponimo intizilmnt h N N : in qusto so N non ovr ontnr sé stsso om otto, quini N N. Allor, v ssr N N : m llor N v ontnr sé stsso om otto, quini, N N... Qul è l soluzion? non è soluzion: è un prosso! 5