Equazioni a derivate parziali Complementi ed esercizi

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Equazioni a derivate parziali Complementi ed esercizi"

Gemma Righi
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Equazioni a derivate parziali Complementi ed esercizi

2 S. Salsa G. Verzini Equazioni a derivate parziali Complementi ed esercizi 13

3 SANDRO SALSA Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano GIANMARIA VERZINI Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano L immagine di copertina A twig in a stream, with capillary waves ahead of it and gravity waves behind it è modificata da Tucker VA (1971) Waves and Water Beatles. Physics Teacher (9) 10-14, 19. In Siegel LA: Mathematics applied to continuum mechanics. New York: Dover Publications Inc Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.it Springer-Verlag Italia, Milano 2005 ISBN ISBN Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d autore, ed è soggetta all autorizzazione dell Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc., in quest opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum, Bollate (Mi)

4 Prefazione La presente raccolta di problemi ed esercizi nasce dall esperienza maturata durante il corso di Equazioni a Derivate Parziali (EDP), tenuto nell ambito delle lauree di primo e secondo livello presso il Politecnico di Milano. La principale finalità del corso è confrontare gli allievi con un percorso didattico che li abitui ad una sinergia metodologica nell a rontare un dato problema teorico e/o modellistico riguardante itemiintroduttividelleedp. Questo testo intende proporsi sia come verifica del grado di preparazione raggiunto sia come spunto di approfondimento e si presenta come il naturale complemento al testo Equazioni a Derivate Parziali, Metodi, modelli, applicazioni di S. Salsa (Springer-Verlag Italia, 2004), nel seguito indicato con [S], del quale condivide la linea di sviluppo degli argomenti. Il volume è diviso in due parti; nella prima, costituita dai capitoli dal primo al quarto, l obiettivo è l uso di tecniche classiche, come la separazione delle variabili, il principio di massimo o le trasformate di Laplace e Fourier, per risolvere problemi di di usione, trasporto e vibrazione. Il quinto capitolo invita a familiarizzare con i risultati di base negli spazi di Hilbert, nella teoria delle distribuzioni (o funzioni generalizzate) di Schwartz e in quella degli spazi di Sobolev più comuni. Il sesto ed ultimo capitolo riguarda la formulazione variazionale o debole dei più importanti problemi iniziali e/o al bordo per equazioni ellittiche e di evoluzione. Completano il testo due appendici e, con un rapido cenno a problemi di Sturm-Liouville e funzioni di Bessel ( ) e ad alcune formule ed identità di uso comune ( ). L introduzione ad ogni capitolo contiene una sintesi degli strumenti teorici più utilizzati. Gli esercizi sono suddivisi in due gruppi: problemi risolti, che costituiscono dei modelli metodologici di riferimento, la cui soluzione è presentata in dettaglio esercizi proposti, che il lettore è invitato ad a rontare autonomamente. Anche di questi è presentata la soluzione, a volte in forma sintetica. Gli esercizi contrassegnati con uno o due asterischi si presentano come complementi teorici e possono risultare particolarmente impegnativi. Vogliamo ringraziare i numerosi colleghi che con i loro suggerimenti hanno contribuito al miglioramento del testo e in particolare Anna Zaretti e Cristina Cerutti. Infine, desideriamo ringraziare Francesca Bonadei, di Springer-Verlag Italia, per aver incoraggiato e seguito la stesura del volume.

5 Indice 1. Diffusione Richiami di teoria Problemi risolti Metodo di separazione delle variabili Uso del principio di massimo Applicazioni del concetto di soluzione fondamentale Uso delle trasformate di Fourier e Laplace Problemi in dimensione maggiore di uno Esercizi proposti Soluzioni Equazione di Laplace Richiami di teoria Problemi risolti Problemi con valori al bordo. Metodi di risoluzione Proprietà generali delle funzioni armoniche Potenziali e funzioni di Green Esercizi proposti Soluzioni Equazioni del primo ordine Richiami di teoria Problemi risolti Leggi di conservazione ed applicazioni Caratteristiche per equzioni lineari e quasilineari Esercizi proposti Soluzioni Onde Richiami di teoria Problemi risolti Onde e variabili monodimensionali

6 VIII Indice 2.2. Riduzione a forma canonica. Problemi di Cauchy e Goursat Problemi in più dimensioni Esercizi proposti Soluzioni Analisi funzionale Richiami di teoria Spazi di Banach e Hilbert Distribuzioni Alcuni spazi di Sobolev Problemi risolti Spazi di Hilbert Distribuzioni Spazi di Sobolev Esercizi proposti Soluzioni Formulazioni variazionali Richiami di teoria Problemi risolti Problemi di una dimensione Problemi ellittici Problemi di evoluzione Esercizi proposti Soluzioni Appendice A. Equazioni di Sturm-Liouville, Legendre e Bessel Equazioni di Sturm-Liouville Equazione regolari Equazioni di Legendre Funzioni ed equazione di Bessel Funzioni di Bessel Equazione di Bessel Appendice B. Identità e formule Gradiente, divergenza, rotore, laplaciano Formule Bibliografia

Documenti analoghi

Collana di Fisica e Astronomia

Collana di Fisica e Astronomia A cura di: Giorgio Parisi Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guido Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi Esercizi di Fisica: Meccanica