Esercizi su potenziale di un campo vettoriale

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1 Esercizi su potenziale di un campo vettoriale 0. Sia (, y, z) :=(2y,, ) e la circonferenza unitaria nel piano di equazione z = y (centrata nell origine). alcolare il lavoro compiuto da lungo orientata a piacere. 0.2 Sia Σ l arco di elica parametrizzato da t (cos t, sin t, t), t [0, 2π] e si consideri il campo di vettori (, y, z) :=(2z, 2yz, 2 + y 2 ), (, y, z) R 3. alcolare Σ. [2π] 0.3 Stabilire se il campo vettoriale y + y 2, y 2 è conservativo in A = {(, y) R 2, y > 0} e, in caso affermativo, scriverne un potenziale. Dire infine se è conservativo nel suo dominio di esistenza {(, y) R 2, y = 0}. sì; y y

2 0.4 Si consideri il campo vettoriale piano (sin( + y)+ cos( + y),cos( + y)). Stabilire se esso è conservativo in R 2 ed, eventualmente, determinarne un potenziale. 0.5 Si consideri il campo vettoriale (, y, z) :=(z,3z,+3y). Stabilire se esso è conservativo in R 3 ed, eventualmente, determinarne un potenziale. [sì; z( +3y)] 0.6 Provare che il campo vettoriale (e ( + y), e ) è conservativo. Determinarne il potenziale che si annulla nell origine. 0.7 Dimostrare che il campo (e y ye,e y e ) soddisfa IP. alcolare dove è una curva qualsiasi avente (0, 0) come punto iniziale e (, ) come punto finale. [0] 2

3 0.8 Dimostrare che il campo (e y ye,e y e ) soddisfa IP. alcolare dove è una curva qualsiasi avente (0, 0) come punto iniziale e (, ) come punto finale. 0.9 Stabilire se il campo di vettori ( 2(y + ) 3, 2 ) è conservativo. In caso affermativo, determinare un potenziale di. 0.0 Determinare l insieme di esistenza del campo cos 2 + y 2 (, y). 2 + y 2 Stabilire se è conservativo e, in caso affermativo, determinarne un potenziale. 0. Stabilire se il campo di vettori 2 y ; y 2 è conservativo. In caso affermativo, determinarne un potenziale. 0.2 Dimostrare che il campo di vettori (, y) ln y y, y ln, (, y) (0, + ) 2 3

4 soddisfa IP. Determinarne il potenziale ϕ tale che ϕ(, ) = 0 e verificare che ϕ(y, ) = ϕ(, y). 0.3 Si consideri il campo vettoriale y 2 + y + + y Dimostrare che è conservativo., 2 + y +, + y = 0. + y 0.4 Descrivere il dominio (massimale) di esistenza del campo 2 ln(2 + y 2 ), arctan y. Stabilire se è conservativo. Nel caso che lo sia, se ne determini la famiglia dei potenziali. 0.5 Determinare ϕ (R 2 ), sapendo che essa è potenziale del campo vettoriale (2ϕ(, y),ϕ(, y)) echeϕ(0, 0) =. Determinare poi dove è il grafico della funzione +sin, [0,π] orientato di modo che (0, 0) sia il punto iniziale. 0.6 Determinare un campo con potenziale Φ(, y) := 3y + 2, (, y) R 2. 4

5 Esistono altri campi con lo stesso potenziale? Motivare la risposta. alcolare infine dove P é la poligonale congiungente, nell ordine, i punti: (0, 0), (, ), (0, 2), (3, 3), (0, 4), (5, 5), (0, 6), (7, 7), (0, 8). P [No; 24] 0.7 onsiderato il campo di vettori determinare un valore di α per cui si abbia y 2, y + α y 2 =0, (, y) R 2 per ogni circonferenza centrata nell origine e percorsa in senso orario. [0] 0.8 Stabilire per quali valori di α il campo α +( α) (, y) + e y, α + α + e y risulta conservativo nel primo quadrante del piano cartesiano. [] 0.9 Si consideri il campo vettoriale : R 2 R 2, (, y) :=(2 y, 2 ). 5

6 Determinare un potenziale di in (0, + ) 2 ; Stabilire (motivando la risposta) se esiste un potenziale di in (0, + ) (0, ); Stabilire (motivando la risposta) se esiste un potenziale di di classe 2 in un insieme aperto contenente almeno un punto della retta y = 0. 2 y; non esiste; non esiste 6