ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI
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- Adriana Mauro
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1 ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI Appello Febbraio 995 ( F (( + y i y (( + y j. ( Stabilire se F è conservativo e in caso affermativo trovarne un ( Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l arco di curva cos t + r(t : t π y sin t ( ( (( + y d ( + y + f(y. ( y ( + y + f(y y (( + y + f (y. Quindi se f (y, cioè se f(y c con c R, allora è un potenziale di F. φ(, y ( + y + c ( L arco di curva assegnato ha punto iniziale P (, e punto finale P (,. Poiché F è conservativo con potenziale φ, il lavoro di F lungo il percorso assegnato è dato da φ(, φ(,. Appello Luglio 3 F y i y j.
2 ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo il segmento che congiunge il punto P (, con il punto Q (4,. Si può trovare il lavoro con il calcolo diretto oppure trovare, se esiste, un potenziale e calcolare la differenza dei valori del potenziale nel punto iniziale e finale del segmento. Risolviamo l esercizio in entrambi i modi. Primo modo Il segmento l da P (, a Q (4, ha equazione y, con 4, quindi l 4 F r 4 ( ( ( Secondo modo y ( d d y + f(y ( y y + f(y y + f (y. ( d [ 4 ] 4. Allora φ(, y y è un potenziale di F e il lavoro di F lungo il segmento dato è φ(4, φ(,. Appello 7 Giugno996 F zi + yj + k. ( Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l arco di curva cos t r(t : y sin t t π z 3t ( F è conservativo? (3 Calcolare la lunghezza dell arco di curva definito in (. ( Il lavoro si trova risolvendo: π (3t( sin t + sin t( cos t + 6 cos tdt
3 ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI 3 π π (6t sin tdt 6 sin t] π + 6 cos tdt. (Si noti che le primitive di funzioni del tipo sin t, cos t e sin t cos t sono periodiche di periodo π quindi l integrale da a π di tali funzioni è. ( Il dominio del campo è R 3 che è un dominio semplicemente connesso. Si ha F F, y F F 3 z F F 3. Quindi il campo è conservativo. z y Ciò conferma il risultato ottenuto al punto (, poiché la curva è chiusa., (volendo trovare un potenziale, si ha: zd z + f(y, z ydy y + g(, z dz z + h(, y. Quindi φ(, y, z z + y è un potenziale per il campo. (3 La lunghezza dell arco di curva è data da π dr dt dt π π ( 4 sin t + 4 cos t + 9dt 3dt π 3. Appello 3 Settembre 994 Nel piano cartesiano Oy è presente un campo di forze centrali dirette verso l origine O. L intensità della forza in ogni punto è inversamente proporzionale alla distanza dall origine con costante di proporzionlità 4, cioè F 4r r dove r è il raggio vettore i + yj. ( Stabilire se F è conservativo e in caso affermativo trovarne un ( Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l arco di circonferenza cos t t 3 y sin t 4 π percorso in verso antiorario.
4 4 ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI ( Si ha Il dominio di F è R \ (, }. F 4 + y i 4y + y j. Si ha F y 8y ( + y F, ma questo non permette di concludere che il campo è conservativo perché il dominio non è semplicemente connesso. Quindi per stabilire se F è conservativo cerchiamo se esiste un 4 + y d ln( + y + f(y 4y + y d ln( + y + g( Quindi un potenziale è φ(, y ln( + y. ( Il punto iniziale dell arco di circonferenza dato è (, e il punto finale è (,. Si ha φ(, φ(,. Quindi il lavoro compiuto dal campo F è. Seconda prova parziale 994 F y i + j y y ( Trovare il dominio di F e disegnare le linee di campo. ( Stabilire se F è conservativo e in caso affermativo trovarne un (3 Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l arco di curva cos 3 t r(t : y sin 3 t π t ( Il campo è definito in D (, y R y > }, cioè nei punti del primo e terzo quadrante del piano esclusi gli assi cartesiani.
5 ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI 5 Le linee di campo si ottengono risolvendo l equazione differenziale y y y d dy cioè d ydy che fornisce d ydy, quindi y + c con c una costante arbitraria. Le curve y c sono iperboli con asintoti le rette y e y con asse trasverso l asse per valori positivi di c e l asse y per valori negativi di c, pertanto le linee di campo sono quei rami di tali iperboli che si trovano nel primo e terzo quadrante del piano. ( Cerchiamo se esiste un potenziale del campo. y y d y + f(y y dy y + g( Quindi φ(, y y è iun potenziale per il campo. (3 I punti iniziale e finale della curva data sono (, e ( Pertanto il lavoro è. 4, 4.
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