14. Nozione di modello e verità di un predicato

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1 14. Nozione di modello e verità di un predicato Per definire la validità di un predicato facciamo uso della nozione di modello. Intuitivamente un modello definisce in modo primitivo l interpretazione delle costanti e dei predicati atomici, dopo aver fissato un dominio D in cui varino le variabili per termine. Def. 0.1 (modello di un linguaggio predicativo) Dato linguaggio predicativo L con costanti c j e predicati atomici P k (x 1,..., x n ) un modello per L è dato da un dominio (=insieme NON VUOTO) D un interpretazione delle costanti come elementi di D e di predicati atomici (diversi dall uguaglianza!) come funzioni: costante c j elemento di dominio c j D εd predicato atomico P k (x 1,..., x n ) funzione P k (x 1,..., x n ) D (,..., ) : D n {0, 1} variabile proposizionale B B D {0, 1} ovvero predicato atomico senza variabili libere L uguaglianza non si menziona nel modello perchè la sua interpretazione è FISSATA la stessa in TUTTI i modelli e corrisponde all uguaglianza di elementi nel modello come segue: (x = y) D ( ) : D 2 {0, 1} x = y D (d 1, d 2 ) { 1 se d 1 = d 2 0 se d 1 d 2 Idea di interpretazione e verità: Poi nel modello per un generico predicato pr(x) definiamo x pr(x) è vero nel modello ( D, M(x) D, U(x) D, s D ) se PER OGNI d D pr(x) D (d) = 1 x pr(x) è vera nel modello ( D, M(x) D, U(x) D, s D ) se ESISTE d D tale che pr(x) D (d) = 1 pr(x) è vero nel modello ( D, M(x) D, U(x) D, s D ) se PER OGNI d D pr(x) D (d) = 1 1

2 mentre gli altri connettivi proposizionali vengono definiti secondo le tabelle di verità a partire dai valori assegnati alle loro componenti. Si veda nelle dispense la definizione precisa di interpretazione. Esempi: Se consideriamo il linguaggio predicativo arricchito della sola costante c allora nel modello D numeri naturali c D 5 si ha che per d D (x = c) D (d) 1 sse d = 5 Il linguaggio predicativo con predicati atomici e costanti M(x)= x è mortale U(x)= x è un uomo s = Socrate. corrisponde ad un modello del tipo: D= Esseri viventi M(x) D (d)=1 sse d è mortale per d D U(x) D (d)=1 sse d è un uomo per d D s D = Socrate. In tal modello la proposizione x ( U(x) M(x) ) & U(s) M(s) è vera, ossia vale ( x ( U(x) M(x) ) & U(s) M(s) ) D = 1 Un altro modello per il linguaggio predicativo con M(x), U(x), s è D= {Pippo, Topolino, Minni} M(x) D (d)=1 sse d è maschio U(x) D (d)=1 sse d è femmina s D =Minni. In tal modello si ha ( x ( U(x) M(x) ) ) D = 0 perchè esiste un individuo del dominio per cui ( U(x) M(x) ) D (d) = 0, ovvero d = Minni, dato che M(x) D (Minni)=0 e U(x) D (Minni)=1. Mentre invece nel modello D= Esseri viventi M(x) D (d)=1 sse d è mortale per d D U(x) D (d)=1 sse d è un uomo per d D s D = Socrate. 2

3 si ha ( x ( U(x) M(x) ) ) D = 1 perchè tutti gli uomini sono appunto mortali. Linguaggio proposizionale Linguaggio predicativo sintassi proposizione predicati Variabili A, B, C,... K, A(x), B(y), C(x,y),... verità globale tabella di verità I modelli verità locale riga di tabella UN modello validità NON validità soddisfacibilità INsoddisfacibilità proposizione valida tautologia =sua tabella con TUTTI 1 proposizione NON valida = sua tabella con UNA riga 0 proposizione soddisfacibile = sua tabella con UNA riga 1 proposizione INsoddisfacibile paradosso =sua tabella con TUTTI 0 predicato valido tautologia = vero in TUTTI i modelli predicato NON valido = falso in UN modello detto CONTROMODELLO predicato soddisfacibile =vero in UN modello predicato INsoddisfacibile paradosso =falso in TUTTI i modelli Concludiamo aggiungendo pure che un predicato, o formula, fr è OPINIONE nella semantica classica se fr è NON VALIDO e SODDISFACIBILE ovvero fr è falso in UN modello ed è vero in un ALTRO modello. 3

4 Dire se le seguenti formule sono valide, soddisfacibili o insoddisfacibili: 1. A(c) 2. A(x) x A(x) 3. A(c) x A(x) 4. A(c) x A(x) 5. x A(x) x A(x) 6. D { i sogni del mio vicino di banco } A(x) D (d) = 1 sse il sogno d fa paura A(x) D (d) = 0 sse il sogno d NON fa paura c D = il sogno più brutto è un modello ben definito per il linguaggio con A(x) e c?? in questo modello vale x A(x)?? 7. x y B(x, y) 8. B(x, y) A(x) 4

5 Def. un sequente Γ è vero in modello D se Γ & è vero nel modello D. Def. un sequente Γ è VALIDO ovvero è TAUTOLOGIA nella semantica classica, se Γ & è VALIDO ovvero TAUTOLOGIA nella semantica classica, ovvero Γ & è vero in OGNI modello Def. un sequente Γ è SODDISFACIBILE nella semantica classica se Γ & è SODDISFACIBILE nella semantica classica, ovvero ESISTE un MODELLO in cui Γ & è vero. Def. un sequente Γ è NON VALIDO nella semantica classica se Γ & è NON VALIDO rispetto alla semantica classica, ovvero ESISTE un MODELLO in cui Γ & è falso che è chiamato CONTROMODELLO. Def. un sequente Γ è INSODDISFACIBILE, ovvero PARADOSSALE nella semantica classica se Γ & è INSODDISFACIBILE, ovvero PARADOSSO rispetto alla semantica classica, ovvero Γ & è falso in TUTTI i modelli. Concludiamo aggiungendo pure che Def. un sequente Γ è OPINIONE nella semantica classica se Γ & è OPINIONE rispetto alla semantica classica, ovvero Γ & è NON VALIDO e SODDISFACIBILE ovvero Γ & è falso in UN modello ed è vero in un ALTRO modello. 5

6 14. Come decidere validità in logica classica predicativa Al contrario della logica classica proposizionale, per la logica classica predicativa NON esiste una procedura AUTOMATICA per decidere la validità di arbitrarie formule o sequenti. Esiste però una procedura SEMI-automatica che si avvale del calcolo dei sequenti LC e richiede la costruzione di contro-modelli nel caso di non validità. Procedura per stabilire validità, insoddisfacibilità, soddisfacibilità di sequenti in LC Dato sequente Γ passo { 1: si prova a derivarlo in LC se si deriva è valido ovvero è tautologia se NON si riesce a derivare vai al passo 2 passo 2: costruisci contromodello con foglia di albero che NON si chiude se esiste contromodello il sequente Γ è NON valido e vai al passo 3 passo 3: prova a derivare la negazione di Γ in LC = che è ( Γ & ) se non ci sono variabili libere oppure è y( Γ & ) se y è la lista che contiene tutte le variabili libere del sequente Γ se si deriva Γ è insoddisfacibile ovvero è paradossale se NON si riesce a derivare applica il passo 2 a ( Γ & ) se trovi contromodello di ( Γ & ) (oppure di y( Γ & ) ) questo è modello di Γ & che è quindi anche modello di Γ Γ è soddisfacibile e siccome è pure non valido allora risulta OPINIONE Consigli su come derivare Nell intento di cercare una derivazione è meglio: applicare PRIMA le regole dei connettivi proposizionali e -D e -S se non si riesce a derivare il sequente a causa di una foglia non assioma che non si riesce a chiudere (ovvero non si riesce a farla diventare nodo di un ramo con assiomi come foglie), conviene costruire il contromodello falsificando il sequente che si trova lungo il ramo che finisce nella foglia non assioma PRIMA di un applicazione (o di una seconda applicazione) di -S o -D Esercizi 1. Formalizzare la seguente argomentazione in sequente e mostrare se la sua formalizzazione è valida rispetto alla semantica classica, ovvero se il sequente ottenuto è valido e in caso contrario si dica 6

7 se è non valido e soddisfacibile o insoddisfacibile: Se uno è mite e gentile allora è amabile. Se uno non è gentile allora non è amabile e neppure mite. : M(x)=x è mite G(x)=x è gentile A(x)=x è amabile 2. Si stabilisca la validità e soddisfacibilità o meno del sequente utilizzando la procedura sopra. z A(z) z A(z) 7

8 Come interpretare predicati a più variabili L interpretazione di un predicato è INDIPENDENTE dal NOME della variabili MA dipende solo dal numero e ordine delle variabili ovvero per esempio il predicato A(z) D ( ) : D { 0, 1 } si interpreta nello stesso modo sia che dipenda da z come unica variabile che da x, ovvero A(z) [z] D (d) = A(x) [x] D (d) per d D in quanto l interpretazione di un predicato NON dipende dal nome della variabile libera. Poi ASSUMIAMO che il contesto delle variabili sia sempre interpretato secondo l ordine alfabetico, ovvero dato (d 1, d 2 )εd D l elemento da sostituire alla variabile x varia sul PRIMO dominio, ovvero su d 1, mentre quello per la variabile z (che nell alfabeto viene dopo ad x) varia sul SECONDO dominio ovvero su d 2. Poi se c è pure la variabile w questa varierebbe in realtà sul PRIMO dominio perchè nell ordine alfabetico w è prima di x. Per esempio risulta definito in tal modo (A(x) A(y)) D (, ) : D D { 0, 1 } ( A(x) A(y) [x,y] ) D (d 1, d 2 ) (A(x) [x,y] ) D (d 1, d 2 ) (A(y) [x,y] ) D (d 1, d 2 ) = (A(x) [x] ) D (d 1 ) (A(y) [y] ) D (d 2 ) = (A(x) [x] ) D (d 1 ) (A(x) [x] ) D (d 2 ) Mentre ad esempio ( A(z)&A(x) A(w) [w,x,z] ) D (d 1, d 2, d 3 ) (A(z) [w,x,z] ) D (d 1, d 2, d 3 ) & (A(x) [w,x,z] ) D (d 1, d 2, d 3 ) (A(w) [w,x,z] ) D (d 1, d 2, d 3 ) = (A(z) [z] ) D (d 3 ) & (A(x) [x] ) D (d 2 ) (A(w) [w] ) D (d 1 ) 8

9 Esercizi Formalizzare le argomentazioni in sequente e mostrare se la loro formalizzazione è valida rispetto alla semantica classica, ovvero se il sequente ottenuto è valido e in caso contrario si dica se è non valido e soddisfacibile o insoddisfacibile: 1. Non si dà il caso che l acqua non sia potabile e non sia un bene comune. L acqua è un bene comune. A= l acqua è potabile B= l acqua è bene comune 2. Non tutti i programmi sono utili e corretti. Esiste un programma non utile. P (x)= x è un programma U(x)= x è utile C(x)= x è corretto 3. Non tutti i programmi sono utili e corretti. Esiste un programma non utile o esiste un programma non corretto. P (x)= x è un programma U(x)= x è utile C(x)= x è corretto 4. Non si dà il caso che non vinci e non perdi. Non vinci solo se non perdi. V = vinci P = perdi 5. Solo i buoni sono stimati da tutti. Alberto è buono. Alberto è stimato da tutti. S(x, y)= x stima y B(x)= x è buono a= Alberto 6. I buoni e soltanto loro sono stimati da tutti. Alberto è buono. Alberto è stimato da tutti. S(x, y)= x stima y B(x)= x è buono 9

10 a= Alberto 7. Ciascuno possiede ciò che non ha perduto. Alberto non ha perduto la Ferrari testa rossa. Alberto possiede la Ferrari testa rossa. P (x, y)= x possiede y E(x, y)= x ha perduto y f= Ferrari testa rossa 8. Solo i buoni sono stimati da tutti. Alberto è stimato da tutti. Alberto è buono. S(x, y)= x stima y B(x)= x è buono a= Alberto 9. Nessuno è buono e cattivo. Ogni buono non è cattivo. C(x)= x è cattivo B(x)= x è buono a= Alberto 10. Non tutti i programmi hanno un ciclo. Se un programma non ha un ciclo termina. Qualche programma non termina. P (x)= x è programma T (x)= x termina C(x)= x ha un ciclo 11. Tutti, se piove, si riparano. Tutti si riparano se piove. P = Piove 0(x)= x si ripara 12. Non si dà il caso che qualcuno sia più alto di Piero. C è qualcuno di cui nessuno è più alto. p= Piero A(x, y)= x è più alto di y 10

11 13. Non si dà il caso che qualcuno sia più alto di Piero. Nessuno è più alto di Piero. p= Piero A(x, y)= x è più alto di y 14. Solo se uno è italiano o francese può partecipare al programma di scambio culturale Italia-Francia. Marc non è italiano. Marc può partecipare al programma di scambio culturale Italia-Francia. Marc è francese. m= Marc I(x)= x è italiano F (x)= x è francese P (x)= x può partecipare al programma di scambio culturale Italia-Francia 15. Se uno è italiano o francese può partecipare al programma di scambio culturale Italia-Francia. Marc non è italiano. Marc può partecipare al programma di scambio culturale Italia-Francia. Marc è francese. m= Marc I(x)= x è italiano F (x)= x è francese P (x)= x può partecipare al programma di scambio culturale Italia-Francia Stabilire quali delle seguenti sono VALIDE e nel caso negativo dire se sono SODDISFACIBILI o NON VALIDE o INSODDISFACIBILI: 1. x A(x)&B(x)? 2. x A(x)? 3. x? 4. x A(x) x A(x)? 5. A(c) x A(x)? 6. x A(x) x A(x)? 7. x A(x) A(c)? 8. x ( B(x) (P (x) P (x)) )? 9. x A(x) x A(x)? 10. x A(x) x A(x)? 11. x A(x) x A(x)? 12. x A(x) x A(x)? 13. x A(x) x A(x)? 11

12 Logica classica- LC Γ A(w), Γ xa(x), ax-id ax- Γ, A, Γ, A, Γ,, Γ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx Γ A, Γ B, & D Γ A&B, Γ A, B, Γ A B, D Γ, A Γ, B Γ, A B Γ, A ax- Γ,, Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ, A, B Γ, A&B &S Γ A, Γ, A S S Γ A, D Γ, A B, Γ A B, D Γ A, Γ, B Γ, A B S D (w V L(Γ, xa(x), )) Γ, x A(x), A(t) Γ, x A(x) S Γ, A(w) Γ, x A(x) S (w V L(Γ, x A(x), )) Γ A(t), x A(x), Γ x A(x), D 12