Matematica e statistica 10 febbraio 2012

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1 Matematica e statistica 10 febbraio 2012 Compito A Cognome e nome Matricola Parte I Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida, liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella della soluzione. Sapendo che 25 ± 2 g di soluto vengono sciolti in 175 ± 2 g di solvente, calcolare, in percentuale, il valore stimato, l errore relativo e l errore assoluto della concentrazione della soluzione ottenuta. Un allevatore di labrador sta studiando la crescita di uno dei cuccioli dell ultima cucciolata: per far questo registra il peso del cucciolo mensilmente. All inizio del suo studio il cucciolo pesa 5 kg, dopo il primo mese il peso è aumentato del 15% mentre nel secondo mese si registra un incremento di 20%. Quanto vale l incremento totale del peso del cucciolo nei due mesi? Calcolare il valore, in notazione scientifica, delle seguenti espressioni (a) (b) ( ) 2 Scrivere l espressione esplicita di una funzione f : R R continua, periodica e con un massimo nel punto (1, 3) e un minimo nel punto (3, 3).

2 Esercizio 5 Trovare la funzione quadratica il cui grafico f(x) =4 2x 2 e ottenuto partendo dal grafico della funzione moltiplicando la funzione per 2 e le ascisse per 2; traslando il grafico di 2 unità verso sinistra e moltiplicando la funzione per 3; traslando il grafico di 1 unità verso destra e di 2 unità verso il basso; moltiplicando la funzione per 3 traslando il grafico di 1 unità verso destra. Esercizio 6 Calcolare la derivata rispetto a x della funzione F (x) = 1 x e 1 t dt

3 Parte II Si osserva la schiusura delle uova in una certa popolazione di uccelli. Partendo da un tempo iniziale t 0 = 0 in cui tutte le uova sono chiuse, si osserva che dopo t 1 = 1 ore si sono schiuse in tutto u 1 = 9 uova, dopo t 2 = 2 ore in tutto u 2 = 16 uova. (i) Trovare se esiste l espressione esplicita di una funzione quadratica u = u(t) (dove u sta per il numero totale di uova schiuse e t sta per il tempo trascorso) il cui grafico passi per i dati osservati. (ii) Ammesso che esista, per quale intervallo di tempi tale funzione può effettivamente rispecchiare il fenomeno preso in considerazione? Si sta effettuando uno studio su un test dell HIV. Si sa che la percentuale di malati nella popolazione è dello 0.1%. Il test, effettuato su una persona malata, dá risultato positivo nel 95% dei casi, mentre, effettuato su una persona sana, dá risultato negativo nel 98% dei casi. Se una persona risulta positiva al test, che probabilità ha di essere realmente malata? Suggerimento: Utilizzare la formula di Bayes e la legge delle alternative, oppure la formula del valore predittivo con esito positivo in funzione della sensibilità e della specificità. Supponiamo che la quantità d acqua presente in un bacino artificiale al tempo t>0 sia descritta, rispetto a un opportuna unità di misura, dalla legge q(t) = ln(t 2 + 1) + arctan t +10. Sapendo che la capienza massima del bacino è uguale a 100, determinare se l acqua tracimerà. Determinare il dominio della funzione e risolvere la disequazione f(x) 0. f(x) = log 2 (x 2 ) 1 log 2 x 2

4 Matematica e statistica 10 febbraio 2012 Compito B Cognome e nome Matricola Parte I Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida, liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella della soluzione. Sapendo che 20±1 g di soluto vengono sciolti in 80±1 g di solvente, calcolare, in percentuale, il valore stimato, l errore relativo e l errore assoluto della concentrazione della soluzione ottenuta. Un allevatore di labrador sta studiando la crescita di uno dei cuccioli dell ultima cucciolata: per far questo registra il peso del cucciolo mensilmente. All inizio del suo studio il cucciolo pesa 4 kg, dopo il primo mese il peso è aumentato del 16% mentre nel secondo mese si registra un incremento di 25%. Quanto vale l incremento totale del peso del cucciolo nei due mesi? Calcolare il valore, in notazione scientifica, delle seguenti espressioni (a) (b) ( ) 2 Scrivere l espressione esplicita di una funzione f : R R continua, periodica e con un minimo nel punto (1, 3) e un massimo nel punto (3, 3).

5 Esercizio 5 Trovare la funzione quadratica il cui grafico f(x) =2 4x 2 e ottenuto partendo dal grafico della funzione moltiplicando la funzione per 2 e le ascisse per 2; traslando il grafico di 2 unità verso sinistra e moltiplicando la funzione per 3; traslando il grafico di 1 unità verso destra e di 2 unità verso il basso; moltiplicando la funzione per 3 traslando il grafico di 1 unità verso destra. Esercizio 6 Calcolare la derivata rispetto a x della funzione F (x) = 2 x e 1+2t dt

6 Parte II Si osserva la schiusura delle uova in una certa popolazione di uccelli. Partendo da un tempo iniziale t 0 = 0 in cui tutte le uova sono chiuse, si osserva che dopo t 1 = 1 ore si sono schiuse in tutto u 1 = 10 uova, dopo t 2 = 2 ore in tutto u 2 = 16 uova. (i) Trovare se esiste l espressione esplicita di una funzione quadratica u = u(t) (dove u sta per il numero totale di uova schiuse e t sta per il tempo trascorso) il cui grafico passi per i dati osservati. (ii) Ammesso che esista, per quale intervallo di tempi tale funzione può effettivamente rispecchiare il fenomeno preso in considerazione? Si sta effettuando uno studio su un test dell HIV. Si sa che la percentuale di malati nella popolazione è dello 0.1%. Il test, effettuato su una persona malata, dá risultato positivo nel 96% dei casi, mentre, effettuato su una persona sana, dá risultato negativo nel 97% dei casi. Se una persona risulta positiva al test, che probabilità ha di essere realmente malata? Suggerimento: Utilizzare la formula di Bayes e la legge delle alternative, oppure la formula del valore predittivo con esito positivo in funzione della sensibilità e della specificità. Supponiamo che la quantità d acqua presente in un bacino artificiale al tempo t>0 sia descritta, rispetto a un opportuna unità di misura, dalla legge q(t) = arctan t +ln(t 2 +1)+15. Sapendo che la capienza massima del bacino è uguale a 130, determinare se l acqua tracimerà. Determinare il dominio della funzione e risolvere la disequazione f(x) 0. f(x) = log 3 (x 2 ) 2 log 3 x 2